В геометрии однородный многогранник размерности три или выше — это вершинно-транзитивный многогранник, ограниченный однородными гранями . Здесь «вершинно-транзитивный» означает, что он имеет симметрии, переводящие каждую вершину в каждую другую вершину; то же самое должно быть верно и для каждой грани многогранника меньшей размерности. В двух измерениях (и для двумерных граней многогранников большей размерности) используется более сильное определение: только правильные многоугольники считаются однородными, что запрещает многоугольники, которые чередуются между двумя различными длинами ребер.
Это обобщение более старой категории полуправильных многогранников , но также включает в себя правильные многогранники . Кроме того, разрешены звездные правильные грани и вершинные фигуры ( звездные многоугольники ), что значительно расширяет возможные решения. Строгое определение требует, чтобы однородные многогранники были конечными, в то время как более обширное определение позволяет считать однородные соты (двумерные мозаики и соты более высокой размерности ) евклидова и гиперболического пространства также многогранниками.
Почти каждый однородный многогранник может быть сгенерирован конструкцией Витхоффа и представлен диаграммой Коксетера . Известные исключения включают большой дирромбоикосододекаэдр в трех измерениях и большую антипризму в четырех измерениях.
Эквивалентно, многогранники Витхоффа могут быть получены путем применения базовых операций к правильным многогранникам в этом измерении. Этот подход был впервые использован Иоганном Кеплером и является основой нотации многогранников Конвея .
Правильные n-многогранники имеют n порядков спрямления . Нулевое спрямление является исходной формой. ( n −1)-е спрямление является двойственным . Спрямление сводит ребра к вершинам, биспрямление сводит грани к вершинам, триспрямление сводит ячейки к вершинам, квадриспрямление сводит 4-грани к вершинам, квинтириктивление сводит 5-грани к вершинам и т. д.
Для представления выпрямленных форм можно использовать расширенный символ Шлефли с одним нижним индексом:
Операции усечения, которые можно применять к правильным n -многогранникам в любой комбинации. Полученная диаграмма Коксетера имеет два кольцевых узла, а операция названа по расстоянию между ними. Усечение разрезает вершины, кантелляция разрезает ребра, ранцинация разрезает грани, стерификация разрезает ячейки. Каждая более высокая операция также разрезает и более низкие, поэтому кантелляция также разрезает вершины.
Кроме того, могут быть выполнены комбинации усечений, которые также генерируют новые однородные многогранники. Например, runcitruncation — это runcination и truncation, применяемые вместе.
Если все усечения применяются одновременно, операцию можно в более общем смысле назвать омни-усечением .
Одна специальная операция, называемая чередованием , удаляет чередующиеся вершины из многогранника, имеющего только четные грани. Чередующийся всеусеченный многогранник называется снубом .
Полученные многогранники всегда могут быть построены и, как правило, не являются отражающими, а также, как правило, не имеют однородных многогранных решений.
Набор многогранников, образованных чередованием гиперкубов , известен как полукубы . В трех измерениях это дает тетраэдр ; в четырех измерениях это дает 16-ячейковый или полутессеракт .
Однородные многогранники могут быть построены из их вершинной фигуры , расположения ребер, граней, ячеек и т. д. вокруг каждой вершины. Однородные многогранники, представленные диаграммой Коксетера , маркирующей активные зеркала кольцами, обладают отражательной симметрией и могут быть просто построены рекурсивными отражениями вершинной фигуры.
Меньшее число нерефлективных однородных многогранников имеют одну вершинную фигуру, но не повторяются простыми отражениями. Большинство из них можно представить с помощью операций, подобных чередованию других однородных многогранников.
Вершинные фигуры для однокольцевых диаграмм Коксетера могут быть построены из диаграммы путем удаления кольцевого узла и кольцевания соседних узлов. Такие вершинные фигуры сами по себе являются вершинно-транзитивными.
Многокольцевые многогранники могут быть построены с помощью немного более сложного процесса построения, и их топология не является однородным многогранником. Например, вершинная фигура усеченного правильного многогранника (с 2 кольцами) является пирамидой. Всеусеченный многогранник (все узлы окольцованы) всегда будет иметь неправильный симплекс в качестве своей вершинной фигуры.
Однородные многогранники имеют равные длины ребер, а все вершины находятся на одинаковом расстоянии от центра, называемом радиусом описанной окружности .
