Триангуляция (топология)

Триангулированный тор

Еще одна триангуляция тора

Треугольная форма дельфина

В математике триангуляция описывает замену топологических пространств кусочно -линейными пространствами , т. е. выбор гомеоморфизма в подходящем симплициальном комплексе . Пространства, гомеоморфные симплициальному комплексу, называются триангулируемыми. Триангуляция имеет различные применения в различных областях математики, например, в алгебраической топологии, в комплексном анализе или в моделировании.

Мотивация

С одной стороны, иногда полезно забыть об избыточной информации о топологических пространствах: замена исходных пространств симплициальными комплексами может помочь распознать важные свойства и лучше понять рассматриваемый объект.

С другой стороны, симплициальные комплексы являются объектами комбинаторного характера, и поэтому им можно приписывать величины, вытекающие из их комбинаторной модели, например, эйлерову характеристику . Триангуляция теперь позволяет приписывать такие величины топологическим пространствам.

Исследования, касающиеся существования и единственности триангуляции, создали новую ветвь топологии, а именно кусочно-линейную топологию (сокращенно PL-топологию). Ее основная цель — топологические свойства симплициальных комплексов и их обобщения — клеточных комплексов .

Симплициальные комплексы

Абстрактные симплициальные комплексы

Абстрактный симплициальный комплекс над множеством — это система непустых подмножеств, такая что: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {P}}(V)}$

• ${\displaystyle \{v_{0}\}\in {\mathcal {T}}}$для каждого ; ${\displaystyle v_{0}\in V}$
• если и . ${\displaystyle E\in {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \emptyset \neq F\subset E}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {T}}}$

Элементы называются симплексами, элементы называются вершинами. Симплекс с вершинами имеет размерность по определению. Размерность абстрактного симплициального комплекса определяется как . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{dim}}({\mathcal {T}})={\text{sup}}\;\{{\text{dim}}(F):F\in {\mathcal {T}}\}\in \mathbb {N} \cup \infty }$

Абстрактные симплициальные комплексы также можно рассматривать как геометрические объекты. Для этого требуется термин геометрический симплекс.

Геометрические симплексы в размерности 1, 2 и 3

Геометрические симплексы

Пусть будут аффинно независимыми точками в , т.е. векторы линейно независимы . Множество называется симплексом, натянутым на . По определению оно имеет размерность . Точки называются вершинами , симплексы, натянутые на вершин , называются гранями, а граница определяется как объединение его граней. ${\displaystyle p_{0},...p_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (p_{1}-p_{0}),(p_{2}-p_{0}),\dots (p_{n}-p_{0})}$ ${\textstyle \Delta ={\Bigl \{}x\in \mathbb {R} ^{n}\;{\Big |}\;x=\sum _{i=0}^{n}t_{i}p_{i}\;with\;0\leq t_{i}\leq 1\;and\;\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\Bigr \}}}$ ${\displaystyle p_{0},...p_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{0},...p_{n}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \partial \Delta }$

-мерный стандартный симплекс — это симплекс, образованный единичными векторами ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{0},...e_{n}}$

Геометрические симплициальные комплексы

Геометрический симплициальный комплекс — это совокупность геометрических симплексов, такая что ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$

• Если — симплекс в , то все его грани лежат в . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• Если в , то есть два различных симплекса , то их внутренности не пересекаются. ${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Объединение всех симплексов в дает множество точек , обозначаемое Это множество наделяется топологией путем выбора замкнутых множеств , которые являются замкнутыми для всех . Обратите внимание, что в общем случае эта топология не совпадает с топологией подпространства, которая наследуется от . Топологии совпадают в случае, если каждая точка в комплексе лежит только в конечном числе симплексов. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\textstyle |{\mathcal {S}}|=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S.}$ ${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$ ${\displaystyle \{A\subseteq |{\mathcal {S}}|\;\mid \;A\cap \Delta }$ ${\displaystyle \Delta \in {\mathcal {S}}\}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Каждый геометрический комплекс можно связать с абстрактным комплексом, выбрав в качестве базового множества множество вершин, которые появляются в любом симплексе , а в качестве системы подмножеств подмножества которой соответствуют множествам вершин симплексов в . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Естественный вопрос заключается в том, соответствует ли наоборот любой абстрактный симплициальный комплекс геометрическому комплексу. В общем, геометрическая конструкция, упомянутая здесь, недостаточно гибка: рассмотрим, например, абстрактный симплициальный комплекс бесконечной размерности. Однако следующая более абстрактная конструкция обеспечивает топологическое пространство для любого вида абстрактного симплициального комплекса:

