Октонион

Гиперкомплексная система счисления

В математике октонионы — это нормированная алгебра с делением над действительными числами , своего рода гиперкомплексная система счисления . Октонионы обычно обозначаются заглавной буквой O, жирным шрифтом O или полужирным шрифтом blackboard . Октонионы имеют восемь измерений ; в два раза больше измерений кватернионов , расширением которых они являются. Они некоммутативны и неассоциативны , но удовлетворяют более слабой форме ассоциативности; а именно, они альтернативны . Они также ассоциативны по мощности . ${\displaystyle \mathbb {O} }$

Октонионы не так хорошо известны, как кватернионы и комплексные числа , которые гораздо более широко изучаются и используются. Октонионы связаны с исключительными структурами в математике, среди которых исключительные группы Ли . Октонионы имеют приложения в таких областях, как теория струн , специальная теория относительности и квантовая логика . Применение конструкции Кэли–Диксона к октонионам дает седенионы .

История

Октонионы были открыты в декабре 1843 года Джоном Т. Грейвсом , вдохновленным открытием кватернионов его другом Уильямом Роуэном Гамильтоном . Незадолго до открытия октонионов Грейвсом, 26 октября 1843 года Грейвс написал в письме Гамильтону: «Если с помощью своей алхимии вы можете сделать три фунта золота, почему вы должны останавливаться на этом?» ^[1]

Грейвс назвал свое открытие «октавами» и упомянул о них в письме Гамильтону от 26 декабря 1843 года . ^[2] Он впервые опубликовал свой результат немного позже статьи Артура Кэли . ^[3] Октонионы были открыты Кэли независимо ^[4] и иногда называются числами Кэли или алгеброй Кэли . Гамильтон описал раннюю историю открытия Грейвса. ^[5]

Определение

Октонионы можно рассматривать как октеты (или 8 кортежей) действительных чисел. Каждый октонион является действительной линейной комбинацией единичных октонионов :

${\displaystyle {\bigl \{}e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}{\bigr \}}\ ,}$

где e ₀ — скалярный или действительный элемент; его можно отождествить с действительным числом 1. То есть, каждый октонион x можно записать в виде

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7}\ ,}$

с действительными коэффициентами x _i .

Строительство Кейли–Диксона

Более систематический способ определения октонионов — через конструкцию Кэли–Диксона. Применение конструкции Кэли–Диксона к кватернионам дает октонионы, которые можно выразить как . ^[6] ${\displaystyle \mathbb {O} ={\mathcal {CD}}(\mathbb {H} ,1)}$

Так же, как кватернионы могут быть определены как пары комплексных чисел, октонионы могут быть определены как пары кватернионов. Сложение определяется попарно. Произведение двух пар кватернионов ( a , b ) и ( c , d ) определяется как

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})\ ,}$

где z * обозначает сопряжение кватерниона z . Это определение эквивалентно данному выше, когда восемь единичных октонионов отождествляются с парами

(1, 0), ( i , 0), ( j , 0), ( k , 0), (0, 1), (0, i ), (0, j ), (0, k )

Арифметика и операции

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание октонионов выполняется путем сложения и вычитания соответствующих членов и, следовательно, их коэффициентов, подобно кватернионам.

Умножение

Умножение октонионов более сложно. Умножение является дистрибутивным по отношению к сложению, поэтому произведение двух октонионов можно вычислить, суммируя произведения всех членов, снова как кватернионы. Произведение каждой пары членов можно получить, умножив коэффициенты и таблицу умножения единичных октонионов, например, эту (данную Артуром Кейли в 1845 году и Джоном Т. Грейвсом в 1843 году): ^[7]

Большинство недиагональных элементов таблицы антисимметричны, что делает ее почти кососимметричной матрицей, за исключением элементов на главной диагонали, а также строки и столбца, для которых _e0 является операндом.

