8-симплекс

В геометрии 8- симплекс — это самодвойственный правильный 8-многогранник . Он имеет 9 вершин , 36 ребер , 84 треугольные грани , 126 тетраэдрических ячеек , 126 5-ячеечных 4-граней, 84 5-симплексных 5-граней, 36 6-симплексных 6-граней и 9 7-симплексных 7-граней. Его двугранный угол равен cos ⁻¹ (1/8), или приблизительно 82,82°.

Его также можно назвать эннеазеттоном , или эннеа-8-топом , как 9- гранный многогранник в восьми измерениях. Название эннеазеттон происходит от ennea для девяти граней на греческом языке и -zetta для семимерных граней, и -on .

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет 8-симплекс. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам, 4-граням, 5-граням, 6-граням и 7-граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 8-симплексе. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Матрица этого самодвойственного симплекса идентична его повороту на 180 градусов. ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}9&8&28&56&70&56&28&8\\2&36&7&21&35&35&21&7\\3&3&84&6&15&20&15&6\\4&6&4&126&5&10&10&5\\5&10&10&5&126&4&6&4\\6&15&20&15&6&84&3&3\\7&21&35&35&21&7&36&2\\8&28&56&70&56&28&8&9\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Координаты

Декартовы координаты вершин правильного эннеазеттона с центром в начале координат и длиной ребра 2 равны:

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ -{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-4/3,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

Проще говоря, вершины 8-симплекса могут быть расположены в 9-пространстве как перестановки (0,0,0,0,0,0,0,0,1). Эта конструкция основана на гранях 9- ортоплекса .

Другая конструкция с центром в начале координат использует (1,1,1,1,1,1,1,1)/3 и перестановки (1,1,1,1,1,1,1,1,-11)/12 для длины ребра √2.

Изображения

Связанные многогранники и соты

Этот многогранник является гранью в однородных мозаиках: 2 51 и 5 21 с соответствующими диаграммами Коксетера-Дынкина :

,

Этот многогранник является одним из 135 однородных 8-мерных многогранников с симметрией A ₈ .

Ссылки

1. Коксетер 1973, §1.8 Конфигурации
2. Coxeter, HSM (1991). Регулярные комплексные многогранники (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 117. ISBN 9780521394901.

• Коксетер, HSM :
  • — (1973). "Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5)". Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. стр. 296. ISBN 0-486-61480-8.
  • Шерк, Ф. Артур; МакМаллен, Питер; Томпсон, Энтони К.; Вайс, Азия Ивич, ред. (1995). Калейдоскопы: избранные сочинения Х. С. М. Коксетера. Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Документ 22) — (1940). «Правильные и полуправильные многогранники I». Math. Zeit . 46 : 380–407. doi :10.1007/BF01181449. S2CID  186237114.
    • (Документ 23) — (1985). «Правильные и полуправильные многогранники II». Math. Zeit . 188 (4): 559–591. doi :10.1007/BF01161657. S2CID  120429557.
    • (Документ 24) — (1988). «Правильные и полуправильные многогранники III». Math. Zeit . 200 : 3–45. doi :10.1007/BF01161745. S2CID  186237142.
• Конвей, Джон Х.; Берджил, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). "26. Гемикубы: 1 _n1 ". Симметрии вещей . стр. 409. ISBN 978-1-56881-220-5.
• Джонсон, Норман (1991). «Однородные многогранники» (Рукопись). Норман Джонсон (математик).
  • Джонсон, Н. В. (1966). Теория однородных многогранников и сот (PhD). Университет Торонто. OCLC  258527038.
• Клитцинг, Ричард. «8D однородные многогранники (polyzetta) x3o3o3o3o3o3o3o — ene».

Внешние ссылки

• Глоссарий гиперпространства, Джордж Ольшевский.
• Многогранники различных размерностей
• Многомерный глоссарий