Курносый (геометрия)

Геометрическая операция, примененная к многограннику

Две хиральные копии плосконосого куба, как чередующиеся (красные или зеленые) вершины усеченного кубооктаэдра.

Плосконосый куб можно построить из ромбокубооктаэдра, вращая 6 синих квадратных граней до тех пор, пока 12 белых квадратных граней не станут парами равносторонних треугольных граней.

В геометрии плосконосый — это операция, применяемая к многограннику . Термин происходит от названий, данных Кеплером двум архимедовым телам , для плосконосого куба ( cubus simus ) и плосконосого додекаэдра ( dodecaedron simum ). ^[1]

В общем, у плосконосых есть хиральная симметрия с двумя формами: с ориентацией по часовой стрелке или против часовой стрелки. По названиям Кеплера, плосконосый можно рассматривать как расширение правильного многогранника : раздвигая грани, скручивая их вокруг своих центров, добавляя новые многоугольники с центрами на исходных вершинах и добавляя пары треугольников, вписывающихся между исходными ребрами.

Терминология была обобщена Кокстером с несколько иным определением для более широкого набора однородных многогранников .

Конвей пренебрежительно относится

Джон Конвей исследовал обобщенные операторы многогранников, определяя то, что сейчас называется нотацией многогранников Конвея , которая может быть применена к многогранникам и мозаикам. Конвей называет операцию Коксетера полу-скоросшивателем . ^[2]

В этой нотации snub определяется дуальными и гироскопическими операторами, как s  =  dg , и это эквивалентно чередованию усечения оператора ambo . Сама нотация Конвея избегает операции чередования (половины) Коксетера, поскольку она применима только к многогранникам с четными гранями.

В 4-мерном пространстве Конвей предлагает называть курносый 24-ячейник полукурносым 24-ячейником , поскольку, в отличие от 3-мерных курносых многогранников, которые являются чередующимися всеусеченными формами, он не является чередующимся всеусеченным 24-ячейником . Вместо этого он фактически является чередующимся усеченным 24-ячейником . ^[3]

Оскорбления Коксетера, регулярные и квазирегулярные

Терминология Коксетера для плосконосого немного отличается, означая чередующееся усечение , выводя плосконосый куб как плосконосый кубооктаэдр , а плосконосый додекаэдр как плосконосый икосододекаэдр . Это определение используется в названии двух тел Джонсона : плосконосого дисфеноида и плосконосой квадратной антипризмы , а также многогранников более высокой размерности, таких как 4-мерный плосконосый 24-ячейник с расширенным символом Шлефли s{3,4,3} и диаграмма Коксетера.

Правильный многогранник (или мозаика) с символом Шлефли и диаграммой Коксетера ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ , имеет усечение, определенное как , и ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$, и имеет сужение, определенное как альтернативное усечение , и ${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$. Эта альтернативная конструкция требует, чтобы q было четным.

Квазиправильный многогранник с символом Шлефли или r { p , q } и диаграммой Коксетера ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$или, имеет квазирегулярное усечение, определяемое как или tr { p , q }, и ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$или, и имеет квазирегулярный снуб, определяемый как чередующееся усеченное выпрямление или htr { p , q } = sr { p , q }, и ${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$или.

Например, плосконосый куб Кеплера получен из квазиправильного кубооктаэдра с вертикальным символом Шлефли и диаграммой Коксетера ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ , и поэтому более явно называется плосконосым кубооктаэдром , выражается вертикальным символом Шлефли и диаграммой Коксетера ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$. Плосконосый кубооктаэдр является чередованием усеченного кубооктаэдра , , и ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$.

Правильные многогранники с вершинами четного порядка также могут быть представлены в виде чередующихся усечений, как, например, плосконосый октаэдр , как , ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$, представляет собой чередование усеченного октаэдра , , и ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$Плосконосый октаэдр представляет собой псевдоикосаэдр , правильный икосаэдр с пиритоэдрической симметрией .

Плосконосый тетратетраэдр , как и ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$, представляет собой чередование усеченной тетраэдрической формы симметрии, и ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$.

