Диаграмма Дынкина

Графическое изображение симметрии

В математической области теории Ли диаграмма Дынкина , названная в честь Евгения Дынкина , представляет собой тип графа с некоторыми рёбрами, удвоенными или утроенными (нарисованными в виде двойной или тройной линии). Диаграммы Дынкина возникают при классификации полупростых алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями , при классификации групп Вейля и других групп конечных отражений и в других контекстах. Различные свойства диаграммы Дынкина (например, содержит ли она кратные ребра или ее симметрии) соответствуют важным особенностям ассоциированной алгебры Ли.

Конечные диаграммы Дынкина

Аффинные (расширенные) диаграммы Дынкина

Термин «диаграмма Дынкина» может быть неоднозначным. В некоторых случаях диаграммы Дынкина предполагаются направленными , и в этом случае они соответствуют системам корней и полупростым алгебрам Ли, а в других случаях они предполагаются неориентированными , и в этом случае они соответствуют группам Вейля. В этой статье под «диаграммой Дынкина» подразумевается направленная диаграмма Дынкина, а неориентированные диаграммы Дынкина будут называться явно так.

Классификация полупростых алгебр Ли

Фундаментальный интерес к диаграммам Дынкина состоит в том, что они классифицируют полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутыми полями . Такие алгебры Ли классифицируются по их корневой системе , которая может быть представлена ​​диаграммой Дынкина. Затем диаграммы Дынкина классифицируются в соответствии с ограничениями, которым они должны удовлетворять, как описано ниже.

Удаление направления на ребрах графа соответствует замене корневой системы конечной группой отражений , которую она порождает, так называемой группой Вейля , и, таким образом, неориентированные диаграммы Дынкина классифицируют группы Вейля.

Они имеют следующее соответствие для алгебр Ли, ассоциированных с классическими группами над комплексными числами:

• ${\displaystyle A_{n}}$: , специальная линейная алгебра Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$
• ${\displaystyle B_{n}}$: , нечетномерная специальная ортогональная алгебра Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$
• ${\displaystyle C_{n}}$: , симплектическая алгебра Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$
• ${\displaystyle D_{n}}$: , четномерная специальная ортогональная алгебра Ли ( ). ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$ ${\displaystyle n>1}$

Для исключительных групп названия алгебры Ли и связанной с ней диаграммы Дынкина совпадают.

Связанные классификации

Диаграммы Дынкина можно интерпретировать как классификацию множества различных связанных объектов, а обозначение «A _n , B _n , ...» используется для обозначения всех таких интерпретаций, в зависимости от контекста; эта двусмысленность может сбить с толку.

Основная классификация заключается в том, что простая алгебра Ли имеет корневую систему, с которой связана (ориентированная) диаграмма Дынкина; все три из них могут называться , например, как B _{n .}

Неориентированная диаграмма Дынкина является формой диаграммы Коксетера и соответствует группе Вейля, которая является конечной группой отражений , связанной с корневой системой. Таким образом, B _n может относиться к неориентированной диаграмме (особый вид диаграммы Кокстера), группе Вейля (группа конкретного отражения) или абстрактной группе Кокстера.

Хотя группа Вейля абстрактно изоморфна группе Кокстера, конкретный изоморфизм зависит от упорядоченного выбора простых корней. Аналогично, хотя обозначения диаграммы Дынкина стандартизированы, обозначения диаграммы Коксетера и групп различаются и иногда согласуются с обозначениями диаграммы Дынкина, а иногда нет. ^{[ нужна цитата ]}

Наконец, иногда связанные объекты обозначаются одним и тем же обозначением, хотя это не всегда можно делать регулярно. Примеры включают в себя:

• Корневая решетка, _{порожденная} корневой системой, как и в решетке E8 . Это определено естественным образом, но не взаимно однозначно – например, A ₂ и G ₂ порождают гексагональную решетку .
• Соответствующий многогранник - например, многогранник Госсета 4 ₂₁ может называться «многогранником E ₈ », поскольку его вершины происходят из корневой системы E ₈ и он имеет группу Кокстера E ₈ в качестве группы симметрии.
• Соответствующая квадратичная форма или многообразие - например, многообразие E 8 имеет форму пересечения , заданную решеткой E ₈ .

Эти последние обозначения в основном используются для объектов, связанных с исключительными диаграммами — объекты, связанные с обычными диаграммами (A, B, C, D), вместо этого имеют традиционные имена.