Однородные многогранники, радиус описанной окружности которых равен длине ребра, могут использоваться в качестве вершинных фигур для однородных сот . Например, правильный шестиугольник делится на 6 равносторонних треугольников и является вершинной фигурой для правильной треугольной мозаики . Также кубооктаэдр делится на 8 правильных тетраэдров и 6 квадратных пирамид ( полуоктаэдр ), и является вершинной фигурой для чередующихся кубических сот .
Полезно классифицировать однородные многогранники по размерности. Это эквивалентно числу узлов на диаграмме Коксетера или числу гиперплоскостей в конструкции Витхоффа. Поскольку ( n +1)-мерные многогранники являются мозаиками n -мерного сферического пространства, мозаики n -мерного евклидова и гиперболического пространства также считаются ( n +1)-мерными. Следовательно, мозаики двумерного пространства группируются с трехмерными телами.
Единственный одномерный многогранник — это отрезок прямой. Он соответствует семейству Коксетера A 1 .
В двух измерениях существует бесконечное семейство выпуклых однородных многогранников, правильных многоугольников , простейшим из которых является равносторонний треугольник . Усеченные правильные многоугольники становятся двухцветными геометрически квазиправильными многоугольниками с удвоенным числом сторон, t{p}={2p}. Первые несколько правильных многоугольников (и квазиправильных форм) показаны ниже:
Существует также бесконечное множество звездчатых многоугольников (по одному на каждое рациональное число больше 2), но они невыпуклые. Простейшим примером является пентаграмма , которая соответствует рациональному числу 5/2. Правильные звездчатые многоугольники {p/q} можно усечь до полуправильных звездчатых многоугольников, t{p/q}=t{2p/q}, но они становятся двойными покрытиями, если q четное. Усечение также можно сделать с помощью многоугольника обратной ориентации t{p/(pq)}={2p/(pq)}, например t{5/3}={10/3}.
Правильные многоугольники, представленные символом Шлефли {p} для p-угольника. Правильные многоугольники являются самодвойственными, поэтому ректификация даёт тот же самый многоугольник. Операция равномерного усечения удваивает стороны до {2p}. Операция усечения, чередующая усечение, восстанавливает исходный многоугольник {p}. Таким образом, все однородные многоугольники также являются правильными. Следующие операции могут быть выполнены над правильными многоугольниками для получения однородных многоугольников, которые также являются правильными многоугольниками:
В трех измерениях ситуация становится интереснее. Существует пять выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела :
В дополнение к ним существует также 13 полуправильных многогранников, или архимедовых тел , которые можно получить с помощью построений Витхоффа или путем выполнения таких операций, как усечение, над платоновыми телами, как показано в следующей таблице:
Существует также бесконечное множество призм , по одной для каждого правильного многоугольника, и соответствующее множество антипризм .
Однородные звездчатые многогранники включают еще 4 правильных звездчатых многогранника, многогранники Кеплера-Пуансо , и 53 полуправильных звездчатых многогранника. Также существуют два бесконечных набора, звездчатые призмы (по одному для каждого звездчатого многоугольника) и звездчатые антипризмы (по одному для каждого рационального числа, большего 3/2).
Однородные многогранники и мозаики Витхоффа можно определить с помощью их символа Витхоффа , который определяет фундаментальную область объекта. Расширение нотации Шлефли , также используемое Коксетером , применяется ко всем измерениям; оно состоит из буквы «t», за которой следует ряд подстрочных чисел, соответствующих окольцованным узлам диаграммы Коксетера , а затем символ Шлефли правильного затравочного многогранника. Например, усеченный октаэдр представлен с помощью нотации: t 0,1 {3,4}.
В четырех измерениях имеется 6 выпуклых правильных 4-многогранников , 17 призм на Платоновых и Архимедовых телах (исключая кубическую призму, которая уже была подсчитана как тессеракт ) , и два бесконечных множества: призмы на выпуклых антипризмах и дуопризмы . Имеется также 41 выпуклый полуправильный 4-многогранник, включая не-Витхоффову большую антипризму и плосконосый 24-ячейник . Оба этих специальных 4-многогранника состоят из подгрупп вершин 600-ячейника .
