Симметричная билинейная форма

В математике симметричная билинейная форма на векторном пространстве — это билинейное отображение двух копий векторного пространства в поле скаляров , при этом порядок двух векторов не влияет на значение отображения. Другими словами, это билинейная функция , которая отображает каждую пару элементов векторного пространства в базовое поле, при этом для каждого и в . Их также кратко называют просто симметричными формами, когда подразумевается «билинейный». ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B(u,v)=B(v,u)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$

Симметричные билинейные формы на конечномерных векторных пространствах точно соответствуют симметричным матрицам , заданным базисом для V. Среди билинейных форм симметричные формы важны, поскольку для них векторное пространство допускает особенно простой вид базиса, известный как ортогональный базис (по крайней мере, когда характеристика поля не равна 2).

При наличии симметричной билинейной формы B функция q ( x ) = B ( x , x ) является ассоциированной квадратичной формой на векторном пространстве. Более того, если характеристика поля не равна 2, B является единственной симметричной билинейной формой, ассоциированной с q .

Формальное определение

Пусть V — векторное пространство размерности n над полем K. Отображение является симметричной билинейной формой на пространстве, если : ${\displaystyle B:V\times V\rightarrow K}$

• ${\displaystyle B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v\in V}$
• ${\displaystyle B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w\in V}$
• ${\displaystyle B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w\in V}$

Последние две аксиомы устанавливают линейность только в первом аргументе, но первая аксиома (симметрия) немедленно подразумевает линейность и во втором аргументе.

Примеры

Пусть V = R ⁿ , n- мерное вещественное векторное пространство. Тогда стандартное скалярное произведение является симметричной билинейной формой, B ( x , y ) = x ⋅ y . Матрица, соответствующая этой билинейной форме (см. ниже) на стандартной основе , является единичной матрицей.

Пусть V — любое векторное пространство (включая, возможно, бесконечномерное), и предположим, что T — линейная функция от V до поля. Тогда функция, определяемая формулой B ( x , y ) = T ( x ) T ( y ), является симметричной билинейной формой.

Пусть V — векторное пространство непрерывных действительных функций одной переменной. Для можно определить . По свойствам определенных интегралов это определяет симметричную билинейную форму на V . Это пример симметричной билинейной формы, которая не связана ни с какой симметричной матрицей (поскольку векторное пространство бесконечномерно). ${\displaystyle f,g\in V}$ ${\displaystyle \textstyle B(f,g)=\int _{0}^{1}f(t)g(t)dt}$

Матричное представление

Пусть будет базисом для V . Определим матрицу A размера n × n как . Матрица A является симметричной матрицей в точности из-за симметрии билинейной формы. Если мы позволим матрице x размера n × 1 представлять вектор v относительно этого базиса, и аналогично позволим матрице y размера n × 1 представлять вектор w , то задается как : ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle A_{ij}=B(e_{i},e_{j})}$ ${\displaystyle B(v,w)}$

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.}$

Предположим, что C' — это другой базис для V , с: с S — обратимой матрицей n × n . Теперь новое матричное представление для симметричной билинейной формы задается как ${\displaystyle {\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S}$

${\displaystyle A'=S^{\mathsf {T}}AS.}$

Ортогональность и сингулярность

Два вектора v и w определяются как ортогональные относительно билинейной формы B, если B ( v , w ) = 0 , что для симметричной билинейной формы эквивалентно B ( w , v ) = 0 .

Радикал билинейной формы B — это множество векторов, ортогональных каждому вектору из V . То, что это подпространство V , следует из линейности B по каждому из его аргументов. При работе с матричным представлением A относительно определенного базиса v , представленное x , находится в радикале тогда и только тогда, когда

${\displaystyle Ax=0\Longleftrightarrow x^{\mathsf {T}}A=0.}$

Матрица A является сингулярной тогда и только тогда, когда радикал нетривиален.

Если W является подмножеством V , то его ортогональное дополнение W ^⊥ является множеством всех векторов в V , которые ортогональны каждому вектору в W ; это подпространство V . Когда B невырождено, радикал B тривиален и размерность W ^⊥ равна dim( W ^⊥ ) = dim( V ) − dim( W ) .

Ортогональный базис

Базис ортогонален относительно B тогда и только тогда, когда: ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.}$

Если характеристика поля не равна двум, V всегда имеет ортогональный базис. Это можно доказать по индукции .

Базис C является ортогональным тогда и только тогда, когда матричное представление A является диагональной матрицей .

Подпись и закон инерции Сильвестра

В более общей форме закон инерции Сильвестра гласит, что при работе над упорядоченным полем числа диагональных элементов в диагонализированной форме матрицы, которые являются положительными, отрицательными и нулевыми соответственно, не зависят от выбранного ортогонального базиса. Эти три числа образуют сигнатуру билинейной формы.

Реальный случай

При работе в пространстве над вещественными числами можно пойти немного дальше. Пусть будет ортогональным базисом. ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

Мы определяем новую основу ${\displaystyle C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}}$

${\displaystyle e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})=0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})>0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {-B(e_{i},e_{i})}}}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})<0\end{cases}}}$

Теперь новое матричное представление A будет диагональной матрицей, на диагонали которой будут только 0, 1 и −1. Нули появятся тогда и только тогда, когда радикал нетривиален.

Сложный случай

При работе в пространстве над комплексными числами можно пойти и дальше, и это даже проще. Пусть будет ортогональным базисом. ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

Мы определяем новую основу  : ${\displaystyle C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}}$

${\displaystyle e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}\;B(e_{i},e_{i})=0\\e_{i}/{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}&{\text{if }}\;B(e_{i},e_{i})\neq 0\\\end{cases}}}$

Теперь новое матричное представление A будет диагональной матрицей, на диагонали которой будут только 0 и 1. Нули появятся тогда и только тогда, когда радикал нетривиален.

Ортогональные полярности

Пусть B — симметричная билинейная форма с тривиальным радикалом на пространстве V над полем K с характеристикой , отличной от 2. Теперь можно определить отображение из D( V ), множества всех подпространств V , в себя:

${\displaystyle \alpha :D(V)\rightarrow D(V):W\mapsto W^{\perp }.}$

Это отображение является ортогональной полярностью на проективном пространстве PG( W ). Наоборот, можно доказать, что все ортогональные полярности индуцируются таким образом, и что две симметричные билинейные формы с тривиальным радикалом индуцируют одну и ту же полярность тогда и только тогда, когда они равны с точностью до скалярного умножения.

Ссылки

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992). Алгебра: подход с помощью теории модулей . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 136. Springer-Verlag . ISBN 3-540-97839-9. Збл  0768.00003.
• Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Том. 73. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3-540-06009-X. Збл  0292.10016.
• Вайсштейн, Эрик В. "Симметричная билинейная форма". MathWorld .