Индекс ( n ) равен количеству узлов в диаграмме, количеству простых корней в базисе, размерности корневой решетки и размаха корневой системы, количеству образующих группы Коксетера и рангу алгебры Ли. Однако n не равно размерности определяющего модуля ( фундаментального представления ) алгебры Ли – индекс на диаграмме Дынкина не следует путать с индексом на алгебре Ли. Например, соответствует которая естественным образом действует в 9-мерном пространстве, но имеет ранг 4 как алгебра Ли. ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9},}$

Диаграммы Дынкина с простой ажурной структурой, без кратных ребер (A, D, E), классифицируют многие другие математические объекты; см. обсуждение в классификации ADE .

Пример: А 2

Корневая система ${\displaystyle A_{2}}$

Например, символ может относиться к: ${\displaystyle A_{2}}$

• Диаграмма Дынкина с двумя связными узлами,, которую также можно интерпретировать как диаграмму Кокстера .
• Корневая система из 2 простых корней, расположенных под углом (120 градусов). ${\displaystyle 2\pi /3}$
• Алгебра Ли ранга 2 . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}}$
• Группа Вейля симметрий корней (отражения в гиперплоскости, ортогональной корням), изоморфная симметрической группе (порядка 6). ${\displaystyle S_{3}}$
• Абстрактная группа Кокстера , представленная генераторами и отношениями, ${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3}=1\right\rangle .}$

Строительство из корневых систем

Рассмотрим корневую систему , предполагаемую редуцированной и целой (или «кристаллографической»). Во многих приложениях эта корневая система возникает из полупростой алгебры Ли . Пусть – набор положительных простых корней . Затем мы строим диаграмму следующим образом. ^[1] Сформируйте граф с одной вершиной для каждого элемента . Затем вставьте ребра между каждой парой вершин согласно следующему рецепту. Если корни, соответствующие двум вершинам, ортогональны, между вершинами нет ребра. Если угол между двумя корнями равен 120 градусов, мы помещаем одно ребро между вершинами. Если угол 135 градусов, ставим два ребра, а если угол 150 градусов, ставим три ребра. (Эти четыре случая исчерпывают все возможные углы между парами положительных простых корней. ^[2] ) Наконец, если между данной парой вершин есть какие-либо ребра, мы украшаем их стрелкой, указывающей от вершины, соответствующей более длинному корню, к вершине. вершина, соответствующая более короткой. (Стрелка опускается, если корни имеют одинаковую длину.) Представление о стрелке как о знаке «больше» проясняет, в какую сторону должна идти стрелка. Диаграммы Дынкина позволяют классифицировать корневые системы. Углы и отношения длин между корнями связаны между собой . ^[3] Таким образом, ребра для неортогональных корней могут альтернативно быть описаны как одно ребро для отношения длин 1, два ребра для отношения длин и три ребра для отношения длин . (Если корни ортогональны, ребер нет, независимо от соотношения длин.) ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

В корневой системе, показанной справа, корни помечены и образуют основу. Поскольку эти два корня находятся под углом 120 градусов (с отношением длин 1), диаграмма Дынкина состоит из двух вершин, соединенных одним ребром: ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$.

Ограничения

Диаграммы Дынкина должны удовлетворять определенным ограничениям; По сути, это те диаграммы, которым удовлетворяют конечные диаграммы Кокстера – Дынкина вместе с дополнительным кристаллографическим ограничением.

Связь с диаграммами Кокстера

Диаграммы Дынкина тесно связаны с диаграммами Кокстера конечных групп Кокстера , и эту терминологию часто смешивают. ^{[примечание 1]}

Диаграммы Дынкина отличаются от диаграмм Кокстера конечных групп в двух важных отношениях:

Частично направлен

Диаграммы Дынкина частично направлены - любое кратное ребро (в терминах Кокстера, помеченное цифрой «4» или выше) имеет направление (стрелка, указывающая от одного узла к другому); таким образом, диаграммы Дынкина содержат больше данных, чем базовая диаграмма Коксетера (неориентированный граф).

На уровне корневых систем направление соответствует направлению к более короткому вектору; ребра, помеченные цифрой «3», не имеют направления, поскольку соответствующие векторы должны иметь одинаковую длину. (Внимание: некоторые авторы меняют это соглашение: стрелка указывает в сторону более длинного вектора.)

Кристаллографическое ограничение

Диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ограничению, а именно: единственными допустимыми метками ребер являются 2, 3, 4 и 6, ограничение, не разделяемое диаграммами Кокстера, поэтому не каждая диаграмма Кокстера конечной группы происходит из диаграммы Дынкина.

На уровне корневых систем это соответствует кристаллографической ограничительной теореме , поскольку корни образуют решетку.

Еще одно отличие, которое носит лишь стилистический характер, заключается в том, что диаграммы Дынкина обычно рисуются с двойными или тройными ребрами между узлами (для p  = 4, 6), а не с ребром, помеченным буквой « p ».