Таблицу можно обобщить следующим образом: ^[8]

${\displaystyle e_{\ell }e_{m}={\begin{cases}e_{m},&{\text{if }}\ell =0\\e_{\ell },&{\text{if }}m=0\\-\delta _{\ell m}e_{0}+\varepsilon _{\ell mn}e_{n},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

где δ _ℓm — символ Кронекера (равный 1 , если ℓ = m , и 0 для ℓ ≠ m ), а ε _ℓmn — полностью антисимметричный тензор со значением +1 при ℓ mn = 1 2 3, 1 4 5, 1 7 6, 2 4 6, 2 5 7, 3 4 7, 3 6 5 , и любом четном числе перестановок индексов, но −1 для любых нечетных перестановок перечисленных троек (например, но , однако, снова). Всякий раз, когда любые два из трех индексов одинаковы, ε _ℓmn = 0 . ${\displaystyle \ \varepsilon _{123}=+1\ }$ ${\displaystyle \ \varepsilon _{132}=\varepsilon _{213}=-1\ ,}$ ${\displaystyle \ \varepsilon _{312}=\varepsilon _{231}=+1\ }$

Однако приведенное выше определение не является уникальным; это лишь одно из 480 возможных определений для умножения октонионов с e ₀ = 1. Остальные могут быть получены путем перестановки и изменения знаков нескалярных базисных элементов { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ , e ₅ , e ₆ , e ₇ }  . 480 различных алгебр изоморфны , и редко возникает необходимость учитывать, какое конкретно правило умножения используется.

Каждое из этих 480 определений инвариантно с точностью до знаков в некотором цикле 7 точек (1 2 3 4 5 6 7) , и для каждого цикла 7 существует четыре определения, отличающиеся знаками и обратным порядком. Обычным выбором является использование определения, инвариантного в цикле 7 (1234567) с e ₁ e ₂ = e _4, с использованием треугольной диаграммы умножения или плоскости Фано ниже, которая также показывает отсортированный список триад 7-цикла на основе 1 2 4 и связанных с ним матриц умножения как в формате e _{n ,} так и в формате . ${\displaystyle \ \mathrm {IJKL} \ }$

Иногда используется вариация этого, чтобы обозначить элементы базиса элементами ∞ , 0, 1, 2, ..., 6, проективной прямой над конечным полем порядка 7. Умножение тогда задается как e _∞ = 1 и e ₁ e ₂ = e ₄ , и все выражения, полученные из этого путем добавления константы ( по модулю 7) ко всем индексам: Другими словами, используя семь троек (1 2 4) (2 3 5) (3 4 6) ( 4 5 0) ( 5 6 1) (6 0 2) (0 1 3) . Это ненулевые кодовые слова квадратичного кода вычета длины 7 над полем Галуа из двух элементов, GF (2) . Существует симметрия порядка 7, заданная добавлением константы mod  7 ко всем индексам, а также симметрия порядка 3, заданная умножением всех индексов на один из квадратичных вычетов 1, 2, 4 mod 7. ^{[9] [10]} Эти семь троек также можно рассматривать как семь трансляций набора {1,2,4} ненулевых квадратов, образующих циклическое (7,3,1) -разностное множество в конечном поле GF(7) из семи элементов.

Плоскость Фано, показанная выше , с матрицами умножения IJKL также включает в себя базис геометрической алгебры с сигнатурой (− − − −) и задается в терминах следующих 7  кватернионных троек (исключая скалярный единичный элемент): ${\displaystyle e_{n}}$

( Я , дж , к ) , ( я , Дж , к ) , ( я , дж , К ) , ( Я , Дж , К ) , ( ★ Я , й , л ) , (★ J , дж , л ), (★ К , к , л )

или альтернативно:

${\displaystyle (\sigma _{1},j,k),(i,\sigma _{2},k),(i,j,\sigma _{3}),(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}),}$( ★ ★ ★ ${\displaystyle \sigma _{1},i,l),(}$ ${\displaystyle \sigma _{2},j,l),(}$ ${\displaystyle \sigma _{3},k,l)}$

в котором строчные элементы {i, j, k, l} являются векторами (например, { }, соответственно), а заглавные элементы { I,J,K }={ σ ₁ ,σ ₂ ,σ ₃ } являются бивекторами (например , , соответственно), а оператор звезды Ходжа ★ = ijkl является псевдоскалярным элементом. Если ★ принудительно равен единице, то умножение перестает быть ассоциативным, но ★ можно удалить из таблицы умножения, в результате чего получится таблица умножения октониона. ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$ ${\displaystyle \gamma _{\{1,2,3\}}\gamma _{0}}$

Сохраняя ★ = ijkl ассоциативным и, таким образом, не сводя 4-мерную геометрическую алгебру к октонионной, всю таблицу умножения можно вывести из уравнения для ★ . Рассмотрим гамма-матрицы в приведенных выше примерах. Формула, определяющая пятую гамма-матрицу ( ), показывает, что это ★ четырехмерной геометрической алгебры гамма-матриц. ${\displaystyle \gamma _{5}}$

Мнемоника плоскости Фано

Мнемоника для произведений единичных октонионов ^[11]

Трехмерная мнемоническая визуализация, показывающая 7 триад как гиперплоскости, проходящие через действительную вершину ( e ₀ ) примера октониона, приведенного выше ^[11]

Удобная мнемоника для запоминания произведений единичных октонионов представлена ​​диаграммой, которая представляет собой таблицу умножения Кэли и Грейвса. ^{[7] [12]} Эта диаграмма с семью точками и семью линиями (окружность через 1, 2 и 3 считается линией) называется плоскостью Фано . Линии являются направленными. Семь точек соответствуют семи стандартным базисным элементам (см. определение ниже). Каждая пара различных точек лежит на уникальной линии, и каждая линия проходит ровно через три точки. ${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\ \mathbb {O} \ {\bigr ]}\ }$

Пусть ( a , b , c ) — упорядоченная тройка точек, лежащих на данной прямой с порядком, указанным направлением стрелки. Тогда умножение задается как

ab = c и ba = − c

вместе с циклическими перестановками . Эти правила вместе с

• 1 — мультипликативная идентичность,
• ${\displaystyle {e_{i}}^{2}=-1\ }$для каждой точки на диаграмме

полностью определяет мультипликативную структуру октонионов. Каждая из семи строк порождает подалгебру изоморфных кватернионам H. ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

Сопряженная, нормированная и обратная функция

Сопряженный октонион​

${\displaystyle x=x_{0}\ e_{0}+x_{1}\ e_{1}+x_{2}\ e_{2}+x_{3}\ e_{3}+x_{4}\ e_{4}+x_{5}\ e_{5}+x_{6}\ e_{6}+x_{7}\ e_{7}}$

дается

${\displaystyle x^{*}=x_{0}\ e_{0}-x_{1}\ e_{1}-x_{2}\ e_{2}-x_{3}\ e_{3}-x_{4}\ e_{4}-x_{5}\ e_{5}-x_{6}\ e_{6}-x_{7}\ e_{7}~.}$

Сопряжение является инволюцией и удовлетворяет условию ( xy ) * = y * x * (обратите внимание на изменение порядка). ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

Действительная часть x определяется выражением

${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}\ e_{0}}$

и мнимая часть на

${\displaystyle {\frac {x-x^{*}}{2}}=x_{1}\ e_{1}+x_{2}\ e_{2}+x_{3}\ e_{3}+x_{4}\ e_{4}+x_{5}\ e_{5}+x_{6}\ e_{6}+x_{7}\ e_{7}~.}$

Множество всех чисто мнимых октонионов охватывает 7  - мерное подпространство обозначенных ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ ,}$ ${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\ \mathbb {O} \ {\bigr ]}~.}$

Сопряжение октонионов удовлетворяет уравнению

${\displaystyle -6x^{*}=x+(e_{1}x)e_{1}+(e_{2}x)e_{2}+(e_{3}x)e_{3}+(e_{4}x)e_{4}+(e_{5}x)e_{5}+(e_{6}x)e_{6}+(e_{7}x)e_{7}~.}$

Произведение октониона на его сопряженное число, x * x = xx * , всегда является неотрицательным действительным числом:

${\displaystyle x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}~.}$

Используя это, норму октониона можно определить как

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}~.}$

Эта норма согласуется со стандартной 8-мерной евклидовой нормой на ℝ ⁸ .

Существование нормы на подразумевает существование обратных элементов для каждого ненулевого элемента из Обратный элемент для x ≠ 0 , который является единственным октонионом x ⁻¹ , удовлетворяющим условию xx ⁻¹ = x ⁻¹ x = 1 , задается формулой ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {O} ~.}$

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}~.}$

Характеристики

Октонионное умножение не является коммутативным :

e _i e _j = − e _j e _i ≠ e _j e _{i ,} если i , j различны и не равны нулю,

ни ассоциативный :

( e _i e _j ) e _k = − e _i ( e _j e _k ) ≠ e _i ( e _j e _k ) , если i , j , k различны, не равны нулю и e _i e _j ≠ ± e _k .

Октонионы удовлетворяют более слабой форме ассоциативности: они альтернативны. Это означает, что подалгебра, порождённая любыми двумя элементами, ассоциативна. На самом деле, можно показать, что подалгебра, порождённая любыми двумя элементами, изоморфна ℝ , ℂ , или ℍ , все из которых ассоциативны. Из-за своей неассоциативности октонионы не могут быть представлены подалгеброй матричного кольца над ℝ , в отличие от действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов. ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

Октонионы сохраняют одно важное свойство, общее для ℝ , ℂ и ℍ : норма удовлетворяет ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\ \|y\|~.}$

Это уравнение означает, что октонионы образуют композиционную алгебру . Все многомерные алгебры, определяемые конструкцией Кэли–Диксона (начиная с седенионов ), не удовлетворяют этому свойству. Все они имеют делители нуля .

Существуют более широкие числовые системы, которые имеют мультипликативный модуль (например, 16-мерные конические седенионы). Их модуль определяется иначе, чем их норма, и они также содержат делители нуля.

Как показал Гурвиц , ℝ , ℂ или ℍ и являются единственными нормированными алгебрами с делением над действительными числами. Эти четыре алгебры также образуют единственные альтернативные, конечномерные алгебры с делением над действительными числами ( с точностью до изоморфизма). ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

Не будучи ассоциативными, ненулевые элементы не образуют группу . Однако они образуют цикл , а именно цикл Муфанг . ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

Коммутатор и перекрестное произведение

Коммутатор двух октонионов x и y определяется выражением

${\displaystyle [x,y]=xy-yx~.}$

Это антисимметрично и мнимо. Если рассматривать его только как произведение на мнимом подпространстве, то оно определяет произведение на этом пространстве, семимерное векторное произведение , заданное как ${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\ \mathbb {O} \ {\bigr ]}\ }$

${\displaystyle x\times y={\tfrac {\ 1\ }{2}}\ (xy-yx)~.}$

Подобно векторному произведению в трех измерениях, это вектор, ортогональный к x и y с величиной

${\displaystyle \|x\times y\|=\|x\|\ \|y\|\ \sin \theta ~.}$

Но как и октонионный продукт, он не определен однозначно. Вместо этого существует множество различных перекрестных продуктов, каждый из которых зависит от выбора октонионного продукта. ^[13]

Автоморфизмы

Автоморфизм A октонионов — это обратимое линейное преобразование , удовлетворяющее условию ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

${\displaystyle A(xy)=A(x)\ A(y)~.}$

Множество всех автоморфизмов образует группу, называемую G 2 . ^[14] Группа G ₂ является односвязной , компактной , вещественной группой Ли размерности 14. Эта группа является наименьшей из исключительных групп Ли и изоморфна подгруппе Spin (7) , которая сохраняет любой выбранный конкретный вектор в своем 8-мерном вещественном спинорном представлении. Группа Spin(7), в свою очередь, является подгруппой группы изотопий, описанной ниже. ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

См. также : PSL(2,7) – группа автоморфизмов плоскости Фано.

Изотопии

Изотопия алгебры — это тройка биективных линейных отображений a , b , c, таких, что если xy = z , то a ( x ) b ( y ) = c ( z ) . Для a = b = c это то же самое, что и автоморфизм. Группа изотопии алгебры — это группа всех изотопий, которая содержит группу автоморфизмов в качестве подгруппы.

Группа изотопии октонионов — это группа Spin ₈ (ℝ) , где a , b , c действуют как три 8-мерных представления. ^[15] Подгруппа элементов, где c фиксирует тождество, — это подгруппа Spin ₇ (ℝ) , а подгруппа, где a , b , c все фиксируют тождество, — это группа автоморфизмов G ₂ .

