Симплектическое векторное пространство

Математическая концепция

В математике симплектическое векторное пространство — это векторное пространство над полем (например, действительных чисел ), снабженное симплектической билинейной формой . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Симплектическая билинейная форма — это отображение , которое ${\displaystyle \omega :V\times V\to F}$

Билинейный

Линейный по каждому аргументу в отдельности;

Переменный

${\displaystyle \omega (v,v)=0}$справедливо для всех ; и ${\displaystyle v\in V}$

Невырожденный

${\displaystyle \omega (v,u)=0}$ибо все подразумевает, что . ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle u=0}$

Если базовое поле имеет характеристику , отличную от 2, чередование эквивалентно кососимметричности . Если характеристика равна 2, кососимметричность подразумевается, но не подразумевает чередование. В этом случае каждая симплектическая форма является симметричной формой , но не наоборот.

Работая в фиксированном базисе , может быть представлена ​​матрицей . Вышеуказанные условия эквивалентны тому, что эта матрица является кососимметричной , невырожденной и полой (все диагональные элементы равны нулю). Это не следует путать с симплектической матрицей , которая представляет собой симплектическое преобразование пространства. Если является конечномерной , то ее размерность обязательно должна быть четной, поскольку каждая кососимметричная полая матрица нечетного размера имеет нулевой определитель . Обратите внимание, что условие, что матрица должна быть полой, не является избыточным, если характеристика поля равна 2. Симплектическая форма ведет себя совершенно иначе, чем симметричная форма, например, скалярное произведение на евклидовых векторных пространствах. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V}$

Стандартное симплектическое пространство

Стандартное симплектическое пространство имеет симплектическую форму, заданную невырожденной , кососимметричной матрицей . Обычно выбирается блочная матрица ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$

где I _n — единичная матрица n × n . В терминах базисных векторов ( x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (x_{i},y_{j})=-\omega (y_{j},x_{i})&=\delta _{ij},\\\omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})&=0.\end{aligned}}}$

Модифицированная версия процесса Грама–Шмидта показывает, что любое конечномерное симплектическое векторное пространство имеет базис, который принимает эту форму, часто называемый базисом Дарбу или симплектическим базисом . ${\displaystyle \omega }$

Схема процесса:

Начнем с произвольного базиса и представим двойственный вектор каждого базиса с помощью двойственного базиса : . Это дает нам матрицу с элементами . Решим для ее нулевого пространства. Теперь для любого в нулевом пространстве мы имеем , поэтому нулевое пространство дает нам вырожденное подпространство . ${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$ ${\displaystyle \omega (v_{i},\cdot )=\sum _{j}\omega (v_{i},v_{j})v_{j}^{*}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},...,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle \sum _{i}\omega (v_{i},\cdot )=0}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Теперь произвольно выберем комплементарное такое, что , и пусть будет базисом . Так как , и , WLOG . Теперь масштабируем так, чтобы . Затем определим для каждого из . Выполним итерацию. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V=V_{0}\oplus W}$ ${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},\cdot )\neq 0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{1})=0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\neq 0}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})=1}$ ${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$ ${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$

Обратите внимание, что этот метод применим к симплектическому векторному пространству над любым полем, а не только над полем действительных чисел.

Случай действительного или комплексного поля:

Когда пространство находится над полем действительных чисел, то мы можем модифицировать модифицированный процесс Грама-Шмидта следующим образом: Начать так же. Пусть будет ортонормированным базисом (относительно обычного внутреннего произведения на ) для . Так как , и , WLOG . Теперь умножим на знак, так что . Затем определим для каждого из , затем масштабируем каждый так, чтобы он имел норму один. Повторить. ${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},\cdot )\neq 0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{1})=0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\neq 0}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\geq 0}$ ${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$ ${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$ ${\displaystyle w'}$

Аналогично, для поля комплексных чисел можно выбрать унитарный базис. Это доказывает спектральную теорию антисимметричных матриц .

