Е8 (математика)

248-мерная исключительная простая группа Ли

В математике E ₈ — это любая из нескольких тесно связанных исключительных простых групп Ли , линейных алгебраических групп или алгебр Ли размерности 248; то же обозначение используется для соответствующей корневой решетки , которая имеет ранг  8. Обозначение E ₈ происходит от классификации Картана–Киллинга комплексных простых алгебр Ли , которые делятся на четыре бесконечные серии, обозначенные An , _Bn , _Cn , _Dn , _и пять исключительных случаев, обозначенных G2, F4 , E6 , E7 и E8 . _{Алгебра} E 8 является _самой большой и _{сложной} из этих исключительных случаев.

Основное описание

Группа Ли E ₈ имеет размерность 248. Ее ранг , являющийся размерностью ее максимального тора , равен восьми.

Следовательно, векторы корневой системы находятся в восьмимерном евклидовом пространстве : они подробно описаны далее в этой статье. Группа Вейля E ₈ , которая является группой симметрий максимального тора, индуцируемых сопряжениями во всей группе, имеет порядок 2 ¹⁴  3 ⁵  5 ²  7 = 696 729 600 .

Компактная группа E ₈ уникальна среди простых компактных групп Ли тем, что ее нетривиальное представление наименьшей размерности является присоединенным представлением (размерности 248), действующим на самой алгебре Ли E ₈ ; она также является единственной, которая обладает следующими четырьмя свойствами: тривиальный центр, компактность, односвязность и простая ажурность (все корни имеют одинаковую длину).

Для каждого целого числа k ≥ 3 существует алгебра Ли E k.  Наибольшее значение k , при котором E _k конечномерно, равно k  = 8, то есть E _k бесконечномерно для любого k  > 8.

Действительные и комплексные формы

Существует единственная комплексная алгебра Ли типа E ₈ , соответствующая комплексной группе комплексной размерности 248. Комплексную группу Ли E ₈ комплексной размерности 248 можно рассматривать как простую действительную группу Ли действительной размерности 496. Она односвязна, имеет максимальную компактную подгруппу — компактную форму (см. ниже) группы E ₈ и имеет внешнюю группу автоморфизмов порядка 2, порожденную комплексным сопряжением.

Помимо комплексной группы Ли типа E ₈ , существуют три действительные формы алгебры Ли, три действительные формы группы с тривиальным центром (две из которых имеют неалгебраические двойные покрытия, что дает еще две действительные формы), все действительной размерности 248, а именно:

• Компактная форма (именно ее обычно и имеют в виду, если не указано иное), которая односвязна и имеет тривиальную внешнюю группу автоморфизмов.
• Расщепляемая форма EVIII (или E ₈₍₈₎ ), которая имеет максимальную компактную подгруппу Spin(16)/( Z /2 Z ), фундаментальную группу порядка 2 (подразумевая, что она имеет двойное накрытие , которое является односвязной вещественной группой Ли, но не является алгебраической, см. ниже) и имеет тривиальную группу внешних автоморфизмов.
• EIX (или E ₈₍₋₂₄₎ ), которая имеет максимальную компактную подгруппу E ₇ ×SU(2)/(−1,−1), фундаментальную группу порядка 2 (снова подразумевающую двойное накрытие, которое не является алгебраическим) и имеет тривиальную внешнюю группу автоморфизмов.

Полный список действительных форм простых алгебр Ли см. в списке простых групп Ли .

Э8как алгебраическая группа

С помощью базиса Шевалле для алгебры Ли можно определить E ₈ как линейную алгебраическую группу над целыми числами и, следовательно, над любым коммутативным кольцом и, в частности, над любым полем: это определяет так называемую расщеплённую (иногда также известную как «раскрученную») форму E ₈ . Над алгебраически замкнутым полем это единственная форма; однако над другими полями часто существует много других форм, или «скручиваний» E ₈ , которые классифицируются в общей структуре когомологий Галуа (над совершенным полем k ) множеством H ¹ ( k , Aut(E ₈ )), которое, поскольку диаграмма Дынкина E ₈ (см. ниже) не имеет автоморфизмов, совпадает с H ¹ ( k , E ₈ ). ^[1]

Над R вещественная связная компонента тождества этих алгебраически скрученных форм E ₈ совпадает с тремя вещественными группами Ли, упомянутыми выше, но с тонкостью, касающейся фундаментальной группы: все формы E ₈ односвязны в смысле алгебраической геометрии, что означает, что они не допускают нетривиальных алгебраических покрытий; некомпактные и односвязные вещественные формы групп Ли E ₈ поэтому не являются алгебраическими и не допускают точных конечномерных представлений.

