Форма пересечения 4-многообразия

Специальная симметричная билинейная форма на 2-й группе (ко)гомологий 4-многообразия

В математике форма пересечения ориентированного компактного 4-многообразия является специальной симметричной билинейной формой на 2-й (ко) группе гомологий 4-многообразия. Она отражает большую часть топологии 4-многообразий, включая информацию о существовании гладкой структуры .

Определение с использованием пересечения

Пусть M — замкнутое 4-мерное многообразие ( PL или гладкое ). Возьмем триангуляцию T многообразия M . Обозначим через двойственное подразделение ячеек . Представим классы 2-циклами A и B по модулю 2, рассматриваемыми как объединения 2-симплексов многообразий T и , соответственно. Определим форму пересечения по модулю 2 ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle T^{*}}$

${\displaystyle \cap _{M,2}:H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

по формуле

${\displaystyle a\cap _{M,2}b=|A\cap B|{\bmod {2}}.}$

Это хорошо определено, поскольку пересечение цикла и границы состоит из четного числа точек (по определению цикла и границы).

Если М ориентировано, то аналогично (т.е. подсчитывая пересечения со знаками) определяется форма пересечения на 2-й группе гомологий

${\displaystyle Q_{M}=\cap _{M}=\cdot _{M}:H_{2}(M;\mathbb {Z} )\times H_{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} .}$

Используя понятие трансверсальности, можно сформулировать следующие результаты (которые представляют собой эквивалентное определение формы пересечения).

• Если классы представлены замкнутыми поверхностями (или 2-циклами по модулю 2) A и B, пересекающимися трансверсально, то ${\displaystyle a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle a\cap _{M,2}b=|A\cap B|\mod 2.}$

• Если M ориентировано и классы представлены замкнутыми ориентированными поверхностями (или 2-циклами) A и B , пересекающимися трансверсально, то каждая точка пересечения в имеет знак +1 или −1 в зависимости от ориентации и является суммой этих знаков. ${\displaystyle a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$

Определение с использованием произведения чашек

Используя понятие произведения чашек , можно дать двойственное (и, следовательно, эквивалентное) определение следующим образом. Пусть M — замкнутое ориентированное 4-многообразие (PL или гладкое). Определим форму пересечения на 2-й группе когомологий ${\displaystyle \smile }$

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M;\mathbb {Z} )\times H^{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} }$

по формуле

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle .}$

Определение кубкового произведения является дуальным (и, следовательно, аналогичным) к вышеприведенному определению формы пересечения на гомологии многообразия, но является более абстрактным. Однако определение кубкового произведения обобщается на комплексы и топологические многообразия. Это преимущество для математиков, которые интересуются комплексами и топологическими многообразиями (не только PL и гладкими многообразиями).

Когда 4-многообразие гладкое, то в когомологиях де Рама , если a и b представлены 2-формами и , то форма пересечения может быть выражена интегралом ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Q(a,b)=\int _{M}\alpha \wedge \beta }$

где — клиновое произведение . ${\displaystyle \wedge }$

Определение с использованием произведения кубков имеет более простой аналог по модулю 2 (который работает для неориентируемых многообразий). Конечно, в когомологиях де Рама этого нет.

Свойства и применение

Двойственность Пуанкаре утверждает, что форма пересечения унимодулярна (с точностью до кручения).

По формуле Ву спиновое 4-многообразие должно иметь четную форму пересечения, т. е. быть четным для каждого x . Для односвязного гладкого 4-многообразия (или, в более общем случае, без 2-кручения, находящегося в первой гомологии) справедливо обратное. ${\displaystyle Q(x,x)}$

Сигнатура формы пересечения является важным инвариантом. 4-многообразие ограничивает 5-многообразие тогда и только тогда, когда оно имеет нулевую сигнатуру. Лемма Ван дер Блия подразумевает, что спиновое 4-многообразие имеет сигнатуру, кратную восьми. Фактически, теорема Рохлина подразумевает, что гладкое компактное спиновое 4-многообразие имеет сигнатуру, кратную 16.

Майкл Фридман использовал форму пересечения для классификации односвязных топологических 4-многообразий. Для любой унимодулярной симметричной билинейной формы над целыми числами Q существует односвязное замкнутое 4-многообразие M с формой пересечения Q. Если Q четно, то существует только одно такое многообразие. Если Q нечетно, то их два, причем по крайней мере одно (возможно, оба) не имеет гладкой структуры. Таким образом, два односвязных замкнутых гладких 4-многообразия с одинаковой формой пересечения гомеоморфны. В нечетном случае два многообразия различаются своим инвариантом Кирби–Зибенмана .

Теорема Дональдсона утверждает, что гладкое односвязное 4-многообразие с положительно определенной формой пересечения имеет диагональную (скалярную 1) форму пересечения. Таким образом, классификация Фридмана подразумевает, что существует много несглаживаемых 4-многообразий, например, многообразие E8 .

Ссылки

• Форма пересечения
• Пересечение_числа_погружений
• Кирби, Робион (1989), Топология 4-многообразий, Lecture Notes in Math. 1374 , Springer-Verlag
• Linking_form
• Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий , Американское математическое общество , ISBN 0-8218-3749-4
• Скопенков, Аркадий (2015), Алгебраическая топология с геометрической точки зрения (на русском языке), МЦНМО, ISBN 978-5-4439-0293-7