Операция Коксетера также позволяет определить n- антипризмы как или , основываясь на n-призмах или , в то время как является правильным n- осоэдром , вырожденным многогранником, но допустимой мозаикой на сфере с гранями в форме двуугольника или луночки . ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}}$

Тот же процесс применяется для укладки курносой плитки:

Примеры

Неоднородные плосконосые многогранники

Неоднородные многогранники со всеми четновалентными вершинами могут быть опущены, включая некоторые бесконечные множества, например:

Однородные звёздчатые многогранники Коксетера

Плосконосые звездчатые многогранники построены с помощью треугольника Шварца (pqr) с рационально упорядоченными зеркальными углами, причем все зеркала активны и чередуются.

Многомерные плосконосые многогранники и соты Коксетера

В общем случае правильный полихорон с символом Шлефли и диаграммой Коксетера ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$ , имеет курносый вид с расширенным символом Шлефли и ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$.

Выпрямленный полихорон = r{p,q,r} , и ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}}$ имеет символ курносого = sr{p,q,r} , и ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}}$.

Примеры

Ортогональная проекция курносого 24-клеточного

Существует только один однородный выпуклый плосконосый многоугольник в 4-мерном пространстве, плосконосый 24-клеточный . Правильный 24-клеточный многоугольник имеет символ Шлефли , , и диаграмму Коксетера ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ , а 24-клеточная плосконосая клетка представлена ​​диаграммой Коксетера ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ . Он также имеет индекс 6 более низких конструкций симметрии как или s{3 ^1,1,1 } и ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}}$, и индекс 3 подсимметрии как или sr{3,3,4}, и ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmatrix}}}$или.

Соответствующие курносые 24-ячеистые соты можно рассматривать как a или s{3,4,3,3}, и ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}}$, и более низкая симметрия или sr{3,3,4,3} и ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmatrix}}}$или, и самая низкая форма симметрии как или s{3 ^1,1,1,1 } и ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}}$.

Евклидовы соты — это чередующиеся шестиугольные соты , s{2,6,3} иили ср{2,3,6}, иили sr{2,3 ^[3] }, и.

Другая евклидова (чешуйчатая) сота представляет собой чередующиеся квадратные пластинчатые соты , s{2,4,4}, иили ср{2,4 ^1,1 } и:

Единственными однородными плосконосыми гиперболическими однородными сотами являются плосконосые шестиугольные мозаичные соты , так как s{3,6,3} и, который также может быть построен как чередующиеся шестиугольные соты , h{6,3,3},. Он также строится как s{3 ^[3,3] } и.

Другая гиперболическая (чешуйчатая) сота — это октаэдрическая сота четвертого порядка , s{3,4,4}, и.

Смотрите также

• Плосконосый многогранник

Ссылки

1. Кеплер , «Гармонии мира» , 1619.
2. Конвей, (2008) стр.287 Полуоскорбительная операция Коксетера
3. Конвей, 2008, стр.401 Полуплосконосый полиоктаэдр Госсета

• Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954). «Однородные многогранники». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A. Математические и физические науки . 246 (916). Королевское общество: 401–450. Bibcode :1954RSPTA.246..401C. doi :10.1098/rsta.1954.0003. ISSN  0080-4614. JSTOR  91532. MR  0062446. S2CID  202575183.
• Коксетер, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), издание Дувра, ISBN 0-486-61480-8 (стр. 154–156 8.6 Частичное усечение или чередование) 
• Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1], Googlebooks [2]  
  • (Документ 17) Коксетер , Эволюция диаграмм Кокстера-Динкина , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
  • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Коксетер , Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников) 
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись (1991)
  • NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Джон Х. Конвей , Хайди Бергиел, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 
• Вайсштейн, Эрик В. «Снубификация». Математический мир .
• Ричард Клитцинг, Снубы, чередующиеся огранки и диаграммы Стотта–Коксетера–Дынкина , Симметрия: Культура и наука, т. 21, № 4, 329–344, (2010) [3]