В геометрии бесконечный косой многоугольник или косой апейрогон — это бесконечный 2- политоп с вершинами, которые не все коллинеарны . Бесконечные зигзагообразные косые многоугольники — это 2-мерные бесконечные косые многоугольники с вершинами, чередующимися между двумя параллельными прямыми. Бесконечные винтовые многоугольники — это 3-мерные бесконечные косые многоугольники с вершинами на поверхности цилиндра .
Правильные бесконечные косые многоугольники существуют в многоугольниках Петри аффинной и гиперболической групп Коксетера . Они строятся одним оператором как композиция всех отражений группы Коксетера.
Правильный зигзагообразный косой апейрогон имеет симметрию группы Фриза (2*∞), D ∞d .
Правильные зигзагообразные косые апейрогоны существуют как многоугольники Петри трех правильных мозаик плоскости: {4,4}, {6,3} и {3,6}. Эти правильные зигзагообразные косые апейрогоны имеют внутренние углы 90°, 120° и 60° соответственно от правильных многоугольников внутри мозаик:
Изотоксальный апейрогон имеет один тип ребра между двумя чередующимися типами вершин. Существует степень свободы во внутреннем угле , α. {∞ α } — это двойственный многоугольник изогонального косого апейрогона .
Изогональный косой апейрогон чередует два типа ребер с различными симметриями группы Фриза . Искаженные правильные зигзагообразные косые апейрогоны производят изогональные зигзагообразные косые апейрогоны с трансляционной симметрией:
Другие изогональные косые апейрогоны имеют чередующиеся ребра, параллельные направлению Фриза. Эти изогональные удлиненные косые апейрогоны имеют вертикальную зеркальную симметрию в серединах ребер, параллельных направлению Фриза:
Изогональный вытянутый косой апейрогон имеет два различных типа ребер; если оба его типа ребер имеют одинаковую длину: его нельзя назвать правильным, поскольку два его типа ребер все равно различны («транс-ребро» и «цис-ребро»), но его можно назвать квазиправильным.
Примеры квазиправильных удлиненных косых апейрогонов можно рассматривать как усеченные многоугольники Петри в усеченных правильных мозаиках евклидовой плоскости:
Бесконечные правильные косые многоугольники аналогичным образом встречаются в евклидовой плоскости и в гиперболической плоскости .
Гиперболические бесконечные правильные косые многоугольники также существуют как многоугольники Петри, зигзагообразные пути ребер на всех правильных мозаиках гиперболической плоскости . И снова, как и в евклидовой плоскости, гиперболические бесконечные квазиправильные косые многоугольники могут быть построены как усеченные многоугольники Петри внутри ребер всех усеченных правильных мозаик гиперболической плоскости.
Бесконечный винтовой (косой) многоугольник может существовать в трех измерениях, где вершины можно рассматривать как ограниченные поверхностью цилиндра . Эскиз справа представляет собой трехмерный перспективный вид такого бесконечного правильного винтового многоугольника.
Этот бесконечный винтовой многоугольник можно в основном рассматривать как построенный из вершин в бесконечном стеке однородных n -угольных призм или антипризм , хотя в общем случае угол закручивания не ограничивается целым делителем 180°. Бесконечный винтовой (косой) многоугольник имеет симметрию винтовой оси .
Бесконечный ряд призм , например кубов, содержит бесконечный винтовой многоугольник по диагоналям квадратных граней с углом поворота 90° и символом Шлефли {∞} # {4}.
Бесконечный стек антипризм, например октаэдров , образует бесконечные винтовые многоугольники, 3 из которых здесь выделены красным, зеленым и синим цветами, каждый с углом поворота 60° и символом Шлефли {∞} # {6}.
Последовательность ребер спирали Бурдейка–Коксетера может представлять собой бесконечные правильные винтовые многоугольники с иррациональным углом закручивания:
Стопка прямых призм может генерировать изогональные винтовые апейрогоны с чередующимися ребрами вокруг оси и вдоль оси; например, стопка кубов может генерировать этот изогональный винтовой апейрогон с чередующимися красными и синими ребрами:
Аналогично чередующийся стек призм и антипризм может создать бесконечный изогональный винтовой многоугольник; например, треугольный стек призм и антипризм с бесконечным изогональным винтовым многоугольником:
Бесконечный изогональный винтовой многоугольник с иррациональным углом закручивания также может быть построен из усеченных тетраэдров, сложенных подобно спирали Бурдейка–Коксетера , чередуя два типа ребер, между парами шестиугольных граней и парами треугольных граней:
