В математике ортогональность является обобщением геометрического понятия перпендикулярности .
Ортогональность также используется в различных значениях, которые часто слабо связаны или вообще не связаны с математическими значениями.
Слово происходит от древнегреческого ὀρθός ( orthós ), что означает «вертикальный», [1] и γωνία ( gōnía ), что означает «угол». [2]
Древнегреческий ὀρθογώνιον ( ортогонион ) и классический латинский ортогоний первоначально обозначали прямоугольник . [3] Позже они стали обозначать прямоугольный треугольник . В XII веке постклассическое латинское слово « ортогоналис» стало означать прямой угол или что-то связанное с прямым углом. [4]
В математике ортогональность — это обобщение геометрического понятия перпендикулярности на линейную алгебру билинейных форм .
Два элемента u и v векторного пространства с билинейной формой B ортогональны, когда B ( u , v ) = 0 . В зависимости от билинейной формы векторное пространство может содержать ненулевые самоортогональные векторы. В случае функциональных пространств для формирования базиса используются семейства ортогональных функций .
Эта концепция использовалась в контексте ортогональных функций , ортогональных полиномов и комбинаторики .
В оптике состояния поляризации называются ортогональными, когда они распространяются независимо друг от друга, как в вертикальной и горизонтальной линейной поляризации или в правой и левой круговой поляризации .
В специальной теории относительности ось времени, определяемая быстротой движения , гиперболически ортогональна пространственной оси одновременных событий, также определяемой быстротой. Теория отличается относительностью одновременности .
В квантовой механике достаточным (но не необходимым) условием того, что два собственных состояния эрмитова оператора и являются ортогональными , является то, что они соответствуют разным собственным значениям. В обозначениях Дирака это означает , что если и соответствуют разным собственным значениям. Это следует из того факта, что уравнение Шредингера является уравнением Штурма – Лиувилля (в формулировке Шредингера) или что наблюдаемые задаются эрмитовыми операторами (в формулировке Гейзенберга). [ нужна цитата ]
В искусстве перспективные (воображаемые) линии, указывающие на точку схода, называются «ортогональными линиями». Термин «ортогональная линия» в литературе современного искусства часто имеет совсем иное значение. Многие работы таких художников, как Пит Мондриан и Бургойн Диллер, известны исключительным использованием «ортогональных линий» — однако не в отношении перспективы, а, скорее, в отношении прямых и исключительно горизонтальных или вертикальных линий, образующих прямые углы там, где они пересекаются. Например, в эссе на веб-сайте музея Тиссена-Борнемисы говорится, что «Мондриан... посвятил все свое творчество исследованию баланса между ортогональными линиями и основными цветами». Архивировано 31 января 2009 г. в Wayback Machine.
Ортогональность при проектировании языков программирования — это возможность использовать различные функции языка в произвольных комбинациях с согласованными результатами. [6] Это использование было введено Ван Вейнгаарденом при разработке Алгола 68 :
Количество независимых примитивных концепций было сведено к минимуму, чтобы язык было легко описывать, изучать и реализовывать. С другой стороны, эти концепции применялись «ортогонально», чтобы максимизировать выразительную силу языка, пытаясь при этом избежать вредных излишеств. [7]
Ортогональность — это свойство проектирования системы, которое гарантирует, что изменение технического эффекта, производимого компонентом системы, не создает и не распространяет побочные эффекты на другие компоненты системы. Обычно это достигается за счет разделения задач и инкапсуляции , и это важно для осуществимых и компактных проектов сложных систем. Возникающее поведение системы, состоящей из компонентов, должно контролироваться строго формальными определениями ее логики, а не побочными эффектами, возникающими в результате плохой интеграции, т. е. неортогонального проектирования модулей и интерфейсов. Ортогональность сокращает время тестирования и разработки, поскольку легче проверять проекты, которые не вызывают побочных эффектов и не зависят от них.
Набор команд называется ортогональным, если в нем отсутствует избыточность (т. е. существует только одна инструкция, которую можно использовать для выполнения данной задачи) [8] и он спроектирован таким образом, что инструкции могут использовать любой регистр в любом режиме адресации . Эта терминология является результатом рассмотрения инструкции как вектора, компонентами которого являются поля инструкций. Одно поле идентифицирует регистры, с которыми нужно работать, а другое определяет режим адресации. Ортогональный набор команд уникальным образом кодирует все комбинации регистров и режимов адресации. [9]
В телекоммуникациях схемы множественного доступа являются ортогональными, когда идеальный приемник может полностью отклонить сколь угодно сильные нежелательные сигналы от полезного сигнала, используя различные базисные функции . Одной из таких схем является множественный доступ с временным разделением каналов (TDMA), где ортогональными базисными функциями являются неперекрывающиеся прямоугольные импульсы («временные интервалы»).
