Линейная сложная структура

Математическая концепция

В математике комплексная структура на действительном векторном пространстве является автоморфизмом квадрата к отрицательному тождеству . Такая структура на позволяет определить умножение на комплексные скаляры каноническим образом, чтобы рассматривать как комплексное векторное пространство . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle -Id_{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Каждое комплексное векторное пространство может быть снабжено совместимой комплексной структурой каноническим способом; однако, в общем случае канонической комплексной структуры не существует. Комплексные структуры имеют приложения в теории представлений , а также в комплексной геометрии , где они играют существенную роль в определении почти комплексных многообразий , в отличие от комплексных многообразий . Термин «комплексная структура» часто относится к этой структуре на многообразиях; когда он относится к структуре на векторных пространствах, его можно назвать линейной комплексной структурой .

Определение и свойства

Комплексная структура на действительном векторном пространстве является действительным линейным преобразованием таким, что Здесь означает составленный с самим собой и является тождественным отображением на . То есть эффект применения дважды такой же, как умножение на . Это напоминает умножение на мнимую единицу , . Комплексная структура позволяет наделить структурой комплексного векторного пространства . Комплексное скалярное умножение может быть определено как для всех действительных чисел и всех векторов в V . Можно проверить, что это действительно дает структуру комплексного векторного пространства, которую мы обозначаем . ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle J:V\to V}$$ $${\displaystyle J^{2}=-Id_{V}.}$$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Id_{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle (x+iy){\vec {v}}=x{\vec {v}}+yJ({\vec {v}})}$$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{J}}$

Двигаясь в другом направлении, если начать с комплексного векторного пространства , то можно определить сложную структуру на базовом реальном пространстве, определив . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Jw=iw~~\forall w\in W}$

Более формально, линейная комплексная структура на действительном векторном пространстве является алгебраическим представлением комплексных чисел , рассматриваемым как ассоциативная алгебра над действительными числами . Эта алгебра реализуется конкретно как , что соответствует . Тогда представление является действительным векторным пространством , вместе с действием на (отображение ). Конкретно, это просто действие , так как это порождает алгебру, а оператор представления (образ в ) в точности . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),}$$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \rightarrow {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle J}$

Если имеет комплексную размерность , то должно иметь действительную размерность . То есть, конечномерное пространство допускает сложную структуру, только если оно четномерное. Нетрудно видеть, что каждое четномерное векторное пространство допускает сложную структуру. Можно определить пары базисных векторов с помощью и , а затем расширить по линейности на все . Если является базисом для комплексного векторного пространства , то является базисом для лежащего в основе действительного пространства . ${\displaystyle V_{J}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle e,f}$ ${\displaystyle Je=f}$ ${\displaystyle Jf=-e}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{n})}$ ${\displaystyle V_{J}}$ ${\displaystyle (v_{1},Jv_{1},\dots ,v_{n},Jv_{n})}$ ${\displaystyle V}$

Действительное линейное преобразование является комплексным линейным преобразованием соответствующего комплексного пространства тогда и только тогда, когда коммутирует с , т.е. тогда и только тогда, когда Аналогично, действительное подпространство является комплексным подпространством тогда и только тогда, когда сохраняет , т.е. тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle V_{J}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle AJ=JA.}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{J}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle JU=U.}$$

Примеры

Элементарный пример

Коллекция действительных матриц над действительным полем является 4-мерной. Любая матрица ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathbb {M} (2,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}},~~a^{2}+bc=-1}$

имеет квадрат, равный отрицательной части единичной матрицы. Сложная структура может быть образована в : с единичной матрицей , элементами , с матричным умножением образуют комплексные числа. ${\displaystyle \mathbb {M} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle xI+yJ}$

Сложныйн-мерное пространствоСн

Фундаментальным примером линейной комплексной структуры является структура на R ^{2 n ,} происходящая от комплексной структуры на C ⁿ . То есть, комплексное n -мерное пространство C ⁿ также является действительным 2 n -мерным пространством - используя то же самое сложение векторов и действительное скалярное умножение - в то время как умножение на комплексное число i является не только комплексным линейным преобразованием пространства, рассматриваемого как комплексное векторное пространство, но и действительным линейным преобразованием пространства, рассматриваемого как действительное векторное пространство. Конкретно, это происходит потому, что скалярное умножение на i коммутирует со скалярным умножением на действительные числа - и распределяется по векторному сложению. Как комплексная матрица n × n , это просто скалярная матрица с i на диагонали. Соответствующая действительная матрица 2 n × 2 n обозначается J . ${\displaystyle i(\lambda v)=(i\lambda )v=(\lambda i)v=\lambda (iv)}$

При наличии базиса для комплексного пространства этот набор вместе с этими векторами, умноженными на i, а именно, образуют базис для действительного пространства. Существует два естественных способа упорядочить этот базис, абстрактно соответствующих тому, записывается ли тензорное произведение как или вместо этого как ${\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{n}.}$

