4-многообразие

Математическое пространство

В математике 4-многообразие — это 4-мерное топологическое многообразие . Гладкое 4-многообразие — это 4-многообразие с гладкой структурой . В четвертом измерении, в отличие от нижних измерений, топологические и гладкие многообразия совершенно различны. Существуют некоторые топологические 4-многообразия, которые не допускают гладкой структуры, и даже если существует гладкая структура, она не обязательно должна быть единственной (т. е. существуют гладкие 4-многообразия, которые гомеоморфны , но не диффеоморфны ).

4-многообразия важны в физике, потому что в общей теории относительности пространство-время моделируется как псевдориманово 4-многообразие.

Топологические 4-многообразия

Гомотопический тип односвязного компактного 4-многообразия зависит только от формы пересечения гомологии средней размерности. Знаменитая теорема Майкла Фридмана  (1982) подразумевает, что тип гомеоморфизма многообразия зависит только от этой формы пересечения и от инварианта, называемого инвариантом Кирби – Зибенмана , и, более того, может возникнуть любая комбинация унимодулярной формы и инварианта Кирби – Зибенмана. , за исключением того, что если форма четная, то инвариант Кирби – Зибенмана должен быть сигнатурой /8 (mod 2). ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Примеры:

• В частном случае, когда форма равна 0, это подразумевает 4-мерную топологическую гипотезу Пуанкаре .
• Если форма представляет собой решетку E8 , это дает многообразие, называемое многообразием E8 , многообразие, не гомеоморфное никакому симплициальному комплексу .
• Если форма равна , существует два многообразия, зависящих от инварианта Кирби – Зибенмана: одно - двумерное комплексное проективное пространство, а другое - поддельное проективное пространство с тем же гомотопическим типом, но не гомеоморфным (и без гладкой структуры). . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Когда ранг формы превышает примерно 28, число положительно определенных унимодулярных форм начинает чрезвычайно быстро увеличиваться с ростом ранга, поэтому существует огромное количество соответствующих односвязных топологических 4-многообразий (большинство из которых кажутся почти нет интереса).

Классификацию Фридмана можно распространить на некоторые случаи, когда фундаментальная группа не слишком сложна; например, когда это , существует классификация, аналогичная приведенной выше, с использованием эрмитовых форм над групповым кольцом . Если фундаментальная группа слишком велика (например, свободная группа с двумя образующими), то методы Фридмана, похоже, не работают, и о таких многообразиях известно очень мало. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Для любой конечно определенной группы легко построить (гладкое) компактное 4-многообразие, используя его в качестве фундаментальной группы. Поскольку не существует алгоритма, позволяющего определить, изоморфны ли две конечно представленные группы (даже если известно, что одна из них тривиальна), не существует алгоритма, позволяющего определить, имеют ли два 4-многообразия одну и ту же фундаментальную группу. Это одна из причин, почему большая часть работ по 4-многообразиям рассматривает только односвязный случай: уже известно, что общий случай многих задач неразрешим.

Гладкие 4-многообразия

Для многообразий размерности не более 6 любая кусочно-линейная (PL) структура может быть сглажена по существу единственным способом, ^[1] поэтому, в частности, теория 4-мерных PL-многообразий во многом аналогична теории 4-мерных гладких многообразий.

Основной открытой проблемой теории гладких 4-многообразий является классификация односвязных компактных. Как известно, топологические из них распадаются на две части:

1. Какие топологические многообразия являются сглаживаемыми?
2. Классифицируйте различные гладкие структуры на сглаживаемом многообразии.

Существует почти полный ответ на первую задачу о том, что односвязные компактные 4-многообразия имеют гладкую структуру. Во-первых, класс Кирби–Зибенмана должен исчезнуть.