Термин «диаграмма Дынкина» иногда относится к ориентированному графу, иногда к неориентированному графу. Для точности в этой статье «диаграмма Дынкина» будет означать направленный, а лежащий в основе неориентированный граф будет называться «неориентированной диаграммой Дынкина». Тогда диаграммы Дынкина и диаграммы Кокстера могут быть связаны следующим образом:

Под этим подразумевается, что диаграммы Кокстера конечных групп соответствуют точечным группам , порожденным отражениями, тогда как диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ограничению, соответствующему кристаллографической ограничительной теореме , и что диаграммы Кокстера ненаправлены, а диаграммы Дынкина (частично) направлены.

Соответствующими математическими объектами, классифицированными диаграммами, являются:

Пробел в правом верхнем углу, соответствующий ориентированным графам, лежащим в основе неориентированного графа, любой диаграмме Кокстера (конечной группы), может быть определен формально, но мало обсуждается и, похоже, не допускает простой интерпретации в терминах математических объектов. представляет интерес.

Внизу — естественные карты — от диаграмм Дынкина до неориентированных диаграмм Дынкина; соответственно от систем корней к ассоциированным группам Вейля – и справа – от неориентированных диаграмм Дынкина к диаграммам Кокстера; соответственно от групп Вейля к конечным группам Кокстера.

Отображение вниз является включенным (по определению), но не взаимно однозначным, поскольку диаграммы B _n и C _n отображаются в одну и ту же неориентированную диаграмму, при этом результирующая диаграмма Кокстера и группа Вейля иногда обозначаются BC _n .

Правое отображение — это просто включение (неориентированные диаграммы Дынкина — это частные случаи диаграмм Кокстера, а группы Вейля — это частные случаи конечных групп Кокстера), и оно не является включением, поскольку не каждая диаграмма Кокстера является неориентированной диаграммой Дынкина (пропущенные диаграммы — это H ₃ , H ₄ и I ₂ ( p ) для p  = 5  p  ≥ 7), и соответственно не всякая конечная группа Кокстера является группой Вейля.

Изоморфизмы

Исключительные изоморфизмы связных диаграмм Дынкина.

Диаграммы Дынкина традиционно нумеруются, чтобы список не был избыточным: for for for for и начиная с. Однако семейства могут быть определены для меньшего n, что дает исключительные изоморфизмы диаграмм и соответствующие исключительные изоморфизмы алгебр Ли и связанных с ними групп Ли. ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle A_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle B_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle C_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle D_{n},}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n=6.}$

Тривиально можно начать с семейств с или , которые тогда все изоморфны, поскольку существует уникальная пустая диаграмма и уникальная одноузловая диаграмма. Другие изоморфизмы связных диаграмм Дынкина: ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=1,}$

• ${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$
• ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$
• ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$
• ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$
• ${\displaystyle E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}}$
• ${\displaystyle E_{4}\cong A_{4}}$
• ${\displaystyle E_{5}\cong D_{5}}$

Эти изоморфизмы соответствуют изоморфизму простых и полупростых алгебр Ли, которые также соответствуют некоторым изоморфизмам их групповых форм. Они также добавляют контекст _семье En . ^[4]

Автоморфизмы

Наиболее симметричной диаграммой Дынкина является D4 _, что приводит к тройственности .

Помимо изоморфизма между различными диаграммами, некоторые диаграммы также имеют самоизоморфизмы или « автоморфизмы ». Автоморфизмы диаграмм соответствуют внешним автоморфизмам алгебры Ли, а это означает, что группа внешних автоморфизмов Out = Aut/Inn равна группе автоморфизмов диаграмм. ^{[5] [6] [7]}

Диаграммами, имеющими нетривиальные автоморфизмы, являются An ₍ ) , D _n ( ) и E ₆ . Во всех этих случаях, кроме D ₄ , существует единственный нетривиальный автоморфизм (Out = C ₂ , циклическая группа порядка 2), а для D ₄ группа автоморфизмов представляет собой симметрическую группу из трех букв ( S ₃ , порядок 6) – это явление известно как « тройственность ». Бывает, что все эти автоморфизмы диаграмм могут быть реализованы как евклидовы симметрии того, как диаграммы традиционно рисуются на плоскости, но это всего лишь артефакт того, как они рисуются, а не внутренняя структура. ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n>1}$

Н._​​

Для An _{автоморфизм} диаграммы переворачивает диаграмму, которая является линией. Узлы диаграммы индексируют фундаментальные веса , которые (для An _{−1 )} относятся к , а автоморфизм диаграммы соответствует двойственности. Реализованный как алгебра Ли, внешний автоморфизм может быть выражен как отрицательное транспонирование, , как это происходит с двойственным представительские действия. ^[6] ${\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{n-i}C^{n}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1},}$ ${\displaystyle T\mapsto -T^{\mathrm {T} }}$

Д _н .