Приложения

Октонионы играют важную роль в классификации и построении других математических сущностей. Например, исключительная группа Ли G 2 является группой автоморфизмов октонионов, а другие исключительные группы Ли F 4 , E 6 , E 7 и E 8 можно понимать как изометрии некоторых проективных плоскостей, определенных с помощью октонионов. ^[16] Набор самосопряженных 3 × 3 октонионных матриц , снабженный симметризованным матричным произведением, определяет алгебру Альберта . В дискретной математике октонионы обеспечивают элементарный вывод решетки Лича , и, таким образом, они тесно связаны со спорадическими простыми группами . ^{[17] [18]}

Применения октонионов к физике в основном были предположительными. Например, в 1970-х годах были предприняты попытки понять кварки с помощью октонионного гильбертова пространства . ^[19] Известно, что октонионы и тот факт, что могут существовать только четыре нормированные алгебры деления, относятся к пространственно-временным измерениям, в которых могут быть построены суперсимметричные квантовые теории поля . ^{[20] [21]} Также были предприняты попытки получить Стандартную модель физики элементарных частиц из октонионных конструкций, например, с помощью «алгебры Диксона» ^{[22] [23]} ${\displaystyle \ \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} \otimes \mathbb {O} ~.}$

Октонионы также возникли при изучении энтропии черных дыр , квантовой информатики , ^{[24] [25]} теории струн , ^[26] и обработки изображений. ^[27]

Октонионы использовались для решения проблемы калибровки руки и глаза в робототехнике . ^[28]

Глубокие октонионные сети предоставляют средства эффективного и компактного выражения в приложениях машинного обучения. ^{[29] [30]}

Интегральные октонионы

Существует несколько естественных способов выбрать целочисленную форму октонионов. Самый простой — просто взять октонионы, координаты которых являются целыми числами . Это дает неассоциативную алгебру над целыми числами, называемую октонионами Грейвса. Однако это не максимальный порядок (в смысле теории колец); существует ровно семь максимальных порядков, содержащих его. Все эти семь максимальных порядков эквивалентны относительно автоморфизмов. Фраза «целочисленные октонионы» обычно относится к фиксированному выбору одного из этих семи порядков.

Эти максимальные порядки были построены Кирмсе (1924), Диксоном и Бруком следующим образом. Обозначим восемь базисных векторов точками проективной прямой над полем с семью элементами. Сначала сформируем «целые числа Кирмсе»: они состоят из октонионов, координаты которых являются целыми числами или полуцелыми числами, и которые являются полуцелыми числами (то есть половинами нечетных целых чисел) на одном из 16 множеств

∅ (∞124) (∞235) (∞346) (∞450) (∞561) (∞602) (∞013) (∞0123456) (0356) (1460) (2501) (3612) (4023) (5134) ) (6245)

расширенного квадратичного кода вычета длины 8 над полем из двух элементов, заданным ∅ , (∞124) и его образы при добавлении константы по модулю 7, и дополнения этих восьми множеств. Затем переключите бесконечность и любую другую координату; эта операция создает биекцию целых чисел Кирмса на другое множество, которое является максимальным порядком. Есть семь способов сделать это, давая семь максимальных порядков, которые все эквивалентны относительно циклических перестановок семи координат 0123456. (Кирмс ошибочно утверждал, что целые числа Кирмса также образуют максимальный порядок, поэтому он думал, что существует восемь максимальных порядков, а не семь, но, как указал Коксетер (1946), они не замкнуты относительно умножения; эта ошибка встречается в нескольких опубликованных работах.)

Целые числа Кирмсе и семь максимальных порядков изометричны решетке E 8 , масштабированной с коэффициентом 1 ⁄ √ 2 . В частности, в каждом из этих порядков имеется 240 элементов минимальной ненулевой нормы 1, образующих петлю Муфанг порядка 240.

Целочисленные октонионы обладают свойством «деления с остатком»: если заданы целочисленные октонионы a и b ≠ 0 , то можно найти q и r с a = qb + r , где остаток r имеет норму, меньшую, чем у b .

В целочисленных октонионах все левые идеалы и правые идеалы являются двусторонними идеалами, и единственными двусторонними идеалами являются главные идеалы nO, где n — неотрицательное целое число.

