решетка E8

Решетка в 8-мерном пространстве со специальными свойствами

В математике решетка E ₈ является специальной решеткой в ​​R ⁸ . Ее можно охарактеризовать как единственную положительно определенную, четную, унимодулярную решетку ранга 8. Название происходит от того факта, что она является корневой решеткой корневой системы E 8 .

Норма ^[1] решетки E ₈ (деленная на 2) является положительно определенной четной унимодулярной квадратичной формой от 8 переменных, и наоборот, такая квадратичная форма может быть использована для построения положительно определенной четной унимодулярной решетки ранга 8. Существование такой формы было впервые показано Г. Дж. С. Смитом в 1867 году, ^[2] а первая явная конструкция этой квадратичной формы была дана Коркиным и Золотаревым в 1873 году. ^[3] Решетка E ₈ также называется решеткой Госсета в честь Торольда Госсета , который был одним из первых, кто изучал геометрию самой решетки около 1900 года. ^[4]

Точки решетки

Решетка E ₈ является дискретной подгруппой R 8 ^{полного} ранга (т.е. охватывает все R ⁸ ). Она может быть явно задана множеством точек Γ ₈ ⊂ R ⁸ таким, что

• все координаты являются целыми числами или все координаты являются полуцелыми числами (смесь целых и полуцелых чисел не допускается), и
• сумма восьми координат представляет собой четное целое число .

В символах,

${\displaystyle \Gamma _{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

Нетрудно проверить, что сумма двух точек решетки является другой точкой решетки, так что Γ ₈ действительно является подгруппой.

Альтернативное описание решетки E ₈ , которое иногда удобно, представляет собой множество всех точек в Γ′ ₈ ⊂ R ⁸ таких, что

• все координаты являются целыми числами и сумма координат четная, или
• все координаты являются полуцелыми числами, а сумма координат нечетна.

В символах,

${\displaystyle \Gamma _{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_{5}\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

${\displaystyle \Gamma _{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 0({\mbox{mod }}2)\right\}\cup \left\{(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

Решетки Γ ₈ и Γ′ ₈ изоморфны , и можно перейти от одной к другой, меняя знаки любого нечетного числа полуцелых координат. Решетка Γ ₈ иногда называется четной системой координат для E ₈ , а решетка Γ′ ₈ — нечетной системой координат . Если не указано иное, мы будем работать в четной системе координат.

Характеристики

Решетку E ₈ Γ ₈ можно охарактеризовать как единственную решетку в R ⁸ со следующими свойствами:

• Он является целым числом , что означает, что все скалярные произведения элементов решетки являются целыми числами.
• Он унимодулярен , то есть является целым, и может быть сгенерирован столбцами матрицы 8×8 с определителем ±1 (то есть объем фундаментального параллелоэдра решетки равен 1). Эквивалентно, Γ ₈ является самодвойственным , то есть он равен своей двойственной решетке .
• Он четный , что означает, что норма ^[1] любого вектора решетки четная.

Даже унимодулярные решетки могут встречаться только в размерностях, кратных 8. В размерности 16 таких решеток две: Γ ₈ ⊕ Γ ₈ и Γ ₁₆ (построены аналогично Γ _{8 )} . В размерности 24 таких решеток 24, называемых решетками Нимейера . Наиболее важной из них является решетка Лича .

Одним из возможных оснований для Γ ₈ являются столбцы ( верхней треугольной ) матрицы

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\0&0&0&0&1&-1&0&1/2\\0&0&0&0&0&1&-1&1/2\\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{matrix}}\right]}$

Тогда Γ ₈ — это целая продолжительность этих векторов. Все остальные возможные базисы получаются из этого путем правого умножения на элементы GL(8, Z ).

Самые короткие ненулевые векторы в Γ ₈ имеют длину, равную √2. Таких векторов 240:

• Все полуцелые числа (могут быть только ±1/2):
  • Все положительные или все отрицательные: 2
  • Четыре положительных, четыре отрицательных: (8*7*6*5)/(4*3*2*1)=70
  • Два из одного, шесть из другого: 2*(8*7)/(2*1) = 56
• Все целые числа (могут быть только 0, ±1):
  • Два ±1, шесть нулей: 4*(8*7)/(2*1)=112

Они образуют корневую систему типа E 8 . Решетка Γ ₈ равна корневой решетке E ₈ , что означает, что она задается целым диапазоном 240 корней. Любой выбор из 8 простых корней дает основу для Γ ₈ .