• Если форма пересечения определена, теорема Дональдсона (Donaldson 1983) дает полный ответ: гладкая структура существует тогда и только тогда, когда форма диагонализуема.
• Если форма неопределенная и нечетная, то структура гладкая.
• Если форма неопределенна и даже мы можем также предположить, что она имеет неположительную сигнатуру, изменив при необходимости ориентацию, и в этом случае она изоморфна сумме m копий II _{1, 1} и 2 n копий E ₈ (− 1) для некоторых m и n . Если m ≥ 3 n (так что размерность как минимум в 11/8 раза больше |сигнатуры|), то существует гладкая структура, заданная связной суммой n поверхностей K3 и m  − 3 n копий S ² × S ² . Если m ≤ 2 n (так что размерность не более чем в 10/8 раз больше |сигнатуры|), то Фурута доказал, что гладкой структуры не существует (Фурута 2001). Это оставляет небольшой разрыв между 10/8 и 11/8, где ответ по большей части неизвестен. (Наименьший случай, не рассмотренный выше, имеет n =2 и m =5, но это также исключено, поэтому наименьшая решетка, для которой ответ на данный момент неизвестен, - это решетка II _7,55 ранга 62 с n =3 и m = 7. См. ^[2] о недавнем (по состоянию на 2019 год) прогрессе в этой области.) «Гипотеза 11/8» утверждает, что гладких структур не существует, если размерность меньше |сигнатуры| .

Напротив, о втором вопросе классификации гладких структур на сглаживаемом 4-многообразии известно очень мало; на самом деле не существует ни одного сглаживаемого 4-многообразия, ответ на который был бы известен. Дональдсон показал, что существуют некоторые односвязные компактные 4-многообразия, такие как поверхности Долгачева , со счетным бесконечным числом различных гладких структур. На R ⁴ существует бесчисленное множество различных гладких структур ; см. экзотический R ⁴ . Финтушель и Стерн показали, как использовать хирургию для построения большого количества различных гладких структур (индексированных произвольными целыми полиномами) на многих разных многообразиях, используя инварианты Зайберга – Виттена, чтобы показать, что гладкие структуры различны. Их результаты показывают, что любая классификация односвязных гладких 4-многообразий будет очень сложной. В настоящее время нет правдоподобных предположений о том, как может выглядеть эта классификация. (Некоторые ранние гипотезы о том, что все односвязные гладкие 4-многообразия могут быть связными суммами алгебраических поверхностей или симплектических многообразий , возможно, с обратной ориентацией, были опровергнуты.)

Особые явления в 4 измерениях

Существует несколько фундаментальных теорем о многообразиях, которые могут быть доказаны методами малой размерности в размерности не более 3 и совершенно другими методами высокой размерности в размерности не менее 5, но которые неверны в размерности 4. Вот несколько примеров:

• В размерностях, отличных от 4, инвариант Кирби – Зибенмана препятствует существованию структуры PL; другими словами, компактное топологическое многообразие имеет PL-структуру тогда и только тогда, когда его инвариант Кирби–Зибенмана в H ⁴ ( M , Z /2 Z ) равен нулю. В размерности 3 и ниже каждое топологическое многообразие допускает по существу уникальную PL-структуру. В размерности 4 существует множество примеров с исчезающим инвариантом Кирби–Зибенмана, но без структуры PL.
• В любой размерности, отличной от 4, компактное топологическое многообразие имеет только конечное число существенно различных PL или гладких структур. В размерности 4 компактные многообразия могут иметь счетно-бесконечное число недиффеоморфных гладких структур.
• Четыре — единственное измерение n , для которого R ⁿ может иметь экзотическую гладкую структуру. R ⁴ имеет бесчисленное множество экзотических гладких структур; см. экзотический R ⁴ .
• Решение гладкой гипотезы Пуанкаре известно во всех измерениях, кроме 4 (обычно оно неверно в измерениях не ниже 7; см. экзотическую сферу ). Гипотеза Пуанкаре для PL-многообразий была доказана для всех измерений, кроме 4, но неизвестно, верна ли она в 4-х измерениях (она эквивалентна гладкой гипотезе Пуанкаре в 4-х измерениях).
• Теорема о гладком h-кобордизме верна для кобордизмов при условии, что ни кобордизм, ни его граница не имеют размерности 4. Она может не работать, если граница кобордизмов имеет размерность 4 (как показал Дональдсон ). ^[3] Если кобордизм имеет размерность 4, то неизвестно, верна ли теорема о h-кобордизме.
• Топологическое многообразие размерности, отличной от 4, имеет разложение по телу-ручке . Многообразия размерности 4 имеют разложение тела ручки тогда и только тогда, когда они сглаживаемы.
• Существуют компактные 4-мерные топологические многообразия, не гомеоморфные никакому симплициальному комплексу . В размерности не менее 5 существование топологических многообразий, не гомеоморфных симплициальному комплексу, было открытой проблемой. Чиприан Манолеску показал, что существуют многообразия в каждом измерении больше или равном 5, которые не гомеоморфны симплициальному комплексу. ^[4]