Пусть будет абстрактным симплициальным комплексом над множеством . Выберем объединение симплексов , но каждый в достаточно большой размерности, так что геометрический симплекс будет иметь размерность , если абстрактный геометрический симплекс имеет размерность . Если , можно отождествить с гранью и полученное топологическое пространство является склеиванием Осуществляя склеивание для каждого включения, получаем искомое топологическое пространство. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\Delta _{F})_{F\in {\mathcal {T}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle \Delta _{F}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E\subset F}$ ${\displaystyle \Delta _{E}\subset \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle \Delta _{F}\subset \mathbb {R} ^{M}}$ ${\displaystyle \Delta _{E}\cup _{i}\Delta _{F}}$

Двумерный геометрический симплициальный комплекс с вершиной V, связью (V) и звездой (V) выделены красным и розовым цветами.

Как и в предыдущей конструкции, по топологии, индуцированной склеиванием, замкнутые множества в этом пространстве являются подмножествами, замкнутыми в топологии подпространства каждого симплекса в комплексе. ${\displaystyle \Delta _{F}}$

Симплициальный комплекс , состоящий из всех симплексов размерности , называется -м скелетом . ${\displaystyle {\mathcal {T_{n}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Естественной окрестностью вершины симплициального комплекса считается звезда симплекса , границей которого является звено . ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \operatorname {star} (v)=\{L\in {\mathcal {S}}\;\mid \;v\in L\}}$ ${\displaystyle \operatorname {link} (v)}$

Симплициальные карты

Карты, рассматриваемые в этой категории, являются симплициальными картами: Пусть , — абстрактные симплициальные комплексы над множествами , . Симплициальное отображение — это функция , которая отображает каждый симплекс в на симплекс в . С помощью аффинно-линейного расширения на симплексы индуцирует отображение между геометрическими реализациями комплексов. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle V_{K}}$ ${\displaystyle V_{L}}$ ${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f}$

Примеры

• Пусть и пусть . Соответствующий геометрический комплекс представляет собой звезду с центром . ${\displaystyle W=\{a,b,c,d,e,f\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}={\Big \{}\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{e\},\{f\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{a,e\},\{a,f\}{\Big \}}}$ ${\displaystyle \{a\}}$
• Пусть и пусть . Его геометрическая реализация — тетраэдр . ${\displaystyle V=\{A,B,C,D\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {P}}(V)}$ ${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$
• Пусть как и выше и пусть . Геометрический симплициальный комплекс является границей тетраэдра . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'=\;{\mathcal {P}}(V)\setminus \{A,B,C,D\}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {S'}}|=\partial |{\mathcal {S}}|}$

Определение

Триангуляция топологического пространства — это гомеоморфизм , где — симплициальный комплекс. Топологические пространства не обязательно допускают триангуляцию, а если допускают, то она не обязательно уникальна. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t:|{\mathcal {T}}|\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Примеры

• Симплициальные комплексы можно триангулировать по тождеству.
• Пусть будет как в примерах выше. Замкнутый единичный шар гомеоморфен тетраэдру, поэтому он допускает триангуляцию, а именно гомеоморфизм . Ограничение до дает гомеоморфизм . ${\displaystyle {\mathcal {S}},{\mathcal {S'}}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{3}}$ ${\displaystyle t:|{\mathcal {S}}|\rightarrow \mathbb {D} ^{3}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |{\mathcal {S}}'|}$ ${\displaystyle t':|{\mathcal {S}}'|\rightarrow \mathbb {S} ^{2}}$

Двумерная сфера и триангуляция

• Тор допускает триангуляцию. Чтобы увидеть это, рассмотрим тор как квадрат , в котором параллельные грани склеены. Этот квадрат можно триангулировать, как показано ниже: ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$

  

  Двумерный тор, представленный как склеивание квадрата посредством отображения g, определяющего его противоположные участки

• Проективная плоскость допускает триангуляцию (см. CW-комплексы) ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$
• Можно показать, что дифференцируемые многообразия допускают триангуляции. ^[3]

Инварианты

Триангуляции пространств позволяют назначать пространствам комбинаторные инварианты, возникающие из их выделенных симплициальных комплексов. Это характеристики, которые равны для комплексов, изоморфных посредством симплициального отображения и, таким образом, имеющих одинаковую комбинаторную модель.