Группа симметрии

Группа автоморфизмов (или группа симметрии ) решетки в R ⁿ определяется как подгруппа ортогональной группы O( n ), которая сохраняет решетку. Группа симметрии решетки E ₈ — это группа Вейля / Коксетера типа E ₈ . Это группа, порожденная отражениями в гиперплоскостях, ортогональных 240 корням решетки. Ее порядок задается формулой

${\displaystyle |W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!}$

Группа Вейля E ₈ содержит подгруппу порядка 128·8!, состоящую из всех перестановок координат и всех четных изменений знака. Эта подгруппа является группой Вейля типа D ₈ . Полная группа Вейля E ₈ порождается этой подгруппой и блочно-диагональной матрицей H ₄ ⊕ H _{4 ,} где H ₄ — матрица Адамара

${\displaystyle H_{4}={\tfrac {1}{2}}\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right].}$

Геометрия

См. 5 ₂₁ соты

Точки решетки E ₈ являются вершинами сот 5 21 , которые состоят из правильных 8-симплексных и 8-ортоплексных граней . Эти соты были впервые изучены Госсетом, который назвал их 9-ic полуправильной фигурой ^[4] (Госсет рассматривал соты в n измерениях как вырожденные n +1 многогранники). В обозначениях Коксетера ^[5] соты Госсета обозначаются 5 ₂₁ и имеют диаграмму Коксетера-Дынкина :

Эти соты являются в высшей степени регулярными в том смысле, что их группа симметрии (аффинная группа Вейля) действует транзитивно на k -гранях при k ≤ 6. Все k -грани при k ≤ 7 являются симплексами. ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$

Вершинная фигура сот Госсета — это полуправильный многогранник E 8 (4 ₂₁ в обозначениях Коксетера), заданный выпуклой оболочкой 240 корней решетки E ₈ .

Каждая точка решетки E ₈ окружена 2160 8-ортоплексами и 17280 8-симплексами. 2160 глубоких дырок вблизи начала координат — это в точности половины точек решетки нормы 4. 17520 точек решетки нормы 8 делятся на два класса (две орбиты под действием группы автоморфизмов E ₈ ): 240 — это удвоенные точки решетки нормы 2, а 17280 — это удвоенные неглубокие дырки, окружающие начало координат.

Дырка в решетке — это точка в окружающем евклидовом пространстве, расстояние до ближайшей точки решетки которой является локальным максимумом . (В решетке, определяемой как однородные соты, эти точки соответствуют центрам объемов граней .) Глубокая дыра — это та, расстояние до которой до решетки является глобальным максимумом. В решетке E ₈ есть два типа дыр :

• Глубокие дырки , такие как точка (1,0,0,0,0,0,0,0), находятся на расстоянии 1 от ближайших точек решетки. На этом расстоянии находятся 16 точек решетки, которые образуют вершины 8-ортоплекса с центром в дырке ( ячейка Делоне дырки).
• Неглубокие отверстия, такие как точка, находятся на расстоянии от ближайших точек решетки. На этом расстоянии находится 9 точек решетки, образующих вершины 8-симплекса с центром в отверстии. ${\displaystyle ({\tfrac {5}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})}$ ${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {2}}}{3}}}$

Упаковки сфер и целующиеся числа

Решетка E ₈ примечательна тем, что она дает оптимальные решения задачи упаковки сфер и задачи о числе соприкасающихся сфер в 8 измерениях.

Задача упаковки сфер спрашивает, какой самый плотный способ упаковать (сплошные) n -мерные сферы фиксированного радиуса в R ⁿ так, чтобы никакие две сферы не перекрывались. Решетчатые упаковки — это особые типы упаковок сфер, где сферы центрированы в точках решетки. Размещение сфер радиуса 1/ √ 2 в точках решетки E ₈ дает решетчатую упаковку в R ⁸ с плотностью

${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0.25367.}$

В статье 1935 года Ганс Фредерик Блихфельдт доказал, что это максимальная плотность, которая может быть достигнута решетчатой ​​упаковкой в ​​8 измерениях. ^[6] Более того, решетка E ₈ является единственной решеткой (с точностью до изометрий и масштабирований) с такой плотностью. ^[7] Марина Вязовская доказала в 2016 году, что эта плотность на самом деле оптимальна даже среди нерегулярных упаковок. ^{[8] [9]}

Задача о числе поцелуев спрашивает, каково максимальное число сфер фиксированного радиуса, которые могут касаться (или «поцеловать») центральной сферы того же радиуса. В упаковке решетки E ₈ , упомянутой выше, любая заданная сфера касается 240 соседних сфер. Это происходит потому, что существует 240 векторов решетки минимальной ненулевой нормы (корни решетки E ₈ ). В 1979 году было показано, что это максимально возможное число в 8 измерениях. ^{[10] [11]}

Задача упаковки сфер и задача числа поцелуя являются исключительно сложными, и оптимальные решения известны только в измерениях 1, 2, 3, 8 и 24 (плюс измерение 4 для задачи числа поцелуя). Тот факт, что решения известны в измерениях 8 и 24, следует отчасти из особых свойств решетки E ₈ и ее 24-мерного родственника, решетки Лича .