Если упорядочить базис следующим образом , то матрица для J примет блочно-диагональную форму (индексы добавлены для указания размерности): Преимущество такого упорядочения заключается в том, что оно учитывает прямые суммы комплексных векторных пространств, то есть здесь базис для такой же, как и для ${\displaystyle \left\{e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},\dots ,e_{n},ie_{n}\right\},}$ $${\displaystyle J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\&&0&-1\\&&1&0\\&&&&\ddots \\&&&&&\ddots \\&&&&&&0&-1\\&&&&&&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{2}\\&J_{2}\\&&\ddots \\&&&J_{2}\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}\oplus \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m+n}.}$

С другой стороны, если упорядочить базис как , то матрица для J будет блочно-антидиагональной: Такое упорядочение более естественно, если рассматривать комплексное пространство как прямую сумму действительных пространств, как обсуждается ниже. ${\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\}}$ $${\displaystyle J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{bmatrix}}.}$$

Данные действительного векторного пространства и матрицы J в точности совпадают с данными комплексного векторного пространства, поскольку матрица J позволяет определить комплексное умножение. На уровне алгебр Ли и групп Ли это соответствует включению gl( n , C ) в gl(2 n , R ) (алгебры Ли – матрицы, не обязательно обратимые) и GL( n , C ) в GL(2 n , R ):

gl( n , C ) < gl( 2n , R ) и GL( n , C ) < GL( 2n , R ).

Включение соответствует забыванию комплексной структуры (и сохранению только действительной), в то время как подгруппа GL( n , C ) может быть охарактеризована (задана в уравнениях) как матрицы, коммутирующие с J: Соответствующее утверждение об алгебрах Ли состоит в том, что подалгебра gl( n , C ) комплексных матриц — это те, у которых скобка Ли с J обращается в нуль, другими словами, как ядро ​​отображения скобок с J, $${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )\mid AJ=JA\right\}.}$$ ${\displaystyle [J,A]=0;}$ ${\displaystyle [J,-].}$

Обратите внимание, что определяющие уравнения для этих утверждений одинаковы, как и то же самое, что и то же самое, как если бы значение обращения в нуль скобок Ли было менее непосредственным геометрически, чем значение коммутации. ${\displaystyle AJ=JA}$ ${\displaystyle AJ-JA=0,}$ ${\displaystyle [A,J]=0,}$

Прямая сумма

Если V — любое действительное векторное пространство, то существует каноническая комплексная структура на прямой сумме V ⊕ V , заданная как Блочно -матричная форма J имеет вид где — тождественное отображение на V . Это соответствует комплексной структуре на тензорном произведении $${\displaystyle J(v,w)=(-w,v).}$$ $${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle I_{V}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }V.}$

Совместимость с другими структурами

Если B — билинейная форма на V , то мы говорим, что J сохраняет B, если для всех u , v ∈ V. Эквивалентная характеристика состоит в том, что J является кососопряжённым относительно B : $${\displaystyle B(Ju,Jv)=B(u,v)}$$ $${\displaystyle B(Ju,v)=-B(u,Jv).}$$

Если g — скалярное произведение на V , то J сохраняет g тогда и только тогда, когда J — ортогональное преобразование . Аналогично, J сохраняет невырожденную кососимметричную форму ω тогда и только тогда , когда J — симплектическое преобразование (то есть, если ). Для симплектических форм ω интересным условием совместимости между J и ω является то, что выполняется для всех ненулевых u в V . Если это условие выполняется, то мы говорим, что J приручает ω (синонимично: что ω приручено относительно J ; что J приручено относительно ω ; или что пара приручена). ${\textstyle \omega (Ju,Jv)=\omega (u,v)}$ $${\displaystyle \omega (u,Ju)>0}$$ ${\textstyle (\omega ,J)}$

Если заданы симплектическая форма ω и линейная комплексная структура J на ​​V , можно определить ассоциированную билинейную форму g _J на ​​V следующим образом: Поскольку симплектическая форма невырождена, ассоциированная билинейная форма также невырождена. Ассоциированная форма сохраняется J тогда и только тогда, когда симплектическая форма сохраняется. Более того, если симплектическая форма сохраняется J , то ассоциированная форма симметрична. Если, кроме того, ω укрощается J , то ассоциированная форма положительно определена . Таким образом, в этом случае V является внутренним пространством произведения относительно g _J . $${\displaystyle g_{J}(u,v)=\omega (u,Jv).}$$

Если симплектическая форма ω сохраняется (но не обязательно укрощается) J , то g _J является действительной частью эрмитовой формы (по соглашению антилинейной по первому аргументу), определяемой как ${\textstyle h_{J}\colon V_{J}\times V_{J}\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle h_{J}(u,v)=g_{J}(u,v)+ig_{J}(Ju,v)=\omega (u,Jv)+i\omega (u,v).}$$