Другая схема - мультиплексирование с ортогональным частотным разделением каналов (OFDM), которое относится к использованию одним передатчиком набора частотно-мультиплексированных сигналов с точным минимальным интервалом частот, необходимым для того, чтобы сделать их ортогональными, чтобы они не мешали друг другу. . Хорошо известные примеры включают ( a , g и n ) версии 802.11 Wi-Fi ; WiMAX ; ITU-T G.hn , DVB-T , система наземного цифрового телевещания, используемая в большей части мира за пределами Северной Америки; и DMT (Discrete Multi Tone), стандартная форма ADSL .
В OFDM выбираются частоты поднесущих [ как? ] так, чтобы поднесущие были ортогональны друг другу, а это означает, что перекрестные помехи между подканалами устраняются и защитные полосы между несущими не требуются. Это значительно упрощает конструкцию как передатчика, так и приемника. В обычном FDM требуется отдельный фильтр для каждого подканала.
При выполнении статистического анализа независимые переменные , влияющие на конкретную зависимую переменную, называются ортогональными, если они некоррелированы, [10] , поскольку ковариация образует внутренний продукт. В этом случае одинаковые результаты получаются для влияния любой из независимых переменных на зависимую переменную, независимо от того, моделируется ли влияние переменных индивидуально с помощью простой регрессии или одновременно с множественной регрессией . Если корреляция присутствует, факторы не ортогональны и оба метода дают разные результаты. Такое использование возникает из-за того, что при центрировании путем вычитания ожидаемого значения (среднего значения) некоррелированные переменные ортогональны в геометрическом смысле, обсуждавшемся выше, как в качестве наблюдаемых данных (т. е. векторов), так и в качестве случайных величин (т. е. функций плотности). Один эконометрический формализм, альтернативный модели максимального правдоподобия , — обобщенный метод моментов — основан на условиях ортогональности. В частности, оценку методом наименьших квадратов можно легко вывести из условия ортогональности между объясняющими переменными и остатками модели.
В таксономии ортогональная классификация — это такая классификация, в которой ни один элемент не является членом более чем одной группы, то есть классификации являются взаимоисключающими.
В химии и биохимии ортогональное взаимодействие возникает, когда существуют две пары веществ, и каждое вещество может взаимодействовать со своим соответствующим партнером, но не взаимодействует ни с одним веществом другой пары. Например, ДНК имеет две ортогональные пары: цитозин и гуанин образуют пару оснований, а аденин и тимин образуют другую пару оснований, но другие комбинации пар оснований категорически нежелательны. В качестве химического примера: тетразин реагирует с трансциклооктеном, а азид реагирует с циклооктином без какой-либо перекрестной реакции, поэтому это взаимно ортогональные реакции, и поэтому их можно проводить одновременно и выборочно. [11]
В органическом синтезе ортогональная защита — это стратегия, позволяющая снимать защиту с функциональных групп независимо друг от друга.
В супрамолекулярной химии понятие ортогональности относится к возможности совместимости двух или более супрамолекулярных, часто нековалентных , взаимодействий; обратимо формируется без вмешательства друг друга.
В аналитической химии анализы называются «ортогональными», если они производят измерение или идентификацию совершенно разными способами, что повышает надежность измерения. Таким образом, ортогональное тестирование можно рассматривать как «перекрестную проверку» результатов, а понятие «перекрест» соответствует этимологическому происхождению ортогональности. Ортогональное тестирование часто требуется в рамках применения нового лекарства .
В области надежности системы ортогональная избыточность — это такая форма избыточности, при которой форма резервного устройства или метода полностью отличается от устройства или метода, подверженного ошибкам. Режим отказа ортогонально резервного резервного устройства или метода не пересекается и полностью отличается от режима отказа устройства или метода, нуждающегося в резервировании для защиты всей системы от катастрофического отказа.
В нейробиологии сенсорная карта мозга, которая имеет перекрывающееся кодирование стимулов (например, местоположение и качество), называется ортогональной картой.
В философии две темы, авторы или произведения считаются «ортогональными» друг другу, если они по существу не охватывают то, что можно было бы считать потенциально перекрывающимися или конкурирующими утверждениями. Таким образом, тексты по философии могут либо поддерживать и дополнять друг друга, предлагать конкурирующие объяснения или системы, либо быть ортогональными друг другу в тех случаях, когда объем, содержание и цель произведений совершенно не связаны между собой.
В настольных играх, таких как шахматы , в которых используется сетка из квадратов, слово «ортогональный» означает «в одной строке/ранге или столбце/файле». Это аналог квадратов, которые «смежны по диагонали». [25] В древней китайской настольной игре Го игрок может захватывать камни противника, занимая все ортогонально соседние точки.
Стереовиниловые пластинки кодируют левый и правый стереоканалы в одной канавке. V-образная канавка на виниле имеет стенки, расположенные под углом 90 градусов друг к другу, причем каждая стенка по отдельности кодирует один из двух аналоговых каналов, составляющих стереосигнал. Картридж воспринимает движение иглы по канавке в двух ортогональных направлениях: под углом 45 градусов от вертикали в обе стороны. [26] Чистое горизонтальное движение соответствует моносигналу, эквивалентному стереосигналу, в котором оба канала несут идентичные (синфазные) сигналы.