Тета-функция

Любой (положительно определенной) решетке Λ можно сопоставить тета-функцию, заданную формулой

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau >0.}$

Тета-функция решетки является тогда голоморфной функцией на верхней полуплоскости . Более того, тета-функция четной унимодулярной решетки ранга n на самом деле является модулярной формой веса n /2. Тета-функция целочисленной решетки часто записывается в виде степенного ряда по так, что коэффициент при q ⁿ дает число векторов решетки нормы n . ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$

С точностью до нормализации существует уникальная модулярная форма веса 4 и уровня 1: ряд Эйзенштейна G ₄ (τ). Тогда тета-функция для решетки E ₈ должна быть пропорциональна G ₄ (τ). Нормализацию можно исправить, заметив, что существует уникальный вектор нормы 0. Это дает

${\displaystyle \Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}}$

где σ ₃ ( n ) — функция делителя . Отсюда следует, что число векторов решетки E ₈ нормы 2 n в 240 раз больше суммы кубов делителей n . Первые несколько членов этого ряда задаются как (последовательность A004009 в OEIS ):

${\displaystyle \Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).}$

Тета-функцию E ₈ можно записать через тета-функции Якоби следующим образом:

${\displaystyle \Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)}$

где

${\displaystyle \theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}\qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.}$

Обратите внимание, что j-функцию можно выразить как:

${\displaystyle j(\tau )\,=\,32\,{\frac {\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)^{3}}{\left(\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)\right)^{8}}}}$

Другие конструкции

Код Хэмминга

Решетка E ₈ очень тесно связана с (расширенным) кодом Хэмминга H (8,4) и, по сути, может быть построена из него. Код Хэмминга H (8,4) является двоичным кодом длины 8 и ранга 4; то есть, это 4-мерное подпространство конечного векторного пространства ( F ₂ ) ⁸ . Записывая элементы ( F ₂ ) ⁸ как 8-битные целые числа в шестнадцатеричной системе , код H (8,4) может быть задан явно как множество

{00, 0F, 33, 3С, 55, 5А, 66, 69, 96, 99, А5, АА, С3, СС, F0, FF}.

Код H (8,4) имеет значение отчасти потому, что это самодвойственный код типа II . Он имеет минимальный ненулевой вес Хэмминга 4, что означает, что любые два кодовых слова отличаются по крайней мере на 4 бита. Это двоичный код наибольшей длины 8 с этим свойством.

Можно построить решетку Λ из двоичного кода C длины n , взяв набор всех векторов x в Z ⁿ таких, что x сравним (по модулю 2) с кодовым словом C. ^[12] Часто бывает удобно масштабировать Λ с коэффициентом 1 / √ 2 ,

${\displaystyle \Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\in C\right\}.}$

Применение этой конструкции к самодуальному коду типа II дает четную унимодулярную решетку. В частности, применение ее к коду Хэмминга H (8,4) дает решетку E ₈ . Однако не совсем тривиально найти явный изоморфизм между этой решеткой и решеткой Γ _{8 ,} определенной выше.

Интегральные октонионы

Решетка E ₈ также тесно связана с неассоциативной алгеброй действительных октонионов O . Можно определить концепцию целочисленного октониона аналогично концепции целочисленного кватерниона . Целочисленные октонионы естественным образом образуют решетку внутри O . Эта решетка представляет собой просто перемасштабированную решетку E ₈ . (Минимальная норма в целочисленной решетке октонионов равна 1, а не 2). Встроенная в октонионы таким образом решетка E ₈ приобретает структуру неассоциативного кольца .

Зафиксировав базис (1, i , j , k , ℓ, ℓ i , ℓ j , ℓ k ) единичных октонионов, можно определить целочисленные октонионы как максимальный порядок, содержащий этот базис. (Конечно, необходимо расширить определения порядка и кольца , чтобы включить неассоциативный случай). Это равносильно нахождению наибольшего подкольца O , содержащего единицы, на которых выражения x * x (норма x ) и x + x * (удвоенная действительная часть x ) являются целочисленными. На самом деле существует семь таких максимальных порядков, по одному соответствующему каждой из семи мнимых единиц. Однако все семь максимальных порядков изоморфны. Один такой максимальный порядок порождается октонионами i , j , и ⁠1/2⁠ ( я + дж + к + л).

Подробный отчет об интегральных октонионах и их связи с решеткой E8 _можно найти в работе Конвея и Смита (2003).