Эти данные могут быть полезны для классификации топологических пространств с точностью до гомеоморфизма, но только при условии, что характеристики также являются топологическими инвариантами, то есть они не зависят от выбранной триангуляции. Для перечисленных здесь данных это так. ^[4] Подробности и ссылку на сингулярную гомологию см. в топологической инвариантности.

Гомология

С помощью триангуляции можно назначить цепной комплекс топологическим пространствам, которые возникают из его симплициального комплекса, и вычислить его симплициальные гомологии . Компактные пространства всегда допускают конечные триангуляции, и поэтому их группы гомологии конечно порождены , и только конечное число из них не обращается в нуль. Другие данные, такие как числа Бетти или эйлерова характеристика, могут быть получены из гомологии.

Числа Бетти и характеристики Эйлера

Пусть будет конечным симплициальным комплексом. -е число Бетти определяется как ранг -й симплициальной группы гомологий пространств. Эти числа кодируют геометрические свойства пространств: например, число Бетти представляет собой число связных компонент. Для триангулированных, замкнутых ориентируемых поверхностей справедливо , где обозначает род поверхности: Поэтому его первое число Бетти представляет собой удвоенное число ручек поверхности. ^[5] ${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b_{n}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b_{0}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle b_{1}(F)=2g}$ ${\displaystyle g}$

С учетом комментариев выше, для компактных пространств все числа Бетти конечны и почти все равны нулю. Поэтому можно сформировать их знакопеременную сумму

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}b_{k}({\mathcal {S}})}$

что называется эйлеровой характеристикой комплекса, легко различимым топологическим инвариантом.

Топологическая инвариантность

Чтобы использовать эти инварианты для классификации топологических пространств с точностью до гомеоморфизма, необходима инвариантность характеристик относительно гомеоморфизма.

Известным подходом к вопросу в начале 20-го века была попытка показать, что любые две триангуляции одного и того же топологического пространства допускают общее подразделение . Это предположение известно как Hauptvermutung ( нем.: Главное предположение). Пусть будет симплициальным комплексом. Говорят, что комплекс является подразделением тогда и только тогда: ${\displaystyle |{\mathcal {L}}|\subset \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {L'}}|\subset \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• каждый симплекс содержится в симплексе и ${\displaystyle {\mathcal {L'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
• каждый симплекс из является конечным объединением симплексов из . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L'}}}$

Эти условия гарантируют, что подразделения не изменят симплициальный комплекс как множество или как топологическое пространство. Отображение между симплициальными комплексами называется кусочно-линейным, если существует уточнение , такое, что является кусочно-линейным на каждом симплексе из . Два комплекса, которые соответствуют друг другу посредством кусочно-линейной биекции, называются комбинаторно изоморфными. В частности, два комплекса, которые имеют общее уточнение, являются комбинаторно эквивалентными. Группы гомологий инвариантны к комбинаторной эквивалентности, и поэтому Hauptvermutung даст топологическую инвариантность симплициальных групп гомологий. В 1918 году Александер ввел понятие сингулярной гомологии. С этого момента большинство инвариантов, возникающих из триангуляции, были заменены инвариантами, возникающими из сингулярной гомологии. Для этих новых инвариантов можно показать, что они инвариантны относительно гомеоморфизма и даже относительно гомотопической эквивалентности . ^[6] Кроме того, было показано, что сингулярные и симплициальные группы гомологий совпадают. ^[6] Этот обходной путь показал инвариантность данных к гомеоморфизму. Hauptvermutung потерял свою значимость, но он был отправной точкой для новой ветви топологии: кусочно-линейной топологии (коротко PL-топологии). ^[7] ${\displaystyle f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Hauptvermutung

Hauptvermutung ( нем. основная гипотеза ) утверждает, что две триангуляции всегда допускают общее подразделение. Первоначально его целью было доказать инвариантность комбинаторных инвариантов относительно гомеоморфизмов. Предположение о том, что такие подразделения существуют в общем случае, интуитивно понятно, поскольку подразделения легко построить для простых пространств, например, для многообразий низкой размерности. Действительно, предположение было доказано для многообразий размерности и для дифференцируемых многообразий, но в общем случае оно было опровергнуто: ^[8] Важным инструментом для доказательства того, что триангуляции не допускают общего подразделения, т. е. их базовые комплексы не являются комбинаторно изоморфными, является комбинаторный инвариант кручения Рейдемейстера. ${\displaystyle \leq 3}$