Для D _n автоморфизм диаграммы переключает два узла в конце Y и соответствует переключению двух киральных спиновых представлений . Реализованный как алгебра Ли, внешний автоморфизм может быть выражен как сопряжение матрицей из O(2 n ) с определителем −1. Когда n = 3, их автоморфизмы совпадают, а автоморфизм разъединен, и автоморфизм соответствует переключению двух узлов. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{3}\cong \mathrm {A} _{3},}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}}$

Для D ₄ фундаментальное представление изоморфно двум спиновым представлениям, а результирующая симметрическая группа из трех букв ( S ₃ или, альтернативно, группа диэдра порядка 6, Dih ₃ ) соответствует как автоморфизмам алгебры Ли, так и автоморфизмам алгебры Ли. диаграмма.

Е ₆ .

Группа автоморфизмов E6 _{соответствует} обращению диаграммы и может быть выражена с помощью йордановых алгебр . ^{[6] [8]}

Несвязные диаграммы, соответствующие полупростым алгебрам Ли, могут иметь автоморфизмы от замены компонентов диаграммы.

В характеристике 2 стрелкой на F ₄ можно пренебречь, что приводит к дополнительному автоморфизму диаграммы и соответствующим группам Сузуки–Ри .

В положительной характеристике имеются дополнительные «диаграммные автоморфизмы» — грубо говоря, в характеристике p иногда допускается игнорировать стрелку на связях кратности p в диаграмме Дынкина при взятии диаграммных автоморфизмов. Таким образом, в характеристике 2 существует автоморфизм порядка 2 группы и F ₄ , а в характеристике 3 — автоморфизм порядка 2 группы G ₂ . Но применимо не во всех обстоятельствах: например, такие автоморфизмы не обязательно должны возникать как автоморфизмы соответствующей алгебраической группы, а скорее на уровне точек, оцененных в конечном поле. ${\displaystyle \mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}}$

Построение групп Ли с помощью автоморфизмов диаграмм

Автоморфизмы диаграмм, в свою очередь, дают дополнительные группы Ли и группы лиева типа , которые имеют центральное значение в классификации конечных простых групп.

Групповая конструкция групп Ли Шевалле в терминах их диаграммы Дынкина не дает некоторых классических групп, а именно унитарных групп и нерасщепимых ортогональных групп . Группы Стейнберга строят унитарные группы ² An , _а другие ортогональные группы строятся как ² D _n , причем в обоих случаях это относится к объединению автоморфизма диаграммы с автоморфизмом поля. Это также дает дополнительные экзотические группы Ли ² E ₆ и ³ D ₄ , причем последняя определена только над полями с автоморфизмом порядка 3.

Дополнительные автоморфизмы диаграммы в положительной характеристике дают группы Сузуки – Ри ² B ₂ , ² F ₄ и ² G ₂ .

Складной

Конечные свертки группы Кокстера.

Аффинные группировки Кокстера с тремя соглашениями об именах: во-первых, исходный расширенный набор; второй используется в контексте графов колчана ; и последнее Виктора Каца для скрученных аффинных алгебр Ли .

Диаграмма Дынкина (с простой связкой) (конечная или аффинная ), которая имеет симметрию (удовлетворяющую одному условию, приведенному ниже), может быть факторизована по симметрии, давая новую, обычно многослойную диаграмму, с процессом, называемым сворачиванием (из-за большинства симметрий в 2 раза). На уровне алгебр Ли это соответствует взятию инвариантной подалгебры под внешней группой автоморфизмов, и процесс можно определить исключительно со ссылкой на корневые системы, без использования диаграмм. ^[9] Кроме того, любую многошнурованную диаграмму (конечную или бесконечную) можно получить путем сложения просто-шнурованной диаграммы. ^[10]

Единственное условие автоморфизма, позволяющее сворачивание, состоит в том, что различные узлы графа на одной и той же орбите (при автоморфизме) не должны быть соединены ребром; на уровне корневых систем корни на одной орбите должны быть ортогональны. ^[10] На уровне диаграмм это необходимо, так как в противном случае фактор-диаграмма будет иметь петлю из-за идентификации двух узлов, но наличия ребра между ними, а петли не допускаются в диаграммах Дынкина.