Пример определения целочисленных октонионов

Рассмотрим умножение октонионов, определяемое триадами: 137, 267, 457, 125, 243, 416, 356. Тогда целочисленные октонионы образуют векторы:

1) , я=0, 1, ..., 7 ${\displaystyle \pm e_{i}}$

2) индексы abc проходят через семь триад 124, 235, 346, 457, 561, 672, 713 ${\displaystyle \pm e_{0}\pm e_{a}\pm e_{b}\pm e_{c}}$

3) индексы pqrs проходят через семь тетрад 3567, 1467, 1257, 1236, 2347, 1345, 2456. ${\displaystyle \pm e_{p}\pm e_{q}\pm e_{r}\pm e_{s}}$

Мнимые октонионы в этом наборе, а именно 14 из 1) и 7*16=112 из 3), образуют корни алгебры Ли . Вместе с оставшимися 2+112 векторами мы получаем 240 векторов, которые образуют корни алгебры Ли . ^[13] ${\displaystyle E_{7}}$ ${\displaystyle E_{8}}$

Приложения

В 1982 году Майкл Фридман привел пример топологического 4-мерногообразия , названного многообразием E 8 , форма пересечения которого задается решеткой E ₈ . Это многообразие является примером топологического многообразия, которое не допускает гладкой структуры и даже не является триангулируемым .

В теории струн гетеротическая струна — это своеобразный гибрид 26-мерной бозонной струны и 10-мерной суперструны . Для того чтобы теория работала правильно, 16 несовпадающих измерений должны быть компактифицированы на четной унимодулярной решетке ранга 16. Существует две такие решетки: Γ ₈ >⊕Γ ₈ и Γ ₁₆ (построенные аналогично Γ ₈ ). Они приводят к двум версиям гетеротической струны, известным как гетеротическая струна E ₈ ×E ₈ и гетеротическая струна SO(32).

Смотрите также

• Решетка пиявки
• Е ₈ (математика)
• Полуправильный E-многогранник

Ссылки

1. В этой статье нормой вектора называется квадрат его длины (квадрат обычной нормы ).
2. Смит, Г. Дж. С. (1867). «О порядках и родах квадратичных форм, содержащих более трех неизвестных». Труды Королевского общества . 16 : 197–208. doi : 10.1098/rspl.1867.0036 .
3. Коркин, А.; Золотарев Г. (1873). «Сюр ле формы квадратные». Математические Аннален . 6 : 366–389. дои : 10.1007/BF01442795.
4. Gosset, Thorold (1900). «О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений». Вестник математики . 29 : 43–48.
5. Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.
6. Бличфельдт, HF (1935). «Минимальные значения положительных квадратичных форм от шести, семи и восьми переменных». Mathematische Zeitschrift . 39 : 1–15. дои : 10.1007/BF01201341. Збл  0009.24403.
7. Ветчинкин, Н. М. (1980). «Единственность классов положительных квадратичных форм, на которых достигаются значения постоянной Эрмита при 6 ≤ n ≤ 8». Геометрия положительных квадратичных форм . Т. 152. Труды Матем. ин-та Стеклова. С. 34–86.
8. Кларрайх, Эрика (30 марта 2016 г.). «Упаковка сфер решена в высших измерениях». Журнал Quanta .
9. Вязовская, Марина (2017). "Проблема упаковки сфер в размерности 8". arXiv : 1603.04246v2 .
10. Левенштейн, В.И. (1979). «О границах упаковок в n- мерном евклидовом пространстве». Советская математика – Доклады АН СССР . 20 : 417–421.
11. Odlyzko, AM ; Sloane, NJA (1979). «Новые границы числа единичных сфер, которые могут касаться единичной сферы в n измерениях». Журнал комбинаторной теории . A26 : 210–214. CiteSeerX 10.1.1.392.3839 . doi :10.1016/0097-3165(79)90074-8. Zbl  0408.52007. Это также глава 13 книги Конвея и Слоана (1998).
12. Это так называемая «Конструкция А» в работе Конвея и Слоана (1998). См. §2 главы 5.
13. Коджа, Мехмет; Коч, Рамазан; Коджа, Назифе О. (20 октября 2005 г.). «Группа Шевалле порядка 12096 и октонионная корневая система , Линейная алгебра и ее приложения». стр. 808–823. arXiv : hep-th/0509189v2 . ${\displaystyle G_{2}(2)}$ ${\displaystyle E_{7}}$

• Conway, John H .; Sloane, Neil JA (1998). Упаковки сфер, решетки и группы (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9.
• Конвей, Джон Х.; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах . Натик, Массачусетс: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.Глава 9 содержит обсуждение целочисленных октонионов и решетки E ₈ .