Над конечными полями теорема Лэнга–Стайнберга подразумевает, что H ¹ ( k ,E ₈ )=0, что означает, что E ₈ не имеет скрученных форм: см. ниже.

Характеры конечномерных представлений действительных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой Вейля для характеров . Размерности наименьших неприводимых представлений следующие (последовательность A121732 в OEIS ):

1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (дважды), 12692520960...

248-мерное представление является присоединенным представлением . Существует два неизоморфных неприводимых представления размерности 8634368000 (оно не уникально; однако следующее целое число с этим свойством — 175898504162692612600853299200000 (последовательность A181746 в OEIS )). Фундаментальными представлениями являются представления с размерностями 3875, 6696000, 6899079264, 146325270, 2450240, 30380, 248 и 147250 (соответствующие восьми узлам на диаграмме Дынкина в порядке, выбранном для матрицы Картана ниже, т. е. узлы сначала считываются в цепочке из семи узлов, причем последний узел соединяется с третьим).

Коэффициенты формул характеров для бесконечномерных неприводимых представлений E ₈ зависят от некоторых больших квадратных матриц, состоящих из многочленов, многочленов Люстига–Фогана , аналога многочленов Каждана–Люстига, введенных для редуктивных групп в целом Джорджем Люстигом и Дэвидом Кажданом (1983). Значения в точке 1 многочленов Люстига–Фогана дают коэффициенты матриц, связывающих стандартные представления (характеры которых легко описать) с неприводимыми представлениями.

Эти матрицы были вычислены после четырех лет совместной работы группы из 18 математиков и компьютерных специалистов под руководством Джеффри Адамса , при этом большую часть программирования выполнил Фокко дю Клу . Самым сложным случаем (для исключительных групп) является разделенная вещественная форма E ₈ (см. выше), где наибольшая матрица имеет размер 453060×453060. Полиномы Люстига–Фогана для всех других исключительных простых групп известны уже некоторое время; вычисление для разделенной формы E ₈ гораздо длиннее, чем для любого другого случая. Объявление результата в марте 2007 года привлекло необычайное внимание со стороны СМИ (см. внешние ссылки), к удивлению математиков, работающих над ним.

Представления групп E ₈ над конечными полями даются теорией Делиня–Люстига .

Конструкции

Можно построить (компактную форму) группы E ₈ как группу автоморфизмов соответствующей алгебры Ли e ₈ . Эта алгебра имеет 120-мерную подалгебру so (16), порожденную J _ij , а также 128 новых генераторов Q a , которые преобразуются как спинор Вейля–Майораны спина ( ₁₆ ) . Эти утверждения определяют коммутаторы

${\displaystyle \left[J_{ij},J_{k\ell }\right]=\delta _{jk}J_{i\ell }-\delta _{j\ell }J_{ik}-\delta _{ik}J_{j\ell }+\delta _{i\ell }J_{jk}}$

а также

${\displaystyle \left[J_{ij},Q_{a}\right]={\frac {1}{4}}\left(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i}\right)_{ab}Q_{b},}$

в то время как оставшиеся коммутаторы (не антикоммутаторы!) между спинорными генераторами определяются как

${\displaystyle \left[Q_{a},Q_{b}\right]=\gamma _{ac}^{[i}\gamma _{cb}^{j]}J_{ij}.}$

Затем можно проверить, выполняется ли тождество Якоби .

Геометрия

Компактная вещественная форма E ₈ является группой изометрий 128-мерного исключительного компактного риманова симметричного пространства EVIII (в классификации Картана ). Она известна неформально как « октооктонионная проективная плоскость », поскольку может быть построена с использованием алгебры, которая является тензорным произведением октонионов на самих себя, и также известна как проективная плоскость Розенфельда , хотя она не подчиняется обычным аксиомам проективной плоскости. Это можно систематически увидеть, используя конструкцию, известную как магический квадрат , благодаря Гансу Фройденталю и Жаку Титсу (Landsberg & Manivel 2001).

Э8корневая система

Модель Zome корневой системы E ₈ , спроецированная в трехмерное пространство и представленная вершинами многогранника 4 21 ,

Показано в трехмерной проекции с использованием базисных векторов [ u , v , w ], дающих симметрию H3:

• ты = (1, φ , 0, −1, φ , 0,0,0)
• v = ( φ , 0, 1, φ , 0, −1,0,0)
• ш = (0, 1, φ , 0, −1, φ ,0,0)

Спроецированные вершины 4 ₂₁ многогранника сортируются и подсчитываются по их 3D-норме, генерируя все более прозрачные оболочки каждого набора подсчитанных норм. Они показывают:

1. 4 точки в начале координат
2. 2 икосаэдра
3. 2 додекаэдра
4. 4 икосаэдра
5. 1 икосододекаэдр
6. 2 додекаэдра
7. 2 икосаэдра
8. 1 икосододекаэдр

для 240 вершин. Это два концентрических набора оболочек из симметрии H4 600-ячеечной структуры , масштабированной по золотому сечению. ^[2]

Система корней ранга r — это конкретная конечная конфигурация векторов, называемых корнями , которые охватывают r -мерное евклидово пространство и удовлетворяют определенным геометрическим свойствам. В частности, система корней должна быть инвариантной относительно отражения через гиперплоскость, перпендикулярную любому корню.