Целочисленные октонионы имеют версию факторизации на простые числа, хотя это не так просто сформулировать, поскольку октонионы не ассоциативны, поэтому произведение октонионов зависит от порядка, в котором производятся произведения. Неприводимые целочисленные октонионы — это в точности те, что имеют простую норму, и каждый целочисленный октонион может быть записан как произведение неприводимых октонионов. Точнее, целочисленный октонион нормы mn может быть записан как произведение целочисленных октонионов норм m и n .

Группа автоморфизмов целочисленных октонионов — это группа G ₂ ( F ₂ ) порядка 12 096, которая имеет простую подгруппу индекса 2, изоморфную унитарной группе ² A ₂ (3 ² ) . Группа изотопий целочисленных октонионов — это совершенное двойное покрытие группы вращений решетки E ₈ .

Смотрите также

• G ₂ коллектор
• Октонионная алгебра
• Алгебра Окубо
• Спин(7) многообразие
• Вращение(8)
• Сплит-октонионы
• Триальность

Примечания

1. (Баез 2002, стр. 1)
2. Сабадини, Ирен; Шапиро, Майкл; Соммен, Францискус (2009-04-21), Гиперкомплексный анализ, Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-7643-9893-4
3. (Грейвс 1845)
4. Кейли, Артур (1845), «Об эллиптических функциях Якоби, в ответ преподобному Брайсу Бронвину; и о кватернионах», Philosophical Magazine , 26 (172): 208–211, doi :10.1080/14786444508645107. Приложение перепечатано в The Collected Mathematical Papers , Johnson Reprint Co., Нью-Йорк, 1963, стр. 127
5. Гамильтон (1848), «Заметка сэра У. Р. Гамильтона относительно исследований Джона Т. Грейвса, эсквайра», Труды Королевской Ирландской Академии , 21 : 338–341
6. "Ensembles de nombre" (PDF) (на французском), Forum Futura-Science, 6 сентября 2011 г. , получено 11 октября 2024 г.
7. Gentili, G.; Stoppato, C.; Struppa, DC; Vlacci, F. (2009), "Последние разработки для регулярных функций гиперкомплексной переменной", в Sabadini, I. ; Shapiro, M.; Sommen, F. (ред.), Hypercomplex Analysis , Birkhäuser , стр. 168, ISBN 978-3-7643-9892-7– через Google Книги
8. Сабинин, Л. В.; Сбитнева, Л.; Шестаков, ИП (2006), "§17.2 Октонионная алгебра и ее регулярное бимодульное представление", Неассоциативная алгебра и ее приложения , Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 235, ISBN 0-8247-2669-3– через Google Книги
9. Абламович, Рафал; Лоунесто, Пертти; Парра, Джозеп М. (1996), "§ Четыре окотонионные базисные нумерации", Алгебры Клиффорда с числовыми и символическими вычислениями , Биркхойзер, стр. 202, ISBN 0-8176-3907-1– через Google Книги
10. Шрай, Йорг; Маног, Коринн А. (январь 1996 г.), «Октонионные представления алгебр Клиффорда и тройственность», Foundations of Physics , 26 (1): 17–70, arXiv : hep-th/9407179 , Bibcode : 1996FoPh...26...17S, doi : 10.1007/BF02058887, S2CID  119604596

    Доступно как Schray, Jörg; Manogue, Corinne A. (1996), "Octionion representations of Clifford algebras and tripleity", Foundations of Physics , 26 (1): 17–70, arXiv : hep-th/9407179 , Bibcode : 1996FoPh...26...17S, doi : 10.1007/BF02058887, в частности Рисунок 1 ( .png ) , arXiv (изображение)