кручение Рейдемейстера

Чтобы опровергнуть Hauptvermutung, полезно использовать комбинаторные инварианты, которые не являются топологическими инвариантами. Известный пример — кручение Рейдемейстера. Его можно приписать кортежу CW-комплексов: Если эта характеристика будет топологическим инвариантом, но если в общем случае — нет. Подход к Hauptvermutung состоял в том, чтобы найти гомеоморфные пространства с различными значениями кручения Рейдемейстера. Этот инвариант изначально использовался для классификации линзовых пространств, и первые контрпримеры к Hauptvermutung были построены на основе линзовых пространств: ^[8] ${\displaystyle (K,L)}$ ${\displaystyle L=\emptyset }$ ${\displaystyle L\neq \emptyset }$

Классификация линзовых пространств

В своей первоначальной формулировке линзовые пространства являются 3-многообразиями, построенными как факторпространства 3-сферы: Пусть — натуральные числа, такие, что являются взаимно простыми. Линзовое пространство определяется как пространство орбит действия свободной группы ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle L(p,q)}$

${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \times S^{3}\to S^{3}}$

${\displaystyle (k,(z_{1},z_{2}))\mapsto (z_{1}\cdot e^{2\pi ik/p},z_{2}\cdot e^{2\pi ikq/p})}$.

Для различных кортежей линзовые пространства будут гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны. Поэтому их нельзя различить с помощью классических инвариантов как фундаментальной группы, а только с помощью кручения Рейдемейстера. ${\displaystyle (p,q)}$

Два линзовых пространства гомеоморфны, если и только если . ^[9] Это имеет место тогда и только тогда, когда два линзовых пространства являются просто-гомотопически-эквивалентными . Этот факт можно использовать для построения контрпримеров для Hauptvermutung следующим образом. Предположим, что существуют пространства, полученные из негомеоморфных линзовых пространств , имеющие различное кручение Рейдемейстера. Предположим далее, что модификация в не влияет на кручение Рейдемейстера, но такова, что после модификации и являются гомеоморфными. Полученные пространства опровергнут Hauptvermutung. ${\displaystyle L(p,q_{1}),L(p,q_{2})}$ ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle L'_{1},L'_{2}}$ ${\displaystyle L(p,q_{1}),L(p,q_{2})}$ ${\displaystyle L'_{1},L'_{2}}$ ${\displaystyle L'_{1}}$ ${\displaystyle L'_{2}}$

Наличие триангуляции

Помимо вопроса о конкретных триангуляциях для вычислительных задач, существуют утверждения о пространствах, которые легче доказать, учитывая, что они являются симплициальными комплексами. Особый интерес представляют многообразия. Топологические многообразия размерности всегда триангулируемы ^{[10] [11] [1]} но существуют нетриангулируемые многообразия для размерности , для произвольной, но большей трех. ^{[12] [13]} Кроме того, дифференцируемые многообразия всегда допускают триангуляции. ^[3] ${\displaystyle \leq 3}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Кусочно-линейные структуры

Многообразия являются важным классом пространств. Естественно требовать, чтобы они не только были триангулируемыми, но и допускали кусочно-линейный атлас, PL-структуру:

Пусть — симплициальный комплекс , такой, что каждая точка допускает открытую окрестность , такую, что существует триангуляция и кусочно-линейный гомеоморфизм . Тогда говорят, что есть кусочно-линейным (PL) многообразием размерности , а триангуляция вместе с PL-атласом называется PL-структурой на . ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |X|}$

Важная лемма заключается в следующем:

Пусть — топологическое пространство. Оно эквивалентно ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является -мерным многообразием и допускает PL-структуру. ${\displaystyle n}$
2. Существует триангуляция, в которой связь каждой вершины представляет собой сферу. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n-1}$
3. Для каждой триангуляции звена каждой вершины есть сфера. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n-1}$

Эквивалентность второго и третьего утверждений заключается в том, что связь вершины не зависит от выбранной триангуляции с точностью до комбинаторного изоморфизма. ^[14] Можно показать, что дифференцируемые многообразия допускают PL-структуру, а также многообразия размерности . ^[15] Контрпримеры для гипотезы о триангуляции, конечно, являются контрпримерами для гипотезы о существовании PL-структуры. ${\displaystyle \leq 3}$