Корневая система E ₈ — это корневая система ранга 8, содержащая 240 корневых векторов, охватывающих R 8 ^. Она неприводима в том смысле, что ее нельзя построить из корневых систем меньшего ранга. Все корневые векторы в E ₈ имеют одинаковую длину. Для ряда целей удобно нормализовать их так, чтобы они имели длину √ 2 . Эти 240 векторов являются вершинами полуправильного многогранника, открытого Торолдом Госсетом в 1900 году, иногда называемого многогранником 4 21 .

Строительство

В так называемой четной системе координат E ₈ задается как множество всех векторов в R ⁸ с квадратом длины, равным 2, таких, что координаты являются либо все целыми числами , либо все полуцелыми числами , а сумма координат четна.

Явно, имеется 112 корней с целыми элементами, полученными из

${\displaystyle \left(\pm 1,\pm 1,0,0,0,0,0,0\right)\,}$

взяв произвольную комбинацию знаков и произвольную перестановку координат, и 128 корней с полуцелыми элементами, полученных из

${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}\right)\,}$

взяв четное количество знаков минус (или, что то же самое, потребовав, чтобы сумма всех восьми координат была четной). Всего имеется 240 корней.

E ₈ 2d проекция с резьбой, выполненной вручную

112 корней с целыми записями образуют корневую систему D _8. Корневая система E ₈ также содержит копию A ₈ (которая имеет 72 корня), а также E 6 и E 7 (фактически, последние два обычно определяются как подмножества E ₈ ).

В нечетной системе координат E ₈ получается путем взятия корней в четной системе координат и изменения знака любой одной координаты. Корни с целыми элементами одинаковы, а корни с полуцелыми элементами имеют нечетное число знаков минус, а не четное.

Диаграмма Дынкина

Диаграмма Дынкина для E ₈ имеет вид.

Эта диаграмма дает краткое визуальное резюме структуры корня. Каждый узел этой диаграммы представляет собой простой корень. Линия, соединяющая два простых корня, указывает, что они находятся под углом 120° друг к другу. Два простых корня, не соединенных линией, являются ортогональными .

матрица Картана

Матрица Картана корневой системы ранга r — это матрица r × r , элементы которой выводятся из простых корней. В частности, элементы матрицы Картана задаются как

${\displaystyle A_{ij}=2{\frac {\left(\alpha _{i},\alpha _{j}\right)}{\left(\alpha _{i},\alpha _{i}\right)}}}$

где ( , ) — евклидово скалярное произведение , а α _i — простые корни. Элементы не зависят от выбора простых корней (с точностью до упорядочения).

Матрица Картана для E ₈ имеет вид

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&0&0&-1&0&0&2\end{array}}\right].}$

Определитель этой матрицы равен 1.

Простые корни

Диаграмма Хассе корневого частично упорядоченного множества E ₈ с метками краев, идентифицирующими добавленную простую корневую позицию

Множество простых корней для корневой системы Φ — это множество корней, которые образуют базис для евклидова пространства, натянутого на Φ, со специальным свойством, заключающимся в том, что каждый корень имеет компоненты относительно этого базиса, которые либо все неотрицательны, либо все неположительны.

Учитывая матрицу Картана E ₈ (выше) и порядок узлов диаграммы Дынкина :

Один из вариантов простых корней задается строками следующей матрицы:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}1&-1&0&0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&1&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0&0&0&0&1&-1&0\\\end{array}}\right].}$

При такой нумерации узлов на диаграмме Дынкина, самый высокий корень в корневой системе имеет метки Кокстера (2, 3, 4, 5, 6, 4, 2, 3). Используя это представление простых корней, самый низкий корень задается как

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}-1&0&0&0&0&0&0&1\\\end{array}}\right].}$

Единственный простой корень, который можно добавить к самому нижнему корню для получения другого корня, — это тот, который соответствует узлу 1 в этой маркировке диаграммы Дынкина — как и следовало ожидать от аффинной диаграммы Дынкина для . Диаграмма Хассе справа перечисляет 120 корней положительной высоты относительно любого конкретного выбора простых корней, согласующихся с этой нумерацией узлов. ${\displaystyle {\tilde {\mathrm {E} }}_{8}}$

