Ортогональное дополнение

Концепция линейной алгебры

В математических областях линейной алгебры и функционального анализа ортогональное дополнение подпространства векторного пространства, снабженного билинейной формой, — это множество всех векторов в , которые ортогональны каждому вектору в . Неформально его называют perp , сокращение от перпендикулярное дополнение . Это подпространство . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W^{\perp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

Пример

Пусть будет векторным пространством, снабженным обычным скалярным произведением (тем самым делая его пространством внутреннего произведения ), и пусть с тогда его ортогональное дополнение также может быть определено как ${\displaystyle V=(\mathbb {R} ^{5},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ $${\displaystyle W=\{\mathbf {u} \in V:\mathbf {A} x=\mathbf {u} ,\ x\in \mathbb {R} ^{2}\},}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&6\\3&9\\5&3\\\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {u} \in W\}}$$ $${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\mathbf {\tilde {A}} y=\mathbf {v} ,\ y\in \mathbb {R} ^{3}\},}$$ $${\displaystyle \mathbf {\tilde {A}} ={\begin{pmatrix}-2&-3&-5\\-6&-9&-3\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Тот факт, что каждый вектор-столбец в ортогонален каждому вектору-столбцу в , можно проверить прямым вычислением. Тот факт, что промежутки этих векторов ортогональны, следует из билинейности скалярного произведения. Наконец, тот факт, что эти пространства являются ортогональными дополнениями, следует из соотношений размерностей, приведенных ниже. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\tilde {A}} }$

Общие билинейные формы

Пусть будет векторным пространством над полем, снабженным билинейной формой Мы определяем быть левоортогональным к , и быть правоортогональным к , когда Для подмножества определим левоортогональное дополнение как ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle W^{\perp }}$ $${\displaystyle W^{\perp }=\left\{\mathbf {x} \in V:B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\ \ \forall \ \mathbf {y} \in W\right\}.}$$

Существует соответствующее определение право-ортогонального дополнения. Для рефлексивной билинейной формы , где , левое и правое дополнения совпадают. Это будет иметь место, если является симметричной или знакопеременной формой . ${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\implies B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0\ \ \forall \ \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle B}$

Определение распространяется на билинейную форму свободного модуля над коммутативным кольцом и на полуторалинейную форму, расширенную так, чтобы она включала любой свободный модуль над коммутативным кольцом с сопряжением . ^[1]

Характеристики

• Ортогональное дополнение — это подпространство ; ${\displaystyle V}$
• Если то ; ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle X^{\perp }\supseteq Y^{\perp }}$
• Радикал является подпространством каждого ортогонального дополнения; ${\displaystyle V^{\perp }}$ ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle W\subseteq (W^{\perp })^{\perp }}$;
• Если невырождено и конечномерно, то . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)+\dim(W^{\perp })=\dim(V)}$
• Если — подпространства конечномерного пространства и тогда . ${\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{r}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{*}=L_{1}\cap \cdots \cap L_{r},}$ ${\displaystyle L_{*}^{\perp }=L_{1}^{\perp }+\cdots +L_{r}^{\perp }}$

Внутренние пространства продукта

В этом разделе рассматриваются ортогональные дополнения в пространстве внутреннего произведения . ^[2] ${\displaystyle H}$

Два вектора и называются ортогональными , если , что происходит тогда и только тогда, когда скаляры . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +s\mathbf {y} \|\ \forall }$ ${\displaystyle s}$

Если это какое-либо подмножество пространства внутреннего произведения, то его ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ортогональное дополнение в ${\displaystyle H}$— это векторное подпространство , которое всегда является замкнутым подмножеством (следовательно, замкнутым векторным подпространством)^{[3][доказательство 1]}, которое удовлетворяет: $${\displaystyle {\begin{aligned}C^{\perp }:&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {x} ,\mathbf {c} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\\&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {c} ,\mathbf {x} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle H}$

• ${\displaystyle C^{\bot }=\left(\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\right)^{\bot }}$;
• ${\displaystyle C^{\bot }\cap \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}}$;
• ${\displaystyle C^{\bot }\cap \left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}}$;
• ${\displaystyle C\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }}$;
• ${\displaystyle \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }}$.

Если — векторное подпространство пространства скалярного произведения , то Если — замкнутое векторное подпространство гильбертова пространства , то ^[3] где называется ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle C^{\bot }=\left\{\mathbf {x} \in H:\|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +\mathbf {c} \|\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\right\}.}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }\qquad {\text{ and }}\qquad \left(C^{\bot }\right)^{\bot }=C}$$ ${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }}$ортогональное разложение наии это указывает, чтоявляетсядополняемымподпространствомсдополнением ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\bot }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C^{\bot }.}$

Характеристики

Ортогональное дополнение всегда замкнуто в метрической топологии. В конечномерных пространствах это всего лишь пример того, что все подпространства векторного пространства замкнуты. В бесконечномерных гильбертовых пространствах некоторые подпространства не замкнуты, но все ортогональные дополнения замкнуты. Если — векторное подпространство пространства скалярного произведения , то ортогональное дополнение ортогонального дополнения является замыканием то есть, ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W,}$ $${\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }={\overline {W}}.}$$