11. (Баез 2002, стр. 6)
12. Dray, Tevian & Manogue, Corinne A. (2004), «Глава 29: Использование октонионов для описания фундаментальных частиц», в Abłamowicz, Rafał (ред.), Clifford Algebras: Applications to Mathematics, Physics, and Engineering , Birkhäuser , Figure 29.1: Representation of Multiplication table on Projective Plane. стр. 452, ISBN 0-8176-3525-4– через Google Книги
13. Баез (2002), стр. 37–38.
14. (Конвей и Смит 2003, гл. 8.6)
15. (Конвей и Смит 2003, гл. 8)
16. Баез (2002), раздел 4.
17. Уилсон, Роберт А. (15.09.2009), «Октонионы и решетка Лича» (PDF) , Журнал алгебры , 322 (6): 2186–2190, doi :10.1016/j.jalgebra.2009.03.021
18. Уилсон, Роберт А. (2010-08-13), «Группа Конвея и октонионы» (PDF) , Журнал теории групп , 14 : 1–8, doi :10.1515/jgt.2010.038, S2CID  16590883
19. Günaydin, M.; Gürsey, F. (1973), «Кварковая структура и октонионы», Журнал математической физики , 14 (11): 1651–1667, Bibcode : 1973JMP....14.1651G, doi : 10.1063/1.1666240
    Гюнайдин, М.; Гюрсей, Ф. (1974), «Статистика кварков и октонионы», Physical Review D , 9 (12): 3387–3391, Bibcode : 1974PhRvD...9.3387G, doi : 10.1103/PhysRevD.9.3387
20. Куго, Тайчиро; Таунсенд, Пол (1983-07-11), «Суперсимметрия и алгебры деления», Nuclear Physics B , 221 (2): 357–380, Bibcode : 1983NuPhB.221..357K, doi : 10.1016/0550-3213(83)90584-9
21. Баез, Джон К.; Уэрта, Джон (2010), «Алгебры с делением и суперсимметрия I», в Доран, Р.; Фридман, Г.; Розенберг, Дж. (ред.), Суперструны, геометрия, топология и C*-алгебры , Американское математическое общество , arXiv : 0909.0551
22. Вулховер, Натали (2018-07-20), «Странная математика, которая могла бы лежать в основе законов природы», Quanta Magazine , получено 30 октября 2018 г.
23. Фьюри, Коул (2012-07-20), "Единая теория идеалов", Physical Review D , 86 (2): 025024, arXiv : 1002.1497 , Bibcode : 2012PhRvD..86b5024F, doi : 10.1103/PhysRevD.86.025024, S2CID  118458623
    Фьюри, Коул (2018-10-10), «Три поколения, две ненарушенные калибровочные симметрии и одна восьмимерная алгебра», Physics Letters B , 785 : 84–89, arXiv : 1910.08395 , Bibcode : 2018PhLB..785...84F, doi : 10.1016/j.physletb.2018.08.032, S2CID  126205768
    Stoica, OC (2018), «Лептоны, кварки и калибровка из комплексной алгебры Клиффорда », Advances in Applied Clifford Algebras , 28 : 52, arXiv : 1702.04336 , doi : 10.1007/s00006-018-0869-4, S2CID  125913482 ${\displaystyle \mathbb {C} \ell _{6}}$
    Греснигт, Нильс Г. (2017-11-21), Квантовые группы и группы кос как фундаментальные симметрии , конференция Европейского физического общества по физике высоких энергий, 5–12 июля 2017 г., Венеция, Италия, arXiv : 1711.09011
    Диксон, Джеффри М. (1994), Алгебры деления: октонионы, кватернионы, комплексные числа и алгебраическая конструкция физики , Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4757-2315-1, ISBN 978-0-7923-2890-2, OCLC  30399883
    Baez, John C. (29.01.2011), "The Three-Fold Way (part 4)", The n-Category Café , получено 02.11.2018
24. Борстен, Лерон; Даханаяке, Думинда; Дафф, Майкл Дж .; Ибрагим, Хаджар; Рубенс, Уильямс (2009), «Черные дыры, кубиты и октонионы», Physics Reports , 471 (3–4): 113–219, arXiv : 0809.4685 , Бибкод : 2009PhR...471..113B, doi : 10.1016/j .physrep.2008.11.002, S2CID  118488578
25. Стейси, Блейк К. (2017), «Спорадические SIC и нормированные алгебры деления», Основы физики , 47 (8): 1060–1064, arXiv : 1605.01426 , Bibcode : 2017FoPh...47.1060S, doi : 10.1007/s10701-017-0087-2, S2CID  118438232
26. «За пределами пространства и времени: 8D – Рай для сёрферов», New Scientist
27. Jacome, Roman; Mishra, Kumar Vijay; Sadler, Brian M.; Arguello, Henry (2024), "Восстановление фазы октониона", IEEE Signal Processing Letters , 31 : 1615, arXiv : 2308.15784 , Bibcode : 2024ISPL...31.1615J, doi : 10.1109/LSP.2024.3411934
28. Wu, J.; Sun, Y.; Wang и, M.; Liu, M. (июнь 2020 г.), «Калибровка «рука-глаз»: подход на основе 4-мерного прокрустова анализа», IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement , 69 (6): 2966–81, Bibcode : 2020ITIM...69.2966W, doi : 10.1109/TIM.2019.2930710, S2CID  201245901
29. Ву, Дж.; Сюй, Л.; Ву, Ф.; Конг, Ю.; Сенхаджи, Л.; Шу, Х. (2020), «Сети глубоких октонионов», Neurocomputing , 397 : 179–191, doi : 10.1016/j.neucom.2020.02.053 , S2CID  84186686, hal-02865295
30. Bojesomo, Alabi; Liatsis, Panos; Almarzouqi, Hasan (2023), «Сегментация морского мусора с использованием архитектуры на основе эффективных параметров октонионов», IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters , 20 : 1–5, Bibcode : 2023IGRSL..2021177B, doi : 10.1109/lgrs.2023.3321177