Узлы и ребра факторизационной («свернутой») диаграммы являются орбитами узлов и ребер исходной диаграммы; ребра являются одиночными, если только два инцидентных ребра не отображаются на одно и то же ребро (особенно в узлах с валентностью больше 2) - «точка ветвления» карты, и в этом случае вес равен количеству инцидентных ребер, а стрелка указывает в сторону узел, в котором они происходят - «точка ветвления отображается в неоднородную точку». Например, при сворачивании D4 в G2 _{ребро в} G2 _{указывает} из класса трех внешних узлов (валентность 1) на класс центрального узла (валентность 3).

Свертками конечных диаграмм являются: ^{[11] [примечание 2]}

• ${\displaystyle A_{2n-1}\to C_{n}}$

(Автоморфизм A _{2 n} не приводит к свертыванию, поскольку два средних узла соединены ребром, но находятся на одной и той же орбите.)

• ${\displaystyle D_{n+1}\to B_{n}}$
• ${\displaystyle D_{4}\to G_{2}}$(при факторизации по полной группе или 3-циклу, в дополнение к 3-м различным способам, при факторизации по инволюции) ${\displaystyle D_{4}\to B_{3}}$
• ${\displaystyle E_{6}\to F_{4}}$

Подобные складки существуют для аффинных диаграмм, в том числе:

• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2n-1}\to {\tilde {C}}_{n}}$
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}}$
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}\to {\tilde {G}}_{2}}$
• ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}\to {\tilde {F}}_{4}}$

Понятие сверток также можно применить к диаграммам Коксетера в более общем смысле ^[12] – в частности, можно обобщить допустимые факторы диаграмм Дынкина на H _n и I ₂ ( p ). Геометрически это соответствует проекциям однородных многогранников . Примечательно, что любую просто сшитую диаграмму Дынкина можно свернуть в I ₂ ( h ), где h — число Кокстера , которое геометрически соответствует проекции на плоскость Кокстера .

Складку можно применять, чтобы свести вопросы о (полупростых) алгебрах Ли к вопросам о просто-шнурованных алгебрах вместе с автоморфизмом, что может быть проще, чем непосредственное рассмотрение множественно-шнурованных алгебр; это можно сделать, например, при построении полупростых алгебр Ли. См. раздел «Математическое переполнение: свертывание с помощью автоморфизмов» для дальнейшего обсуждения.

Другие карты диаграмм

Некоторые дополнительные карты диаграмм имеют содержательные интерпретации, как подробно описано ниже. Однако не все карты корневых систем возникают в виде карт диаграмм. ^[13]

Например, есть два включения корневых систем A ₂ в G ₂ , либо в виде шести длинных корней, либо в виде шести коротких корней. Однако узлы диаграммы G ₂ соответствуют одному длинному корню и одному короткому корню, тогда как узлы диаграммы A ₂ соответствуют корням одинаковой длины, и, таким образом, эта карта корневых систем не может быть выражена как карта диаграмм .

Некоторые включения корневых систем могут быть выражены как одна диаграмма, являющаяся индуцированным подграфом другой, что означает «подмножество узлов со всеми ребрами между ними». Это связано с тем, что исключение узла из диаграммы Дынкина соответствует удалению простого корня из корневой системы, что дает корневую систему ранга на один ниже. Напротив, удаление ребра (или изменение кратности ребра) при оставлении узлов неизменными соответствует изменению углов между корнями, что невозможно сделать без изменения всей корневой системы. Таким образом, можно осмысленно удалять узлы, но не ребра. Удаление узла из связной диаграммы может привести к связной диаграмме (простой алгебре Ли), если узел является листом, или несвязной диаграмме (полупростая, но не простая алгебра Ли) с двумя или тремя компонентами (последнее для D _n и Е _н ). На уровне алгебр Ли эти включения соответствуют суб-алгебрам Ли.

Максимальные подграфы следующие; подграфы, связанные автоморфизмом диаграммы, помечены как «сопряженные»:

• An _{+1 :} An _двумя сопряженными способами.
• Б _{н +1} : А _н , Б _н .
• C _{n +1} : An _, C _n .
• D _{n +1} : An ₍ 2 сопряженных способа), D _n .
• Е _{н +1} : А _н , Д _н , Е _н .
  • Для E6 _два из них совпадают: и сопряжены. ${\displaystyle \mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}}$
• Ф ₄ : Б ₃ , С ₃ .
• G ₂ : A ₁ , двумя несопряженными способами (как длинный корень или как короткий корень).

Наконец, двойственность диаграмм соответствует изменению направления стрелок, если таковые имеются: ^[13] B _n и C _n двойственны, а F ₄ и G ₂ самодвойственны, как и просто сшитые диаграммы ADE.

Просто зашнурованный

Просто составленные диаграммы Дынкина классифицируют разнообразные математические объекты; это называется классификацией ADE .