Обратите внимание, что диаграмма Хассе не представляет полную алгебру Ли или даже полную корневую систему. 120 корней отрицательной высоты относительно того же набора простых корней могут быть адекватно представлены второй копией диаграммы Хассе с перевернутыми стрелками; но менее просто соединить эти две диаграммы через базис для восьмимерной подалгебры Картана. В обозначениях описания генераторов Шевалле и соотношений Серра : Поскольку стрелка представляет скобку Ли генератором, связанным с простым корнем, каждый корень в слое высоты -1 перевернутой диаграммы Хассе должен соответствовать некоторому и может иметь только одну восходящую стрелку, соединенную с узлом в слое высоты 0, представляющим элемент подалгебры Картана, заданный . Но восходящие стрелки из слоя высоты 0 должны тогда представлять , где — (транспонированная) матрица Картана. Можно нарисовать несколько восходящих стрелок из каждой, связанной со всеми , для которых не равно нулю; но это не отражает ни числовых элементов в матрице Картана, ни того факта, что каждая из них имеет только ненулевую скобку Ли с одной степенью свободы в подалгебре Картана (просто не ту же степень свободы, что и ). ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}=[e_{i},f_{i}]}$ ${\displaystyle [e_{i},h_{j}]=-a_{ji}e_{i}}$ ${\displaystyle a_{ji}}$ ${\displaystyle h_{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle [e_{i},h_{j}]}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$

Что еще более важно, эта организация подразумевает, что диапазон генераторов, обозначенных как "the" подалгебра Картана, является каким-то образом изначально особенным, тогда как в большинстве приложений любой взаимно коммутирующий набор из восьми из 248 генераторов алгебры Ли (которых много!) — или любые восемь линейно независимых, взаимно коммутирующих дериваций Ли на любом многообразии со структурой E ₈ — служил бы так же хорошо. После того, как подалгебра Картана выбрана (или определена априори , как в случае решетки), базис "генераторов Картана" ( среди генераторов Шевалле) и корневая система являются полезным способом описания структуры относительно этой подалгебры . Но отображение корневой системы не является территорией алгебры Ли (не говоря уже о группе!). Учитывая набор генераторов Шевалле, большинство степеней свободы в алгебре Ли и их разреженные скобки Ли с можно схематически представить в виде окружностей и стрелок, но это просто ломается на выбранной подалгебре Картана. Таковы опасности схематических визуальных представлений математических структур. ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle {e_{i}}}$

Группа Вейля

Группа Вейля E ₈ имеет порядок 696729600 и может быть описана как O⁺
₈(2): он имеет вид 2. G .2 (то есть расширение стебля циклической группой порядка 2 расширения циклической группы порядка 2 группой G ), где G — уникальная простая группа порядка 174182400 (которую можно описать как PSΩ ₈ ⁺ (2)). ^[3]

Э8корневая решетка

Интегральная продолжительность корневой системы E ₈ образует решетку в R ^{8 ,} естественно называемую решеткой корней E 8 . Эта решетка весьма примечательна тем, что является единственной (нетривиальной) четной, унимодулярной решеткой с рангом меньше 16.

Простые подалгебры E8

Неполное простое дерево подгрупп E ₈

Алгебра Ли E ₈ содержит в качестве подалгебр все исключительные алгебры Ли , а также многие другие важные алгебры Ли в математике и физике. Высота алгебры Ли на диаграмме приблизительно соответствует рангу алгебры. Линия от алгебры вниз к низшей алгебре указывает, что низшая алгебра является подалгеброй высшей алгебры.

Группы Шевалле типа E8

Шевалле (1955) показал, что точки (расщепленной) алгебраической группы E ₈ (см. выше) над конечным полем с q элементами образуют конечную группу Шевалле , обычно записываемую как E ₈ ( q ), которая проста для любого q , ^{[4] [5]} и составляет одно из бесконечных семейств, рассматриваемых в классификации конечных простых групп . Ее число элементов задается формулой (последовательность A008868 в OEIS ):

${\displaystyle q^{120}\left(q^{30}-1\right)\left(q^{24}-1\right)\left(q^{20}-1\right)\left(q^{18}-1\right)\left(q^{14}-1\right)\left(q^{12}-1\right)\left(q^{8}-1\right)\left(q^{2}-1\right)}$

Первый член в этой последовательности, порядок E ₈ (2), а именно 337 804 753 143 634 806 261 388 190 614 085 595 079 991 692 242 467 651 576 160 959 909 068 800 000 ≈3,38 × 10 ⁷⁴ , уже больше, чем размер группы Monster . Эта группа E ₈ (2) является последней описанной (но без таблицы ее характеров) в ATLAS of Finite Groups . ^[6]

Множитель Шура E ₈ ( q ) тривиален, а его внешняя группа автоморфизмов является группой полевых автоморфизмов (т.е. циклической порядка f , если q = p ^f , где p — простое число).