Ссылки

• Баез, Джон К. (2002), «Октонионы», Бюллетень Американского математического общества , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X, ISSN  0273-0979, MR  1886087, S2CID  586512
• Баез, Джон К. (2005), «Опечатки для октонионов» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 42 (2): 213–214, doi : 10.1090/S0273-0979-05-01052-9
• Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек А. (2003), О кватернионах и октонионах: их геометрии, арифметике и симметрии , AK Peters, Ltd., ISBN 1-56881-134-9, ЗБЛ  1098.17001.
• Коксетер, HSM (1946), «Целые числа Кэли», Duke Math. J. , 13 (4): 561–578, doi :10.1215/s0012-7094-46-01347-6, MR  0019111
• Диксон, Джеффри М. (1994), Алгебры деления: октонионы, кватернионы, комплексные числа и алгебраическая конструкция физики , Kluvwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-2890-6
• Фрейденталь, Ганс (1985) [1951], «Октавен, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie», Geom. Dedicata , 19 (1): 7–63, номер документа : 10.1007/BF00233101, MR  0797151, S2CID  121496094 .
• Грейвс, Джон Т. (1845), «О связи между общей теорией нормальных пар и теорией полных квадратичных функций двух переменных», Phil. Mag. , 26 : 315–320, doi :10.1080/14786444508645136
• Кирмзе (1924), «Über die Darstellbarkeit natürlicher ganzer Zahlen als Summen von acht Quadraten und über ein mit diesem Проблема zusammenhängendes nichtkommutatives und nichtassoziatives Zahlensystem», Ber. Верх. Сакс. Акад. Висс. Лейпциг. Математика. Физ. кл. , 76 : 63–82
• Лахти, Уско (2015), профессор Корвус Адамас: Luvut ja todistusmenetelmät. Johdanto matematiikan perusteisiin innokkaiden opiskeljoiden seurassa. , Хельсинки: Книги по запросу, ISBN 978-952-318-558-6
• Зальцманн, Гельмут; Беттен, Дитер; Грундхёфер, Тео; Хель, Герман; Лёвен, Райнер; Строппель, Маркус (1995), Компактные проективные плоскости, с введением в геометрию октонионов , Изложения Де Грютера по математике, Уолтер де Грюйтер, ISBN 3-11-011480-1, ISSN  0938-6572, OCLC  748698685
• ван дер Блий, Ф. (1961), «История октав», Саймон Стевин , 34 : 106–125, MR  0130283

Внешние ссылки

• Куцуку-Аргираки, Ангелики. Октонионы (Формальное доказательство разработки в Isabelle/HOL, Архив формальных доказательств)
• «Числа Кэли», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Уилсон, РА (2008), Октонионы (PDF) , Заметки к семинару по чистой математике