Более того, существуют примеры для триангулированных пространств, которые не допускают PL-структуру. Рассмотрим -мерную PL-гомологическую-сферу . Двойная подвеска является топологической -сферой. Выбирая триангуляцию , полученную с помощью операции подвески на триангуляциях, полученный симплициальный комплекс не является PL-многообразием, поскольку существует вершина, такая, что не является сферой. ^[16] ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{2}X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t:|{\mathcal {S}}|\rightarrow S^{2}X}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle link(v)}$ ${\displaystyle n-1}$

Возникает вопрос, связанный с определением, всегда ли PL-структуры уникальны: даны две PL-структуры для одного и того же пространства , существует ли гомеоморфизм , который является кусочно-линейным относительно обеих PL-структур? Предположение похоже на Hauptvermutung, и действительно существуют пространства, которые имеют различные PL-структуры, которые не эквивалентны. Триангуляция PL-эквивалентных пространств может быть преобразована друг в друга с помощью движений Пахнера: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:Y\rightarrow Y}$

Пахнер движется

Один ход Пахнера заменяет два тетраэдра на три тетраэдра

Движение Пахнера — это способ манипулировать триангуляциями: Пусть будет симплициальным комплексом. Для двух симплексов Join ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle K,L}$

${\displaystyle K*L={\Big \{}tk+(1-t)l\;|\;k\in K,l\in L\;t\in [0,1]{\Big \}}}$— это точки, лежащие на прямых между точками в и в . Выберите так, чтобы для любого , не лежащего в . Новый комплекс , можно получить заменой на . Эта замена называется движением Пахнера. Теорема Пахнера утверждает, что всякий раз, когда два триангулированных многообразия являются PL-эквивалентными, существует ряд движений Пахнера, преобразующих оба в другие. ^[17] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle lk(S)=\partial K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$ ${\displaystyle S*\partial K}$ ${\displaystyle \partial S*K}$

Клеточные комплексы

Действительная проективная плоскость как симплициальный комплекс и как CW-комплекс. Как CW-комплекс она может быть получена склеиванием сначала и для получения 1-сферы, а затем присоединением диска с помощью карты . ${\displaystyle \mathbb {D} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow \mathbb {S} ^{1},e^{ix}\mapsto e^{2ix}}$

Похожую, но более гибкую конструкцию, чем симплициальные комплексы, имеет конструкция клеточных комплексов (или CW-комплексов). Ее конструкция выглядит следующим образом:

-Ячейка — это замкнутый -мерный единичный шар , открытая -ячейка — его внутренняя . Пусть — топологическое пространство, пусть — непрерывное отображение. Говорят, что склейка получается склеиванием на -ячейке. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}=[0,1]^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}=[0,1]^{n}\setminus \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{n-1}\rightarrow X}$ ${\displaystyle X\cup _{f}B_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Клеточный комплекс — это объединение топологических пространств, такое что ${\displaystyle X=\cup _{n\geq 0}X_{n}}$

• ${\displaystyle X_{0}}$это дискретный набор
• каждый из них получается путем склеивания семейства -клеток. ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n-1}}$ ${\displaystyle n}$

Каждый симплициальный комплекс является CW-комплексом, обратное неверно. Построение CW-комплексов может быть использовано для определения клеточной гомологии, и можно показать, что клеточная гомология и симплициальная гомология совпадают. ^[18] Для вычислительных задач иногда проще предположить, что пространства являются CW-комплексами, и определить их гомологию с помощью клеточного разложения, примером является проективная плоскость : ее построение как CW-комплекса требует трех ячеек, тогда как ее симплициальный комплекс состоит из 54 симплексов. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Другие приложения

Классификация коллекторов

Триангулируя одномерные многообразия, можно показать, что они всегда гомеоморфны непересекающимся копиям действительной прямой и единичной сферы . Более того, поверхности, т. е. 2-многообразия, могут быть полностью классифицированы: Пусть будет компактной поверхностью. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle S}$

• Если является ориентируемым, то он гомеоморфен 2-сфере с прикрепленными торами размерности для некоторого . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n\geq 0}$
• Если неориентируемо, то оно гомеоморфно бутылке Клейна с прикрепленными торами размерности для некоторых . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Для доказательства этой теоремы строится фундаментальный многоугольник поверхности: Это можно сделать, используя симплициальную структуру, полученную триангуляцией. ^[19]