Люстиг (1979) описал унипотентные представления конечных групп типа E ₈ .

Подгруппы, подалгебры и расширения

Меньшие исключительные группы E 7 и E 6 находятся внутри E ₈ . В компактной группе как E ₆ ×SU(3)/( Z  / 3 Z ), так и E ₇ ×SU(2)/(+1,−1) являются максимальными подгруппами E ₈ .

Вложения максимальных подгрупп E ₈ до размерности 248 с соответствующей матрицей проекции.

248-мерное присоединенное представление E ₈ можно рассматривать в терминах его ограниченного представления в первой из этих подгрупп. Оно преобразуется под E ₆ ×SU(3) как сумма представлений тензорного произведения , которые можно обозначить как пару измерений как (78,1) + (1,8) + ( 27 ,3) + (27, 3 . (Поскольку максимальная подгруппа на самом деле является частным этого группового произведения по конечной группе, эти обозначения можно строго воспринимать как указывающие на инфинитезимальные (алгебра Ли) представления.) Поскольку присоединенное представление можно описать корнями вместе с генераторами в подалгебре Картана , мы можем выбрать конкретную систему корней E ₆ в E ₈ и разложить представление суммы относительно этого E ₆ . В этом описании,

• (78,1), копия , состоит из 72 корней с (− 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ), (0,0,0) или ( 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) в последних трех измерениях, вместе с пятью генераторами Картана, соответствующими первым пяти измерениям, и одним генератором Картана, соответствующим равновзвешенной сумме последних трех генераторов Картана системы E ₈ ; ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$
• (1,8), копия , состоит из шести корней с перестановками (0,1,−1) в последних трех измерениях, вместе с двумя генераторами Картана, соответствующими двум бесследовым комбинациям последних трех генераторов Картана системы E ₈ ; ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$
• ( 27 ,3) состоит из всех корней с перестановками (-1,0,0), (− 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) или (0,1,1) в последних трех измерениях; и
• (27, 3 ) состоит из всех корней с перестановками (1,0,0), ( 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ) или (0,-1,-1) в последних трех измерениях.

248-мерное сопряженное представление E ₈ , когда аналогично ограничено второй максимальной подгруппой, преобразуется под E ₇ ×SU(2) как: (133,1) + (1,3) + (56,2). Мы можем снова увидеть разложение, посмотрев на корни вместе с генераторами в подалгебре Картана. В этом описании,

• (133,1), копия , состоит из 126 корней с (−1,−1), (− 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ), (0,0), ( 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) или (1,1) в последних двух измерениях, вместе с шестью генераторами Картана, соответствующими первым шести измерениям, и одним генератором Картана, соответствующим равновзвешенной сумме последних двух генераторов Картана системы E ₈ ; ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$
• (1,3), копия , состоит из двух корней (0,0,0,0,0,0,1,−1), (0,0,0,0,0,0,−1,1), вместе с одним генератором Картана, соответствующим бесследовой комбинации последних двух генераторов Картана системы E ₈ ; и ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$
• (56,2) состоит из всех корней с перестановками (0,-1), ( 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ) или (1,0) в последних двух измерениях.

Связь между этими двумя описаниями задается конструкциями градуированной исключительной алгебры Ли Дж. Титса и Б. Н. Эллисона . Любое 27-мерное представление E ₆ может быть снабжено неассоциативной (но строго ассоциативной по мощности ) операцией произведения Жордана для формирования алгебры Альберта (важный исключительный случай в алгебраических конструкциях). Конструкция Кантора–Кёхера–Титса, примененная к этой алгебре Альберта, восстанавливает 78-мерную как алгебру редуцированной структуры алгебры Альберта. Это вместе с представлениями 27 и 27 и оператором градуировки (элемент подалгебры Картана с весом -1 на 27, +1 на 27 и 0 на 78) образует 3-градуированную алгебру Ли. Полное изложение этой конструкции можно найти в стандартных текстах по йордановым алгебрам, таких как Jacobson 1968 или McCrimmon 2004. ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$