Диаграмма Дынкина без кратных ребер называется просто кружевной , как и соответствующие алгебра Ли и группа Ли. Это диаграммы, и явления, которые классифицируются такими диаграммами, называются классификацией ADE . В этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Кокстера, поскольку кратных ребер нет. ${\displaystyle A_{n},D_{n},E_{n}}$

Диаграммы Сатаке

Диаграммы Дынкина классифицируют комплексные полупростые алгебры Ли. Реальные полупростые алгебры Ли можно классифицировать как вещественные формы комплексных полупростых алгебр Ли, и они классифицируются диаграммами Сатаке , которые получаются из диаграммы Дынкина путем маркировки некоторых вершин черными (заполненными) и соединения некоторых других вершин попарно стрелками, по определенным правилам.

История

Евгений Дынкин .

Диаграммы Дынкина названы в честь Евгения Дынкина , который использовал их в двух статьях (1946, 1947), упрощающих классификацию полупростых алгебр Ли; ^[14] см. (Дынкин 2000). Когда Дынкин покинул Советский Союз в 1976 году, что в то время считалось равносильным государственной измене, советским математикам было приказано ссылаться на «диаграммы простых корней», а не использовать его имя. ^{[ нужна цитата ]}

Неориентированные графы ранее использовались Коксетером (1934) для классификации групп отражений , где узлы соответствовали простым отражениям; Затем графы (с информацией о длине) использовались Виттом (1941) применительно к корневым системам, причем узлы соответствовали простым корням, как они используются сегодня. ^{[14] [15]} Дынкин затем использовал их в 1946 и 1947 годах, признавая Кокстера и Витта в его статье 1947 года.

Конвенции

Диаграммы Дынкина рисовались разными способами; ^[15] соглашение, которому следуют здесь, является общим: углы 180° в узлах валентности 2, углы 120° в узле валентности 3 D _n и углы 90°/90°/180° в узлах валентности 3 _En , кратность обозначена 1, 2 или 3 параллельными ребрами, а длина корня указана стрелкой на ребре для ориентации. Помимо простоты, еще одним преимуществом этого соглашения является то, что автоморфизмы диаграмм реализуются с помощью евклидовых изометрий диаграмм.

Альтернативное соглашение включает в себя написание числа у края для обозначения кратности (обычно используется в диаграммах Кокстера), затемнение узлов для обозначения длины корня или использование углов 120 ° на узлах валентности 2, чтобы сделать узлы более отчетливыми.

Существуют также соглашения о нумерации узлов. Наиболее распространенная современная конвенция возникла к 1960-м годам и проиллюстрирована в (Bourbaki 1968). ^[15]

Диаграммы Дынкина 2-го ранга

Диаграммы Дынкина эквивалентны обобщенным матрицам Картана , как показано в этой таблице диаграмм Дынкина ранга 2 с соответствующими матрицами Картана 2  ×  2 .

Для ранга 2 форма матрицы Картана имеет вид:

${\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]}$

Многореберная диаграмма соответствует недиагональным элементам матрицы Картана с числом нарисованных ребер, равным и стрелкой, указывающей на неединичные элементы. ${\displaystyle -a_{21},-a_{12}}$ ${\displaystyle \max(-a_{21},-a_{12})}$

Обобщенная матрица Картана — это квадратная матрица такая, что: ${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. Для диагональных записей . ${\displaystyle a_{ii}=2}$
2. Для недиагональных записей . ${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$если и только если ${\displaystyle a_{ji}=0}$

Матрица Картана определяет, имеет ли группа конечный тип (если она положительно определена, т. е. все собственные значения положительны), аффинного типа (если она не положительно определена, а положительно-полуопределенна, т. е. все собственные значения неопределенны). отрицательный), или неопределенного типа . Неопределенный тип часто подразделяется на дополнительные подразделения, например, группа Кокстера является лоренцевой, если она имеет одно отрицательное собственное значение, а все остальные собственные значения положительны. Более того, во многих источниках упоминаются гиперболические группы Кокстера, но существует несколько неэквивалентных определений этого термина. В обсуждении ниже гиперболические группы Кокстера являются частным случаем лоренциана, удовлетворяющим дополнительному условию. Для ранга 2 все матрицы Картана с отрицательным определителем соответствуют гиперболической группе Коксетера. Но в целом большинство отрицательных детерминантных матриц не являются ни гиперболическими, ни лоренцевыми.