Карты на симплициальных комплексах

Придание пространствам структуры симплициальной структуры может помочь понять карты, определенные на пространствах. Карты часто можно считать симплициальными картами с помощью теоремы о симплициальной аппроксимации:

Симплициальное приближение

Пусть , будут абстрактными симплициальными комплексами над множествами , . Симплициальное отображение — это функция , которая отображает каждый симплекс в на симплекс в . Посредством аффинно-линейного расширения на симплексы, индуцирует отображение между геометрическими реализациями комплексов. Каждая точка в геометрическом комплексе лежит внутри ровно одного симплекса, его носителя. Рассмотрим теперь непрерывное отображение . Говорят, что симплициальное отображение является симплициальной аппроксимацией тогда и только тогда, когда каждое отображается на носитель в . Если такое приближение существует, можно построить гомотопию , преобразующуюся в , определив ее на каждом симплексе; там она всегда существует, потому что симплексы стягиваемы. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle V_{K}}$ ${\displaystyle V_{L}}$ ${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Теорема о симплициальной аппроксимации гарантирует для каждой непрерывной функции существование симплициальной аппроксимации по крайней мере после уточнения , например, путем замены ее итерированным барицентрическим подразделением. ^[2] Теорема играет важную роль для некоторых утверждений в алгебраической топологии, чтобы свести поведение непрерывных отображений к поведению симплициальных отображений, например, в теореме Лефшеца о неподвижной точке. ${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Теорема Лефшеца о неподвижной точке

Число Лефшеца — полезный инструмент для выяснения, допускает ли непрерывная функция неподвижные точки. Эти данные вычисляются следующим образом: предположим, что и являются топологическими пространствами, допускающими конечные триангуляции. Непрерывное отображение индуцирует гомоморфизмы между своими симплициальными группами гомологии с коэффициентами в поле . Это линейные отображения между -векторными пространствами, поэтому их след может быть определен, а их знакопеременная сумма ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f_{i}:H_{i}(X,K)\rightarrow H_{i}(Y,K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle tr_{i}}$

${\displaystyle L_{K}(f)=\sum _{i}(-1)^{i}tr_{i}(f)\in K}$

называется числом Лефшеца для . Если , это число является эйлеровой характеристикой для . Теорема о неподвижной точке утверждает, что всякий раз, когда , имеет неподвижную точку. В доказательстве это сначала показано только для симплициальных отображений, а затем обобщено для любых непрерывных функций с помощью теоремы об аппроксимации. Теорема Брауэра о неподвижной точке рассматривает случай, когда является эндоморфизмом единичного шара. Для всех его групп гомологии обращается в нуль, и всегда является тождеством, поэтому , поэтому имеет неподвижную точку. ^[20] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=id}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{K}(f)\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow \mathbb {D} ^{n}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle H_{k}(\mathbb {D} ^{n})}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle L_{K}(f)=tr_{0}(f)=1\neq 0}$ ${\displaystyle f}$

Формула Римана-Гурвица

Формула Римана-Гурвица позволяет определить род компактной связной римановой поверхности без использования явной триангуляции. Доказательство требует существования триангуляции для поверхностей в абстрактном смысле: Пусть — непостоянная голоморфная функция на поверхности с известным родом. Связь между родом поверхностей и имеет вид ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle 2g(X)-2=deg(F)(2g(Y)-2)\sum _{x\in X}(ord(F)-1)}$

где обозначает степень отображения. Сумма хорошо определена, поскольку учитывает только точки ветвления функции. ${\displaystyle deg(F)}$

Предыстория этой формулы заключается в том, что голоморфные функции на римановых поверхностях являются разветвленными покрытиями. Формулу можно найти, исследуя изображение симплициальной структуры вблизи точек разветвления. ^[21]