Начиная эту конструкцию 3-градуированной алгебры Ли с любого конкретного 27-мерного представления, вложенного в , любой конкретной подгруппы E ₆ группы E _8, получаем соответствующую подалгебру. Частное в разложении E ₇ ×SU(2), приведенном выше, соответствует выбору 27, состоящего из всех корней с (1,0,0), ( 1 ⁄ 2 ,- 1 ⁄ 2 ,- 1 ⁄ 2 ) или (0,-1,-1) в последних трех измерениях (по порядку), с оператором градуировки, имеющим вес (-1, 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) в этих измерениях; или эквивалентно выбору " 27 ", состоящего из всех корней с (-1,0,0), (− 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) или (0,1,1) в последних трех измерениях (по порядку), с оператором градации, имеющим вес (1,- 1 ⁄ 2 ,- 1 ⁄ 2 ) в этих измерениях. Обратите внимание, что в этом выборе измерений нет ничего особенного — , в который вложена корневая система, не является набором из восьми независимых, но неортогональных осей, соответствующих простым корням, и подойдут любые три измерения — и существуют также конструкции, использующие другие эквивалентные группировки корней. Важно то, что ядро ​​скобки Ли с генератором, выбранным в качестве "оператора градации", должно быть подалгеброй (плюс центральный, связанный с самим оператором градации и оставшимся генератором подалгебры Картана), а не , , , и т. д. ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{6}\oplus \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{7}\oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}\oplus \mathbb {R} }$

(В случае простой алгебры Ли знак степени 27-го по сравнению с 27-м представлением является вопросом соглашения, как и масштаб градуировки. Однако выбор -1 в качестве степени 27-мерного «векторного» представления согласуется с расширением 3-градуированной алгебры до более высоких положительных степеней посредством внешней алгебры над 27-м «ковекторным» представлением. Тогда «векторное» представление лежит не в этой неотрицательно-градуированной внешней алгебре, а в градуированной алгебре выводов над внешней алгеброй; 78-мерное является подалгеброй степени 0 (подалгеброй внутренних выводов «векторнозначными 1-формами») этой градуированной алгебры выводов. Подробности о том, как работает эта асимметричная структура, начиная с общей 3-градуированной алгебры, см. в ссылках на скобку Фрёлихера–Нийенхейса . Соответствие это наблюдение к E ₈ заключается просто в том, что E ₇ и E ₈ являются их собственными кластерами структур, выделенными как исключительные простые группы/алгебры Ли, и что любая конкретная их реконструкция с использованием представлений их подгрупп/подалгебр будет иметь расширения за пределы мотивирующего случая. Различные соглашения о знаке, масштабе и сопряженности в литературе обусловлены не только неточностями, но и направлениями, в которых авторы стремятся расширить свои конструкции.) ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$

Выделенный в разложении E ₇ ×SU(2) выше затем задается подалгеброй , которая коммутирует с оператором степени (который лежит в подалгебре Картана этого ). Из четырех оставшихся корней в , два имеют степень 1 ⁄ 2 и два имеют степень - 1 ⁄ 2 . В соглашении, где 27 из E _{6 ,} используемые для построения , имеют степень -1 , а 27 имеет степень +1, другие два 27 имеют степень + 1 ⁄ 2 , а другие два 27 имеют степень - 1 ⁄ 2 , как видно из перестановки значений последних трех корней в описании выше. Группируя эти 4×(1+27)=112 генераторов для формирования подпространств градации + 1 ⁄ 2 и - 1 ⁄ 2 (относительно исходного выбора оператора градации в ), каждому подпространству может быть задана совершенно конкретная неассоциативная (и даже ассоциативная по мощности) операция произведения, что приводит к двум копиям 56-мерной структурируемой алгебры Брауна. 5-градуированная конструкция алгебры Ли Эллисона, основанная на этой структурируемой алгебре, восстанавливает исходную . (5-градуировка Эллисона отличается от приведенной выше на коэффициент -2.) Группировка этих генераторов по-разному, на основе их весов относительно генератора Картана ортогонального к , дает два 56-мерных подпространства, каждое из которых несет наименьшее нетривиальное неприводимое представление E ₇ . Любой из них можно объединить с генератором Картана, чтобы сформировать 57-мерную алгебру Гейзенберга , а присоединение ее к ней даст (непростую) алгебру Ли E _{7 1/2,} описанную Ландсбергом и Манивелем. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$