Конечные ветви имеют , а аффинные ветви (с нулевым определителем) имеют . ${\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(1,1),(2,1),(3,1)}$ ${\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(2,2){\text{ or }}(4,1)}$

Конечные диаграммы Дынкина

Аффинные диаграммы Дынкина

Существуют расширения диаграмм Дынкина, а именно аффинные диаграммы Дынкина ; они классифицируют матрицы Картана аффинных алгебр Ли . Они классифицированы в (Kac 1994, Глава 4, стр. 47–), конкретно перечислены в (Kac 1994, стр. 53–55). Аффинные диаграммы обозначаются как или где X — буква соответствующей конечной диаграммы, а показатель степени зависит от того, в какой серии аффинных диаграмм они находятся. Первые из них наиболее распространены и называются расширенными диаграммами Дынкина и обозначаются знаком тильда , а также иногда помечается верхним индексом + . ^[17] как в . Ряды (2) и (3) называются скрученными аффинными диаграммами . ${\displaystyle X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)},}$ ${\displaystyle X_{l}^{(3)},}$ ${\displaystyle X_{l}^{(1)},}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}}$

См. диаграммы в генераторе диаграмм Дынкина.

Вот все графы Дынкина для аффинных групп до 10 узлов. Расширенные графы Дынкина представлены как семейства ~ , такие же, как и конечные графы выше, с добавлением одного узла. Другие варианты ориентированного графа обозначаются верхним индексом (2) или (3), обозначающим свертывания групп более высокого порядка. Они относятся к категории искривленных аффинных диаграмм. ^[18]

Гиперболические и высшие диаграммы Дынкина

Перенумеровано множество компактных и некомпактных гиперболических графов Дынкина. ^[19] Все гиперболические графы ранга 3 компактны. Компактные гиперболические диаграммы Дынкина существуют до ранга 5, а некомпактные гиперболические графы — до ранга 10.

Компактные гиперболические диаграммы Дынкина

Некомпактные (чрезмерно расширенные) формы

Некоторые обозначения, используемые в теоретической физике , такие как М-теория , используют верхний индекс «+» для расширенных групп вместо «~», и это позволяет определять группы более высоких расширений.

1. Расширенные диаграммы Дынкина (аффинные) имеют знак «+» и представляют собой один добавленный узел. (То же, что и «~»)
2. Чрезмерно расширенные диаграммы Дынкина (гиперболические) обозначаются «^» или «++» и представляют собой два добавленных узла.
3. Очень расширенным диаграммам Дынкина с добавленными тремя узлами присвоен рейтинг «+++».

238 Гиперболические группы (компактные и некомпактные)

238 гиперболических групп (компактных и некомпактных) ранга названы и перечислены как для каждого ранга. ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle H_{i}^{(n)}}$ ${\displaystyle i=1,2,3...}$

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Очень расширенный

Очень расширенные группы — это группы Лоренца , определяемые добавлением трех узлов к конечным группам. E ₈ , E ₇ , E ₆ , F ₄ и G ₂ предлагают шесть серий, заканчивающихся очень расширенными группами. Другие не показанные расширенные серии могут быть определены из An _, Bn _, Cn _и Dn _как разные серии для каждого n . Определитель связанной матрицы Картана определяет, где ряд изменяется от конечной (положительной) до аффинной (нулевой) до некомпактной гиперболической группы (отрицательной) и заканчивается группой Лоренца, которую можно определить с использованием одного времениподобного измерения. и используется в теории М. ^[20]

Смотрите также

• Диаграмма Сатаке
• Список неприводимых индексов Титса
• Klassifikation von Wurzelsystemen (Классификация корневых систем) (на немецком языке)

Примечания

1. В этом разделе для ясности мы называем общий класс «диаграммами Кокстера», а не «диаграммами Кокстера – Дынкина», поскольку существует большая вероятность путаницы и краткости.
2. Обратите внимание, что Стеклощик использует соглашение о стрелках, противоположное тому, которое используется в этой статье.