Цитаты

1. John M. Lee (2000), Springer Verlag (ред.), Введение в топологические многообразия (на немецком языке), Нью-Йорк/Берлин/Гейдельберг: Springer Verlag, стр. 92, ISBN 0-387-98759-2
2. Джеймс Р. Манкрес (1984), Элементы алгебраической топологии (на немецком языке), т. 1984, Менло-Парк, Калифорния: Addison Wesley, стр. 83, ISBN 0-201-04586-9
3. JHC Whitehead (1940), «О комплексах C1», Annals of Mathematics (на немецком языке), т. 41, № 4, стр. 809–824, doi :10.2307/1968861, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968861
4. JW Alexander (1926), «Комбинаторный анализ Situs», Труды Американского математического общества (на немецком языке), т. 28, № 2, стр. 301–329, doi : 10.1090/S0002-9947-1926-1501346-5 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1989117
5. Р. Штекер, Х. Цишанг (1994), Algebraische Topologie (на немецком языке) (2. überarbeitete ed.), Штутгарт: BGTeubner, p. 270, ISBN 3-519-12226-X
6. Allen Hatcher (2006), Algebraic Topologie (на немецком языке), Кембридж/Нью-Йорк/Мельбурн: Cambridge University Press, стр. 110, ISBN 0-521-79160--X
7. А.А.Раницкий. «Один Hauptvermutung» (PDF) . Книга Hauptvermutung .
8. Джон Милнор (1961), «Два комплекса, которые гомеоморфны, но комбинаторно различны», Анналы математики (на немецком языке), т. 74, № 3, стр. 575, doi : 10.2307/1970299, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970299
9. Маршалл М. Коэн (1973), "Курс по теории простых гомотопий", Graduate Texts in Mathematics , Graduate Texts in Mathematics (на немецком языке), т. 10, doi :10.1007/978-1-4684-9372-6, ISBN 978-0-387-90055-1, ISSN  0072-5285
10. Эдвин Моисе (1977), Геометрическая топология в измерениях 2 и 3 (на немецком языке), Нью-Йорк: Springer Verlag
11. Тибор Радо. «Über den Begriff der Riemannschen Fläche» (PDF) .
12. RC Kirby, LC Siebenmann (1977-12-31), «Приложение B. О триангуляции многообразий и Hauptvermutung», Основополагающие эссе о топологических многообразиях, сглаживаниях и триангуляциях. (AM-88) (на немецком языке), Princeton University Press, стр. 299–306
13. "Глава IV; Инвариант Кассона для ориентированных гомологичных трехсфер", Инвариант Кассона для ориентированных гомологичных трехсфер (на немецком языке), Princeton University Press, стр. 63–79, 1990-12-31
14. Тённиссен, Фритьоф (2017), Topologie (PDF) (на немецком языке), doi : 10.1007/978-3-662-54964-3, ISBN 978-3-662-54963-6, получено 2022-04-20
15. Эдвин Э. Моисе (1952), «Аффинные структуры в 3-многообразиях: V. Теорема о триангуляции и Hauptvermutung», Анналы математики (на немецком языке), т. 56, № 1, стр. 96, doi : 10.2307/1969769, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969769
16. Роберт Д. Эдвардс (18 октября 2006 г.), «Подвески гомологических сфер», arXiv:math/0610573 (на немецком языке), arXiv : math/0610573 , Bibcode :2006math.....10573E
17. WBR Lickorish (1999-11-20), "Симплициальные движения на комплексах и многообразиях", Труды Kirbyfest (на немецком языке), Mathematical Sciences Publishers, arXiv : math/9911256 , doi :10.2140/gtm.1999.2.299, S2CID  9765634
18. Тенниссен, Фритьоф (2017), Topologie (PDF) (на немецком языке), стр. 315, номер домена : 10.1007/978-3-662-54964-3, ISBN 978-3-662-54963-6, получено 2022-04-20
19. Зайферт, Х. (Герберт), 1907–1996. (2003), Lehrbuch der Topologie (на немецком языке), AMS Chelsea Pub., ISBN 0-8218-3595-5{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
20. Бредон, Глен Э. (1993), Springer Verlag (ред.), Топология и геометрия (на немецком языке), Берлин/Гейдельберг/Нью-Йорк, стр. 254 и далее, ISBN 3-540-97926-3{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
21. Отто Форстер (1977), "Kompakte Riemannsche Flächen", Heidelberger Taschenbücher (на немецком языке), Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 88–154, ISBN 978-3-540-08034-3

Смотрите также

• Триангуляция (геометрия)
• Треугольная сетка

Литература

• Аллен Хэтчер: Алгебраическая топология , Cambridge University Press, Кембридж/Нью-Йорк/Мельбурн 2006, ISBN 0-521-79160-X
• Джеймс Р. Манкрес: . Группа 1984. Эддисон Уэсли, Менло-Парк, Калифорния 1984, ISBN 0-201-04586-9
• Маршалл М. Коэн: Курс по теории простых гомотопий . В: Graduate Texts in Mathematics . 1973, ISSN 0072-5285, doi :10.1007/978-1-4684-9372-6.