С точки зрения, в которой 27-мерное подпространство степени -1 (относительно выбора оператора степени) играет роль «векторного» представления E ₆ , а 27 с корнями напротив играет роль «ковекторного» представления, естественно искать «спинорные» представления в подпространствах степени + 1 ⁄ 2 и - 1 ⁄ 2 или в какой-либо другой комбинации представлений ( 27 ,3) и (27, 3 ) E ₆ ×SU(3) и пытаться связать их с геометрическими спинорами в смысле алгебры Клиффорда , как это используется в квантовой теории поля . Вариации этой идеи распространены в физической литературе. См. Distler and Garibaldi 2009 для обсуждения математических препятствий на пути построения киральной калибровочной теории на основе E ₈ . Структура относительно ее подалгебры, вместе с обычным масштабированием элементов подалгебры Картана, приглашает расширения по геометрической аналогии, но не обязательно подразумевает связь с низкоразмерной геометрией или низкоэнергетической физикой. То же самое можно сказать и о связях с алгебрами Йордана и Гейзенберга, чье историческое происхождение переплетено с развитием квантовой механики. Не каждое визуальное представление, вызывающее ассоциации с табачной трубкой, будет содержать табак. ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$

Конечные квазипростые группы, которые можно вложить в (компактную форму) E8 _, были найдены Гриссом и Рыбой (1999).

Группа Демпвольфа является подгруппой (компактной формы) E ₈ . Она содержится в спорадической группе Томпсона , которая действует на базовое векторное пространство группы Ли E _{8 ,} но не сохраняет скобки Ли. Группа Томпсона фиксирует решетку и сохраняет скобки Ли этой решетки mod 3, давая вложение группы Томпсона в E ₈ ( F ₃ ).

Справа показаны вложения максимальных подгрупп E _{8 до размерности 248.}

Приложения

Группа Ли E ₈ имеет приложения в теоретической физике и особенно в теории струн и супергравитации . E ₈ ×E ₈ — это калибровочная группа одного из двух типов гетеротических струн и одна из двух калибровочных групп без аномалий , которые могут быть связаны с супергравитацией N  = 1 в десяти измерениях. E ₈ — это группа U-дуальности супергравитации на восьмимерном торе (в его расщепленной форме).

Одним из способов включения стандартной модели физики элементарных частиц в гетеротическую теорию струн является нарушение симметрии E ₈ до ее максимальной подалгебры SU(3)×E ₆ .

В 1982 году Майкл Фридман использовал решетку E 8 для построения примера топологического 4-мерного многообразия , многообразия E 8 , которое не имеет гладкой структуры .

Незавершённая работа Энтони Гаррета Лизи « Исключительно простая теория всего » пытается описать все известные фундаментальные взаимодействия в физике как часть алгебры Ли E ₈ . ^{[7] [8]}

R. Coldea, DA Tennant и EM Wheeler и др. (2010) сообщили об эксперименте, в котором электронные спины кристалла кобальта - ниобия при определенных условиях демонстрировали два из восьми пиков, связанных с E ₈ , которые были предсказаны Замолодчиковым (1989). ^{[9] [10]}

История

Вильгельм Киллинг  (1888a, 1888b, 1889, 1890) открыл комплексную алгебру Ли E ₈ во время своей классификации простых компактных алгебр Ли, хотя он и не доказал ее существование, что впервые было показано Эли Картаном . Картан определил, что комплексная простая алгебра Ли типа E ₈ допускает три действительные формы. Каждая из них порождает простую группу Ли размерности 248, ровно одна из которых (как и для любой комплексной простой алгебры Ли) является компактной . Шевалле (1955) ввел алгебраические группы и алгебры Ли типа E ₈ над другими полями : например, в случае конечных полей они приводят к бесконечному семейству конечных простых групп типа Ли. E ₈ продолжает оставаться областью активных фундаментальных исследований Атласа групп и представлений Ли , целью которого является определение унитарных представлений всех групп Ли. ^[11]

Смотрите также

• Е н

Сноски

1. Платонов, Владимир П.; Рапинчук Андрей С. (1991), Алгебраические группы и теория чисел , Наука, ISBN 5-02-014191-7(Перевод на английский язык: Платонов, Владимир П.; Рапинчук, Андрей С. (1994), Алгебраические группы и теория чисел , Academic Press, ISBN 0-12-558180-7), §2.2.4
2. "600-Cell (часть 1)". 16 декабря 2017 г.
3. Конвей, Джон Хортон ; Кертис, Роберт Тернер; Нортон, Саймон Филлипс ; Паркер, Ричард А ; Уилсон, Роберт Арнотт (1985), Атлас конечных групп : максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп , Oxford University Press, стр. 85, ISBN 0-19-853199-0
4. Картер, Роджер В. (1989), Простые группы типа Лжи , Библиотека классики Wiley, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50683-4
5. Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Graduate Texts in Mathematics , т. 251, Springer-Verlag , ISBN 978-1-84800-987-5
6. Конвей и др., там же , стр. 235.
7. AG Lisi ; JO Weatherall (2010). «Геометрическая теория всего». Scientific American . 303 (6): 54–61. Bibcode :2010SciAm.303f..54L. doi :10.1038/scientificamerican1210-54. PMID  21141358.
8. Грег Бустед (2008-11-17). "Исключительный подход Гаррета Лизи ко всему". Журнал SEED . Архивировано из оригинала 2009-02-02.{{cite news}}: CS1 maint: unfit URL (link)
9. Шига, Дэвид (2010-01-07). «Самая красивая математическая структура впервые появилась в лаборатории». New Scientist . Получено 2023-02-01 .
10. Обнаружил ли одномерный магнит 248-мерную алгебру Ли?, Notices of the American Mathematical Society , сентябрь 2011 г.
11. "AIM math: Представления E8". aimath.org .

