В математике , особенно в дифференциальной геометрии , кокасательное расслоение гладкого многообразия — это векторное расслоение всех кокасательных пространств в каждой точке многообразия. Его можно также описать как двойственное расслоение к касательному расслоению . Это можно обобщить на категории с большей структурой, чем гладкие многообразия, такие как комплексные многообразия или (в форме кокасательного пучка) алгебраические многообразия или схемы . В гладком случае любая риманова метрика или симплектическая форма задает изоморфизм между кокасательным расслоением и касательным расслоением, но они, вообще говоря, не изоморфны в других категориях.
Существует несколько эквивалентных способов определения кокасательного расслоения. Один из способов — через диагональное отображение Δ и ростки .
Пусть M — гладкое многообразие , и пусть M × M — декартово произведение M на себя. Диагональное отображение Δ переводит точку p из M в точку ( p , p ) из M × M . Образ Δ называется диагональю. Пусть — пучок ростков гладких функций на M × M , которые обращаются в нуль на диагонали. Тогда фактор-пучок состоит из классов эквивалентности функций, обращающихся в нуль на диагонали по модулю членов более высокого порядка. Котангенсивный пучок определяется как обратный образ этого пучка на M :
По теореме Тейлора это локально свободный пучок модулей относительно пучка ростков гладких функций M. Таким образом, он определяет векторное расслоение на M : кокасательное расслоение .
Гладкие сечения кокасательного расслоения называются (дифференциальными) один-формами .
Гладкий морфизм многообразий индуцирует пучок-образец на M. Существует индуцированное отображение векторных расслоений .
Касательное расслоение векторного пространства равно , а кокасательное расслоение равно , где обозначает сопряженное пространство ковекторов, линейных функций .
Дано гладкое многообразие, вложенное как гиперповерхность, представленное локусом исчезновения функции с условием, что касательное расслоение есть
где — производная по направлению . По определению, кокасательное расслоение в этом случае равно
где Поскольку каждый ковектор соответствует уникальному вектору , для которого для произвольного
Так как кокасательное расслоение X = T * M является векторным расслоением , его можно рассматривать как многообразие само по себе. Так как в каждой точке касательные направления M могут быть сопряжены с их дуальными ковекторами в слое, X обладает канонической однократной формой θ, называемой тавтологической однократной формой , обсуждаемой ниже. Внешняя производная θ является симплектической 2-формой , из которой может быть построена невырожденная объемная форма для X. Например, в результате X всегда является ориентируемым многообразием (касательное расслоение TX является ориентируемым векторным расслоением). На кокасательном расслоении можно определить специальный набор координат ; они называются каноническими координатами . Так как кокасательные расслоения можно рассматривать как симплектические многообразия , любую действительную функцию на кокасательном расслоении можно интерпретировать как гамильтониан ; таким образом, кокасательное расслоение можно понимать как фазовое пространство , на котором разыгрывается гамильтонова механика .
Кокасательное расслоение несет каноническую единую форму θ, также известную как симплектический потенциал , форма Пуанкаре 1 или форма Лиувилля 1. Это означает, что если мы рассматриваем T * M как многообразие само по себе, то существует каноническое сечение векторного расслоения T *( T * M ) над T * M .
Этот раздел может быть построен несколькими способами. Самый элементарный метод использует локальные координаты. Предположим, что x i — локальные координаты на базовом многообразии M . В терминах этих базовых координат существуют координаты волокон p i : однократная форма в конкретной точке T * M имеет вид p i dx i ( подразумевается соглашение Эйнштейна о суммировании ). Таким образом, само многообразие T * M несет локальные координаты ( x i , p i ), где x — координаты на базе, а p — координаты в волокне. Каноническая однократная форма задается в этих координатах как
По сути, значение канонической однократной формы в каждой фиксированной точке T*M задается как пулбэк . В частности, предположим, что π : T*M → M является проекцией расслоения. Взятие точки в T x * M равнозначно выбору точки x в M и однократной формы ω в x , а тавтологическая однократная форма θ присваивает точке ( x , ω) значение
То есть, для вектора v в касательном расслоении кокасательного расслоения применение тавтологической однократной формы θ к v в точке ( x , ω) вычисляется путем проектирования v в касательное расслоение в точке x с использованием d π : T ( T * M ) → TM и применения ω к этой проекции. Обратите внимание, что тавтологическая однократная форма не является обратным протягиванием однократной формы на базе M .
Кокасательное расслоение имеет каноническую симплектическую 2-форму на себе, как внешнюю производную тавтологической 1-формы , симплектического потенциала . Доказательство того, что эта форма действительно является симплектической, можно сделать, заметив, что симплектичность является локальным свойством: поскольку кокасательное расслоение локально тривиально, это определение нужно проверить только на . Но там одна определенная форма — это сумма , а дифференциал — каноническая симплектическая форма, сумма .
Если многообразие представляет собой множество возможных положений в динамической системе , то кокасательное расслоение можно рассматривать как множество возможных положений и импульсов . Например, это способ описания фазового пространства маятника. Состояние маятника определяется его положением (углом) и его импульсом (или, что эквивалентно, его скоростью, поскольку его масса постоянна). Все пространство состояний выглядит как цилиндр, который является кокасательным расслоением окружности. Вышеуказанная симплектическая конструкция вместе с соответствующей энергетической функцией дает полное определение физики системы. См. Гамильтонову механику и статью о геодезическом потоке для явного построения гамильтоновых уравнений движения.