Провал трюка Уитни в измерении 4

По словам Фрэнка Куинна , «два n -мерных подмногообразия многообразия размерности 2 n обычно пересекаются друг с другом в изолированных точках. «Трюк Уитни» использует изотопию встроенного 2-диска для упрощения этих пересечений. Грубо говоря, это сводит изучение n -мерных вложений к вложениям 2-дисков. Но это не сведение, когда размерность равна 4: сами 2-диски являются среднемерными, поэтому попытка их встраивания сталкивается с теми же проблемами, что и они. Это явление, которое отделяет измерение 4 от других». ^[5]

Смотрите также

• Исчисление Кирби
• Алгебраическая поверхность
• 3-многообразие
• 5-многообразие
• Классификация Энрикеса-Кодайры
• Ручка Кассона
• Акбулут пробковый

Рекомендации

1. Милнор, Джон (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 58 (6): 804–809, MR  2839925.
2. Хопкинс, Майкл Дж .; Линь, Цзяньфэн; Ши, СяоЛинь; Сюй, Чжоули (2019), «Формы пересечения 4-многообразий со спином и Pin(2)-эквивариантный инвариант Маховальда», arXiv : 1812.04052 [math.AT].
3. Дональдсон, Саймон К. (1987). «Иррациональность и гипотеза h-кобордизма». Дж. Дифференциальная геометрия . 26 (1): 141–168. дои : 10.4310/jdg/1214441179 . МР  0892034.
4. Манолеску, Чиприан (2016). «Pin (2)-эквивариантные гомологии Зайберга – Виттена Флоера и гипотеза триангуляции». Дж. Амер. Математика. Соц. 29 : 147–176. arXiv : 1303.2354 . дои : 10.1090/jams829. S2CID  16403004.
5. Куинн, Ф. (1996). «Проблемы низкоразмерной топологии». В Раницки, А.; Ямасаки, М. (ред.). Хирургия и геометрическая топология: материалы конференции, состоявшейся в Университете Джосай, Сакадо, сентябрь 1996 г. (PDF) . стр. 97–104.

• Дональдсон, Саймон К. (1983), «Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии», Journal of Differential Geometry , 18 (2): 279–315, doi : 10.4310/jdg/1214437665
• Дональдсон, Саймон К .; Кронхаймер, Питер Б. (1997), Геометрия четырех многообразий , Оксфордские математические монографии, Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 0-19-850269-9
• Фрид, Дэниел С .; Уленбек, Карен К. (1984), Инстантоны и четырехмногообразия , Публикации Научно-исследовательского института математических наук, том. 1, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, номер номера : 10.1007/978-1-4684-0258-2, ISBN. 0-387-96036-8, МР  0757358
• Фридман, Майкл Хартли (1982), «Топология четырехмерных многообразий», Журнал дифференциальной геометрии , 17 (3): 357–453, doi : 10.4310/jdg/1214437136 , MR  0679066
• Фридман, Майкл Х .; Куинн, Фрэнк (1990), Топология 4-многообразий , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-08577-3
• Фурута, Микио (2001), «Уравнение монополя и гипотеза 11/8», Mathematical Research Letters , 8 : 279–291, doi : 10.4310/mrl.2001.v8.n3.a5 , MR  1839478
• Кирби, Робион К. (1989), Топология 4-многообразий , Конспект лекций по математике, том. 1374, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/BFb0089031, ISBN. 978-3-540-51148-9, МР  1001966
• Гомпф, Роберт Э .; Стипсич, Андраш И. (1999), 4-многообразия и исчисление Кирби , Grad. Исследования по математике, вып. 20, Американское математическое общество , MR  1707327.
• Кирби, Колорадо; Тейлор, ЛР (1998). «Обзор 4-многообразий глазами хирургии». arXiv : math.GT/9803101 .
• Мандельбаум, Р. (1980), «Четырехмерная топология: введение», Bull. амер. Математика. Соц. , 2 : 1–159, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14687-X
• Матвеев, С.В. (2001) [1994], «Четырехмерные многообразия», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Скорпан, А. (2005), Дикий мир 4-многообразий , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3749-4

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с 4-многообразиями, на Викискладе?