Четырехмерные однородные звездчатые многогранники не все были перечислены. Те, которые были перечислены, включают 10 правильных звездчатых (Шлефли-Гесс) 4-многогранников и 57 призм на однородных звездчатых многогранниках, а также три бесконечных семейства: призмы на звездчатых антипризмах, дуопризмы, образованные путем умножения двух звездчатых многоугольников, и дуопризмы, образованные путем умножения обычного многоугольника на звездчатый многоугольник. Существует неизвестное количество 4-многогранников, которые не вписываются в вышеуказанные категории; на данный момент обнаружено более тысячи.
Каждый правильный многогранник можно рассматривать как изображения фундаментальной области в небольшом количестве зеркал. В 4-мерном многограннике (или 3-мерных кубических сотах) фундаментальная область ограничена четырьмя зеркалами. Зеркало в 4-мерном пространстве является трехмерной гиперплоскостью , но для наших целей удобнее рассматривать только ее двумерное пересечение с трехмерной поверхностью гиперсферы ; таким образом, зеркала образуют неправильный тетраэдр .
Каждый из шестнадцати правильных 4-мерных многогранников порождается одной из четырех групп симметрии следующим образом:
(Группы названы в нотации Коксетера .)
Восемь выпуклых однородных сот в евклидовом 3-пространстве аналогичным образом генерируются из кубических сот {4,3,4} путем применения тех же операций, которые использовались для генерации однородных 4-мерных многогранников Витхоффа.
Для данного симметрийного симплекса порождающая точка может быть размещена на любой из четырех вершин, 6 ребер, 4 граней или внутреннего объема. На каждом из этих 15 элементов есть точка, образы которой, отраженные в четырех зеркалах, являются вершинами однородного 4-политопа.
Расширенные символы Шлефли создаются с помощью t , за которым следует включение от одного до четырех нижних индексов 0,1,2,3. Если есть один нижний индекс, то генерирующая точка находится на углу фундаментальной области, т.е. в точке, где встречаются три зеркала. Эти углы обозначаются как
(Для двух самодвойственных 4-мерных многогранников «двойственный» означает аналогичный 4-мерный многогранник в двойственном положении.) Два или более нижних индекса означают, что порождающая точка находится между указанными углами.
Ниже приведены 15 конструктивных форм по семействам. Самодвойственные семейства перечислены в одном столбце, а другие — в двух столбцах с общими записями на симметричных диаграммах Коксетера . Последняя 10-я строка содержит плосконосые конструкции из 24 ячеек. Сюда входят все непризматические однородные 4-многогранники, за исключением не-Витхоффовой большой антипризмы , у которой нет семейства Коксетера.
В следующей таблице определены 15 форм усечения. Каждая форма может иметь от одного до четырех типов ячеек, расположенных в позициях 0,1,2,3, как определено выше. Ячейки помечены полиэдральной нотацией усечения.
Существуют половинные конструкции с дырками, а не с кольцевыми узлами. Ветви, соседствующие с дырками и неактивными узлами, должны быть четного порядка. Половинные конструкции имеют вершины идентично кольцевой конструкции.
В пяти и более измерениях существует 3 правильных многогранника: гиперкуб , симплекс и кросс-политоп . Они являются обобщениями трехмерного куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. В этих измерениях нет правильных звездчатых многогранников. Большинство однородных многогранников более высокой размерности получаются путем модификации правильных многогранников или путем взятия декартова произведения многогранников более низких размерностей.
В шести, семи и восьми измерениях в игру вступают исключительные простые группы Ли E 6 , E 7 и E 8 . Размещая кольца на ненулевом числе узлов диаграмм Коксетера , можно получить 39 новых 6-многогранников, 127 новых 7-многогранников и 255 новых 8-многогранников. Ярким примером является многогранник 4 21 .
С темой конечных однородных многогранников связаны однородные соты в евклидовых и гиперболических пространствах. Евклидовы однородные соты генерируются аффинными группами Коксетера , а гиперболические соты генерируются гиперболическими группами Коксетера . Две аффинные группы Коксетера можно умножать друг на друга.
Существует два класса гиперболических групп Коксетера: компактные и паракомпактные. Однородные соты, порожденные компактными группами, имеют конечные грани и вершинные фигуры и существуют в измерениях от 2 до 4. Паракомпактные группы имеют аффинные или гиперболические подграфы и бесконечные грани или вершинные фигуры и существуют в измерениях от 2 до 10.