Отношение к комплексификациям

Для любого действительного векторного пространства V мы можем определить его комплексификацию путем расширения скаляров :

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .}$

Это комплексное векторное пространство, комплексная размерность которого равна действительной размерности V. Оно имеет каноническое комплексное сопряжение, определяемое формулой

${\displaystyle {\overline {v\otimes z}}=v\otimes {\bar {z}}}$

Если J является комплексной структурой на V , мы можем расширить J по линейности до V ^C :

${\displaystyle J(v\otimes z)=J(v)\otimes z.}$

Поскольку C алгебраически замкнут , J гарантированно имеет собственные значения , которые удовлетворяют λ ² = −1, а именно λ = ± i . Таким образом, мы можем записать

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V^{+}\oplus V^{-}}$

где V ⁺ и V ⁻ являются собственными пространствами + i и − i соответственно. Комплексное сопряжение меняет местами V ⁺ и V ⁻ . Отображения проекций на собственные пространства V ^± задаются как

${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\pm }={1 \over 2}(1\mp iJ).}$

Так что

${\displaystyle V^{\pm }=\{v\otimes 1\mp Jv\otimes i:v\in V\}.}$

Между V _J и V ⁺ существует естественный комплексный линейный изоморфизм , поэтому эти векторные пространства можно считать одинаковыми, в то время как V ⁻ можно рассматривать как комплексно сопряженное пространство V _J .

Обратите внимание, что если V _J имеет комплексную размерность n, то и V ^+, и V ⁻ имеют комплексную размерность n, а V ^C имеет комплексную размерность 2 n .

Абстрактно, если начать с комплексного векторного пространства W и взять комплексификацию лежащего в его основе вещественного пространства, то получится пространство, изоморфное прямой сумме W и его сопряженного:

${\displaystyle W^{\mathbb {C} }\cong W\oplus {\overline {W}}.}$

Расширение на связанные векторные пространства

Пусть V — действительное векторное пространство с комплексной структурой J. Двойственное пространство V * имеет естественную комплексную структуру J *, заданную двойственным (или транспонированным ) пространством J. Таким образом, комплексификация двойственного пространства ( V *) ^C имеет естественное разложение

${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=(V^{*})^{+}\oplus (V^{*})^{-}}$

в собственные пространства ± i оператора J *. При естественном отождествлении ( V *) ^C с ( V ^C )* можно охарактеризовать ( V *) ⁺ как те комплексные линейные функционалы, которые обращаются в нуль на V ⁻ . Аналогично ( V *) ⁻ состоит из тех комплексных линейных функционалов, которые обращаются в нуль на V ⁺ .

(Комплексная) тензорная , симметричная и внешняя алгебры над V ^C также допускают разложения. Внешняя алгебра, возможно, является наиболее важным применением этого разложения. В общем случае, если векторное пространство U допускает разложение U = S ⊕ T, то внешние степени U можно разложить следующим образом:

${\displaystyle \Lambda ^{r}U=\bigoplus _{p+q=r}(\Lambda ^{p}S)\otimes (\Lambda ^{q}T).}$

Таким образом, сложная структура J на ​​V индуцирует разложение

${\displaystyle \Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Lambda ^{p,q}\,V_{J}}$

где

${\displaystyle \Lambda ^{p,q}\,V_{J}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,(\Lambda ^{p}\,V^{+})\otimes (\Lambda ^{q}\,V^{-}).}$

Все внешние степени берутся над комплексными числами. Так что если V _J имеет комплексную размерность n (действительную размерность 2 n ), то

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }={2n \choose r}\qquad \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{p,q}\,V_{J}={n \choose p}{n \choose q}.}$

Размеры складываются правильно благодаря тождеству Вандермонда .

Пространство ( p , q )-форм Λ ^{p , q} V _J * является пространством (комплексных) полилинейных форм на V ^C , которые обращаются в нуль на однородных элементах, если только p не из V ⁺ и q не из V ⁻ . Также можно рассматривать Λ ^{p , q} V _J * как пространство действительных полилинейных отображений из V _J в C , которые являются комплексно-линейными в терминах p и сопряженно-линейными в терминах q .

См. комплексную дифференциальную форму и почти комплексное многообразие для приложений этих идей.

Смотрите также

• Почти комплексное многообразие
• Комплексное многообразие
• Комплексная дифференциальная форма
• Комплексно-сопряженное векторное пространство
• Эрмитова структура
• Реальная структура

Ссылки

• Кобаяси С. и Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии , John Wiley & Sons, 1969. ISBN  0-470-49648-7 . (комплексные структуры обсуждаются в томе II, главе IX, разделе 1).
• Будинич, П. и Траутман, А. Спинорная шахматная доска , Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (комплексные структуры обсуждаются в разделе 3.1). 
• Голдберг СИ, Кривизна и гомология , Dover Publications, 1982. ISBN 0-486-64314-X . (комплексные структуры и почти комплексные многообразия обсуждаются в разделе 5.2).