Вот еще несколько полезных свойств, которые всегда выполняются. Пусть — гильбертово пространство, а и — линейные подпространства. Тогда: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• ${\displaystyle X^{\bot }={\overline {X}}^{\bot }}$;
• если то ; ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle X^{\bot }\subseteq Y^{\bot }}$
• ${\displaystyle X\cap X^{\bot }=\{0\}}$;
• ${\displaystyle X\subseteq (X^{\bot })^{\bot }}$;
• если — замкнутое линейное подпространство, то ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X^{\bot })^{\bot }=X}$
• если — замкнутое линейное подпространство, то (внутренняя) прямая сумма . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=X\oplus X^{\bot },}$

Ортогональное дополнение обобщается до аннулятора и дает связь Галуа на подмножествах пространства скалярного произведения с соответствующим оператором замыкания топологического замыкания промежутка.

Конечные размеры

Для конечномерного пространства скалярного произведения размерности ортогональное дополнение -мерного подпространства является -мерным подпространством, а двойное ортогональное дополнение является исходным подпространством: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n-k)}$ $${\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }=W.}$$

Если , где , , и относятся к пространству строк , пространству столбцов и пустому пространству ( соответственно), то ^[4] ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {M} _{mn}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \left({\mathcal {R}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} )\qquad {\text{ and }}\qquad \left({\mathcal {C}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }).}$$

Банаховы пространства

Существует естественный аналог этого понятия в общих банаховых пространствах . В этом случае определяется ортогональное дополнение к как подпространство двойственного к , определяемое аналогично аннулятору ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\right\}.}$$

Это всегда замкнутое подпространство . Существует также аналог свойства двойного дополнения. теперь является подпространством (которое не идентично ). Однако рефлексивные пространства имеют естественный изоморфизм между и . В этом случае мы имеем ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle W^{\perp \perp }}$ ${\displaystyle V^{**}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{**}}$ $${\displaystyle i{\overline {W}}=W^{\perp \perp }.}$$

Это довольно простое следствие теоремы Хана–Банаха .

Приложения

В специальной теории относительности ортогональное дополнение используется для определения одновременной гиперплоскости в точке мировой линии . Билинейная форма, используемая в пространстве Минковского, определяет псевдоевклидово пространство событий. ^[5] Начало координат и все события на световом конусе являются самоортогональными. Когда временное событие и пространственное событие оцениваются как ноль в билинейной форме, то они являются гиперболо-ортогональными . Эта терминология происходит от использования сопряженных гипербол в псевдоевклидовой плоскости: сопряженные диаметры этих гипербол являются гиперболо-ортогональными. ${\displaystyle \eta }$

Смотрите также

• Дополненная решетка
• Дополненное подпространство
• Теорема проекции Гильберта  – О замкнутых выпуклых подмножествах в гильбертовом пространстве
• Ортогональная проекция  – идемпотентное линейное преобразование из векторного пространства в себяPages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Если то который замкнут в так предположим Пусть где есть базовое скалярное поле и определяем с помощью которое непрерывно, потому что это верно для каждой из его координат Тогда замкнут в потому что замкнут в и непрерывно. Если линейно в своей первой (соответственно, своей второй) координате то является линейным отображением (соответственно антилинейным отображением ); в любом случае, его ядро ​​является векторным подпространством QED ${\displaystyle C=\varnothing }$ ${\displaystyle C^{\bot }=H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C\neq \varnothing .}$ ${\textstyle P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L:H\to P}$ ${\displaystyle L(h):=\left(\langle h,c\rangle \right)_{c\in C},}$ ${\displaystyle h\mapsto \langle h,c\rangle .}$ ${\displaystyle C^{\bot }=L^{-1}(0)=L^{-1}\left(\{0\}\right)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L:H\to P}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle L:H\to P}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} L=L^{-1}(0)=C^{\bot }}$ ${\displaystyle H.}$

Ссылки

1. Адкинс и Вайнтрауб (1992) стр.359
2. Адкинс и Вайнтрауб (1992) стр.272
3. Рудин 1991, стр. 306–312.
4. "Ортогональное дополнение"
5. GD Birkhoff (1923) Относительность и современная физика , страницы 62,63, Harvard University Press

Библиография

• Эдкинс, Уильям А.; Вайнтрауб, Стивен Х. (1992), Алгебра: подход с помощью теории модулей , Graduate Texts in Mathematics , т. 136, Springer-Verlag , ISBN 3-540-97839-9, ЗБЛ  0768.00003
• Халмош, Пол Р. (1974), Конечномерные векторные пространства , Бакалаврские тексты по математике , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3, ЗБЛ  0288.15002
• Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973), Симметричные билинейные формы , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , vol. 73, Шпрингер-Верлаг , ISBN 3-540-06009-X, ЗБЛ  0292.10016
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.

Внешние ссылки

• Ортогональное дополнение; Минута 9.00 в видео на Youtube
• Обучающее видео, описывающее ортогональные дополнения (Академия Хана)