Цитаты

1. Зал 2015 г., раздел 8.6.
2. Зал 2015 г., предложения 8.6 и 8.13.
3. Зал 2015 г., Предложение 8.6.
4. Баэз, Джон (13 апреля 1998 г.), Находки этой недели по математической физике (неделя 119)
5. Фултон и Харрис 1991, Предложение D.40
6. Внешние автоморфизмы простых алгебр Ли
7. Хамфрис 1972, § 16.5
8. Джейкобсон 1971, § 7
9. Алгебраическая геометрия и теория чисел: в честь 50-летия Владимира Дринфельда, под редакцией Виктора Гинзбурга, с. 47, раздел 3.6: Складывание кластера
10. Складывание с помощью автоморфизмов. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine , Джон Стембридж, 4 стр., 79K, 20 августа 2008 г., Другие статьи Джона Стембриджа.
11. См. Стекольщик 2008, с. 102, примечание 5.4 для иллюстраций этих складок и ссылок.
12. Зубер, Жан-Бернар (1998). «Обобщенные диаграммы Дынкина и корневые системы и их свертывание». Ин Кашивара, М.; Мацуо, А.; Сайто, К.; Сатаке, И. (ред.). Топологическая теория поля, примитивные формы и смежные темы . Прогресс в математике. Том. 160. С. 28–30. CiteSeerX 10.1.1.54.3122 . дои : 10.1007/978-1-4612-0705-4_16. ISBN  978-1-4612-6874-1. S2CID  12429369.
13. Армстронг, Джон (5 марта 2010 г.). «Преобразования диаграмм Дынкина».
14. Кнапп 2002, с. 758
15. Почему диаграммы Дынкина E6, E7 и E8 всегда рисуются такими, какими они нарисованы?
16. Раздел 2.1 в Стекольщик, Рафаэль (2005). «Заметки о преобразованиях Кокстера и переписке Маккея». arXiv : math/0510216v1 .
17. См., например, Хамфрис, Джеймс Э. (1990). «48. Фундаментальная область § Группы аффинного отражения». Группы отражения и группы Кокстера . Издательство Кембриджского университета. п. 96. ИСБН 978-0-521-43613-7.
18. Кац, Виктор Г. (1990). «4. Классификация обобщенных матриц Картана». Бесконечномерные алгебры Ли . Издательство Кембриджского университета. стр. 53–. ISBN 978-0-521-46693-6.
19. Карбоне, Лиза; Чунг, Сьювон; Коббс, Ли; Макрей, Роберт; Нанди, Дебаджьоти; Накви, Юсра; Пента, Диего (2010). «Классификация гиперболических диаграмм Дынкина, длин корней и орбит групп Вейля». Физический журнал A: Математический и теоретический . 43 (15): 155209. arXiv : 1003.0564 . Бибкод : 2010JPhA...43o5209C. дои : 10.1088/1751-8113/43/15/155209. S2CID  16946456.
20. Энглерт, Франсуа; Уар, Лоран; Таормина, Энн ; Уэст, Питер (2003). «Симметрия М-теорий». Журнал физики высоких энергий . 2003 (9): 020. arXiv : hep-th/0304206 . Бибкод : 2003JHEP...09..020E. дои : 10.1088/1126-6708/2003/09/020. S2CID  15680493.

Рекомендации

• Дынкин Е.Б. (1947), "Строение полупростых алгебр.", Успехи матем. Наук , Н.С., 2 (4(20)): 59–127.
• Бурбаки, Николя (1968), «Главы 4–6», Groupes et algebres de Lie , Париж: Герман
• Джейкобсон, Натан (1971-06-01), Исключительные алгебры Ли , CRC Press, ISBN 978-0-8247-1326-3
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Биркхойзер, ISBN 978-0-387-90053-7
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. МР  1153249. OCLC  246650103.
• Дынкин Евгений Борисович; Александр Адольф Юшкевич; Гэри М. Зейтц; А. Л. Онищик (2000), Избранные статьи Е. Б. Дынкина с комментариями , Книжный магазин АМС, ISBN 978-0-8218-1065-1
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы лжи за пределами введения (2-е изд.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4
• Стекольщик, Р. (2008), Заметки о преобразованиях Кокстера и соответствии Маккея , Монографии Спрингера по математике, arXiv : math/0510216 , doi : 10.1007/978-3-540-77399-3, ISBN 978-3-540-77398-6, S2CID  117958873
• Карбоне, Лиза; Чунг, Сьювон; Коббс, Ли; Макрэ, Роберт; Нанди, Дебаджьоти; Навки, Юсра; Пента, Диего (март 2010 г.), «Классификация гиперболических диаграмм Дынкина, длин корней и орбит группы Вейля». (PDF) , Журнал физики A: Математический и теоретический , 43 (15): 155209, arXiv : 1003.0564 , Bibcode : 2010JPhA...43o5209C, doi : 10.1088/1751-8113/43/15/155209, MR  2608277, S2CID  16946456
• Кац, Виктор Г. (1994). Бесконечномерные алгебры Ли. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46693-6.
• Дынкин, Евгений Б. (2000). Юшкевич А.А.; Зейтц , генеральный директор; Онищик А.Л. (ред.). Избранные статьи Е.Б. Дынкина с комментариями. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1065-1. МР  1757976.

Внешние ссылки

• Джон Баэз о повсеместном распространении диаграмм Дынкина в математике
• Веб-инструмент для создания диаграмм Дынкина с метками публикационного качества (написан на JavaScript)