Ссылки

• Адамс, Дж. Фрэнк (1996), Лекции по исключительным группам Ли, Чикагские лекции по математике, Издательство Чикагского университета , ISBN 978-0-226-00526-3, г-н  1428422
• Баез, Джон К. (2002), «Октонионы», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X, MR  1886087, S2CID  586512
• Шевалле, Клод (1955), «Sur некоторые простые группы», The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 7 (1–2): 14–66, doi : 10.2748/tmj/1178245104 , ISSN  0040-8735, MR  0073602
• Coldea, R.; Tennant, DA; Wheeler, EM; Wawrzynska, E.; Prabhakaran, D.; Telling, M.; Habicht, K.; Smeibidl, P.; Kiefer, K. (2010), "Квантовая критичность в цепочке Изинга: экспериментальное доказательство возникновения симметрии E ₈ ", Science , 327 (5962): 177–180, arXiv : 1103.3694 , Bibcode :2010Sci...327..177C, doi :10.1126/science.1180085, PMID  20056884, S2CID  206522808
• Гарибальди, Скип (2016), «E ₈ , самая исключительная группа», Бюллетень Американского математического общества , 53 (4): 643–671, arXiv : 1605.01721 , doi :10.1090/bull/1540, S2CID  15810796
• Грисс, Роберт Л.; Рыба, А. Дж. Э. (1999), «Конечные простые группы, которые проективно вкладывают в исключительную группу Ли, классифицированы!», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 36 (1): 75–93, doi : 10.1090/S0273-0979-99-00771-5 , MR  1653177
• Киллинг, Вильгельм (1888a), «Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen», Mathematische Annalen , 31 (2): 252–290, doi : 10.1007/BF01211904, S2CID  120501356
• Киллинг, Вильгельм (1888b), «Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen», Mathematische Annalen , 33 (1): 1–48, doi : 10.1007/BF01444109, S2CID  124198118
• Киллинг, Вильгельм (1889), «Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen», Mathematische Annalen , 34 (1): 57–122, doi : 10.1007/BF01446792, S2CID  179177899, заархивировано из оригинала 21 февраля 2015 г. , получено 12 сентября 2013 г.
• Киллинг, Вильгельм (1890), «Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen», Mathematische Annalen , 36 (2): 161–189, doi : 10.1007/BF01207837, S2CID  179178061
• Ландсберг, Джозеф М.; Манивель, Лоран (2001), «Проективная геометрия магического квадрата Фрейденталя», Журнал алгебры , 239 (2): 477–512, arXiv : math/9908039 , doi : 10.1006/jabr.2000.8697, MR  1832903, S2CID  16320642
• Люстиг, Джордж (1979), «Унипотентные представления конечной группы Шевалле типа E8», The Quarterly Journal of Mathematics , Вторая серия, 30 (3): 315–338, doi :10.1093/qmath/30.3.301, ISSN  0033-5606, MR  0545068
• Люстиг, Джордж ; Воган, Дэвид (1983), «Особенности замыканий K-орбит на флаговых многообразиях», Inventiones Mathematicae , 71 (2), Springer-Verlag : 365–379, Bibcode : 1983InMat..71..365L, doi : 10.1007/BF01389103, S2CID  120917588
• Замолодчиков, AB (1989), "Интегралы движения и S-матрица (масштабированной) модели Изинга T=T _{c с магнитным полем",} International Journal of Modern Physics A , 4 (16): 4235–4248, Bibcode :1989IJMPA...4.4235Z, doi :10.1142/S0217751X8900176X, MR  1017357

Внешние ссылки

Расчет полинома Люстига–Фогана

• Атлас групп Ли
• Полиномы Каждана–Люстига–Вогана для E8
• Описание проекта по вычислению полиномов Каждана–Люстига для E8
• Американский институт математики (март 2007 г.), Карта математиков E8
• Кафе n-Category, запись в блоге Техасского университета Джона Баеза на E ₈ .

Другие ссылки

• Графическое изображение корневой системы E8.
• Список размерностей неприводимых представлений комплексной формы E ₈ — это последовательность A121732 в OEIS .