В геометрии тетраэдр Гурса — это тетраэдральная фундаментальная область конструкции Витхоффа . Каждая тетраэдральная грань представляет собой гиперплоскость отражения на трехмерных поверхностях: 3-сфере , евклидовом 3-пространстве и гиперболическом 3-пространстве. Коксетер назвал их в честь Эдуарда Гурса, который первым исследовал эти области. Это расширение теории треугольников Шварца для конструкций Витхоффа на сфере.
Тетраэдр Гурса может быть графически представлен тетраэдрическим графом, который находится в двойственной конфигурации тетраэдра фундаментального домена. В графе каждый узел представляет собой грань (зеркало) тетраэдра Гурса. Каждое ребро помечено рациональным значением, соответствующим порядку отражения, равным π/ двугранный угол .
Диаграмма Коксетера-Дынкина с 4 узлами представляет этот тетраэдрический граф со скрытыми ребрами порядка 2. Если многие ребра имеют порядок 2, группа Коксетера может быть представлена скобочной записью .
Для существования требуется, чтобы каждый из 3-узловых подграфов этого графа (pqr), (pus), (qtu) и (rst) соответствовал треугольнику Шварца .
Расширенная симметрия тетраэдра Гурса является полупрямым произведением симметрии группы Кокстера и фундаментальной симметрии домена (тетраэдра Гурса в этих случаях). Обозначение Кокстера поддерживает эту симметрию, поскольку двойные скобки, такие как [Y[X]], означают полную симметрию группы Кокстера [X], где Y является симметрией тетраэдра Гурса. Если Y является чистой отражательной симметрией, группа будет представлять другую группу Кокстера зеркал. Если есть только одна простая удвоенная симметрия, Y может быть неявной, как [[X]] с отражательной или вращательной симметрией в зависимости от контекста.
Расширенная симметрия каждого тетраэдра Гурса также приведена ниже. Наивысшая возможная симметрия — это симметрия правильного тетраэдра как [3,3], и это происходит в призматической точечной группе [2,2,2] или [2 [3,3] ] и паракомпактной гиперболической группе [3 [3,3] ].
См . Тетраэдр#Изометрии неправильных тетраэдров для 7 изометрий тетраэдра с более низкой симметрией.
В следующих разделах показаны все целые числа тетраэдрических решений Гурса на 3-сфере, евклидовом 3-пространстве и гиперболическом 3-пространстве. Также дана расширенная симметрия каждого тетраэдра.
Цветные тетраэдральные диаграммы ниже являются вершинными фигурами для всеусеченных многогранников и сот из каждого семейства симметрии. Метки ребер представляют собой порядки полигональных граней, которые в два раза больше порядка ветвления графа Коксетера. Двугранный угол ребра, помеченного 2n, равен π/ n . Желтые ребра, помеченные 4, исходят из прямоугольных (несвязанных) зеркальных узлов на диаграмме Коксетера.
Решения для 3-сферы с плотностью 1: ( Однородная полихора )
Решения плотности 1: Выпуклые однородные соты :
Решения плотности 1: ( Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве ) ( Диаграмма Коксетера#Компакт (Симплексные группы Ланнера) )
Решения плотности 1: (См. диаграмму Коксетера#Паракомпакт (симплексные группы Кошуля) )
Существуют сотни рациональных решений для 3-сферы , включая эти 6 линейных графов, которые генерируют полихору Шлефли-Гесса , и 11 нелинейных графов от Коксетера:
Всего существует 59 спорадических тетраэдров с рациональными углами и 2 бесконечных семейства. [1]