Лагранжева форма

Есть другой способ интерпретировать эту стандартную симплектическую форму. Поскольку модельное пространство R ^{2 n ,} использованное выше, несет в себе много канонической структуры, которая может легко привести к неправильной интерпретации, мы будем использовать вместо этого «анонимные» векторные пространства. Пусть V будет действительным векторным пространством размерности n , а V ^{∗ —} его сопряженным пространством . Теперь рассмотрим прямую сумму W = V ⊕ V ^∗ этих пространств, снабженную следующей формой:

${\displaystyle \omega (x\oplus \eta ,y\oplus \xi )=\xi (x)-\eta (y).}$

Теперь выберем любой базис ( v ₁ , ..., v _n ) V и рассмотрим его двойственный базис

${\displaystyle \left(v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\right).}$

Мы можем интерпретировать базисные векторы как лежащие в W, если запишем x _i = ( v _i , 0) и y _i = (0, v _i ^∗ ) . Взятые вместе, они образуют полный базис W ,

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}).}$

Можно показать, что форма ω, определенная здесь, имеет те же свойства, что и в начале этого раздела. С другой стороны, каждая симплектическая структура изоморфна одной из форм V ⊕ V ^∗ . Подпространство V не является единственным, и выбор подпространства V называется поляризацией . Подпространства, которые задают такой изоморфизм, называются лагранжевыми подпространствами или просто лагранжианами .

Явно, если задано лагранжево подпространство, как определено ниже, то выбор базиса ( x ₁ , ..., x _n ) определяет двойственный базис для дополнения, как ω ( x _i , y _j ) = δ _ij .

Аналогия со сложными структурами

Так же, как каждая симплектическая структура изоморфна одной из структур вида V ⊕ V ^∗ , каждая комплексная структура на векторном пространстве изоморфна одной из структур вида V ⊕ V . Используя эти структуры, касательное расслоение n -многообразия, рассматриваемого как 2 n -многообразие, имеет почти комплексную структуру , а кокасательное расслоение n -многообразия, рассматриваемого как 2 n -многообразие, имеет симплектическую структуру: T _∗ ( T ^∗ M ) _p = T _p ( M ) ⊕ ( T p ( M ) ⁾ _∗ .

Комплексным аналогом лагранжева подпространства является действительное подпространство , подпространство, комплексификация которого представляет собой все пространство: W = V ⊕ J V . Как видно из стандартной симплектической формы выше, каждая симплектическая форма на R ^{2 n} изоморфна мнимой части стандартного комплексного (эрмитова) скалярного произведения на C ⁿ (при этом соглашение о первом аргументе является антилинейным).

Форма объема

Пусть ω — знакопеременная билинейная форма на n -мерном вещественном векторном пространстве V , ω ∈ Λ ² ( V ) . Тогда ω невырождена тогда и только тогда, когда n четно и ω ^{n /2} = ω ∧ ... ∧ ω — форма объема . Форма объема на n -мерном векторном пространстве V — это ненулевое кратное n- формы e ₁ ^∗ ∧ ... ∧ e _n ^∗ , где e ₁ , e ₂ , ..., e _n — базис V .

Для стандартного базиса, определенного в предыдущем разделе, мы имеем

${\displaystyle \omega ^{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}x_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge y_{n}^{*}.}$

Переупорядочивая, можно записать

${\displaystyle \omega ^{n}=x_{1}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{n}^{*}.}$

Авторы по-разному определяют ω ⁿ или (−1) ^{n /2} ω ⁿ как стандартную форму объема . Иногда может также появляться множитель n !, в зависимости от того, содержит ли определение знакопеременного произведения множитель n ! или нет. Форма объема определяет ориентацию на симплектическом векторном пространстве ( V , ω ) .

Симплектическое отображение

Предположим, что ( V , ω ) и ( W , ρ ) — симплектические векторные пространства. Тогда линейное отображение f  : V → W называется симплектическим отображением , если обратный образ сохраняет симплектическую форму, т.е. f ^∗ ρ = ω , где обратная форма определяется как ( f ^∗ ρ )( u , v ) = ρ ( f ( u ), f ( v )) . Симплектические отображения сохраняют объем и ориентацию.

Симплектическая группа

Если V = W , то симплектическое отображение называется линейным симплектическим преобразованием V . В частности, в этом случае ω ( f ( u ), f ( v )) = ω ( u , v ) , и поэтому линейное преобразование f сохраняет симплектическую форму. Множество всех симплектических преобразований образует группу и, в частности, группу Ли , называемую симплектической группой и обозначаемую Sp( V ) или иногда Sp( V , ω ) . В матричной форме симплектические преобразования задаются симплектическими матрицами .

Подпространства

Пусть W — линейное подпространство V. Определим симплектическое дополнение W как подпространство

${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V\mid \omega (v,w)=0{\mbox{ for all }}w\in W\}.}$

Симплектическое дополнение удовлетворяет:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W^{\perp }\right)^{\perp }&=W\\\dim W+\dim W^{\perp }&=\dim V.\end{aligned}}}$

Однако, в отличие от ортогональных дополнений , W ^⊥ ∩ W не обязательно должно быть равно 0. Мы различаем четыре случая:

• W является симплектическим, если W ^⊥ ∩ W = {0 }. Это верно тогда и только тогда, когда ω ограничивается невырожденной формой на W . Симплектическое подпространство с ограниченной формой является симплектическим векторным пространством само по себе.
• W изотропно , если W ⊆ W ^⊥ . Это верно тогда и только тогда, когда ω ограничивается 0 на W. Любое одномерное подпространство изотропно.
• W коизотропен , если W ^⊥ ⊆ W . W коизотропен тогда и только тогда, когда ω спускается к невырожденной форме на факторпространстве W / W ^⊥ . Эквивалентно W коизотропен тогда и только тогда, когда W ^⊥ изотропен. Любое подпространство коразмерности -1 коизотропно.
• W является лагранжевым , если W = W ^⊥ . Подпространство является лагранжевым тогда и только тогда, когда оно является как изотропным, так и коизотропным. В конечномерном векторном пространстве лагранжево подпространство является изотропным, размерность которого вдвое меньше, чем у V . Каждое изотропное подпространство можно расширить до лагранжева.

Ссылаясь на каноническое векторное пространство R ^{2 n} выше,

• подпространство, охватываемое { x ₁ , y ₁ }, является симплектическим
• подпространство, охватываемое { x ₁ , x ₂ }, является изотропным
• подпространство, охватываемое { x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ }, является коизотропным
• подпространство, охватываемое { x ₁ , x ₂ , ..., x _n }, является лагранжевым.

Группа Гейзенберга

Группу Гейзенберга можно определить для любого симплектического векторного пространства, и это типичный способ возникновения групп Гейзенберга .

Векторные пространства можно рассматривать как коммутативную группу Ли (по сложению) или, что эквивалентно, как коммутативную алгебру Ли , то есть с тривиальной скобкой Ли. Группа Гейзенберга является центральным расширением такой коммутативной группы/алгебры Ли: симплектическая форма определяет коммутацию, аналогично каноническим коммутационным соотношениям (CCR), а базис Дарбу соответствует каноническим координатам  — в физических терминах операторам импульса и операторам положения .

Действительно, по теореме Стоуна–фон Неймана каждое представление, удовлетворяющее ККС (каждое представление группы Гейзенберга), имеет эту форму или, точнее, унитарно сопряжено со стандартным представлением.

Далее, групповая алгебра (двойственного) векторного пространства является симметрической алгеброй , а групповая алгебра группы Гейзенберга (двойственного) является алгеброй Вейля : можно рассматривать центральное расширение как соответствующее квантованию или деформации .

Формально, симметричная алгебра векторного пространства V над полем F является групповой алгеброй двойственной группы Sym( V ) := F [ V ^∗ ] , а алгебра Вейля является групповой алгеброй (двойственной) группы Гейзенберга W ( V ) = F [ H ( V ^∗ )] . Поскольку переход к групповым алгебрам является контравариантным функтором , центральное отображение расширения H ( V ) → V становится включением Sym( V ) → W ( V ) .

Смотрите также

• Симплектическое многообразие — это гладкое многообразие с плавно меняющейся замкнутой симплектической формой на каждом касательном пространстве .
• индекс Маслова
• Симплектическое представление — это групповое представление , в котором каждый элемент группы действует как симплектическое преобразование.

Ссылки

• Клод Годбийон (1969) «Различная геометрия и аналитическая механика», Герман
• Абрахам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978). «Гамильтоновы и лагранжевы системы». Основы механики (2-е изд.). Лондон: Benjamin-Cummings. стр. 161–252. ISBN 0-8053-0102-X.PDF
• Полетт Либерманн и Шарль-Мишель Марль (1987) «Симплектическая геометрия и аналитическая механика», Д. Рейдель
• Жан-Мари Сурио (1997) «Структура динамических систем, симплектический взгляд на физику», Springer