Оператор импульса

Оператор в квантовой механике

В квантовой механике оператор импульса — это оператор, связанный с линейным импульсом . Оператор импульса в позиционном представлении является примером дифференциального оператора . Для случая одной частицы в одном пространственном измерении определение таково: где ħ — приведенная постоянная Планка , i — мнимая единица , x — пространственная координата, а частная производная (обозначаемая как ) используется вместо полной производной ( d / dx ), поскольку волновая функция также является функцией времени. «Шляпка» указывает на оператор. «Применение» оператора к дифференцируемой волновой функции выглядит следующим образом: $${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$$ ${\displaystyle \partial /\partial x}$ $${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$

В базисе гильбертова пространства, состоящего из собственных состояний импульса , выраженных в представлении импульса, действие оператора — это просто умножение на p , т.е. это оператор умножения , точно так же, как оператор положения является оператором умножения в представлении положения. Обратите внимание, что приведенное выше определение — это канонический импульс , который не является калибровочно-инвариантным и не является измеримой физической величиной для заряженных частиц в электромагнитном поле . В этом случае канонический импульс не равен кинетическому импульсу .

В то время, когда квантовая механика была разработана в 1920-х годах, оператор импульса был найден многими физиками-теоретиками, включая Нильса Бора , Арнольда Зоммерфельда , Эрвина Шредингера и Юджина Вигнера . Его существование и форма иногда принимаются как один из основополагающих постулатов квантовой механики.

Происхождение из плоских волн де Бройля

Операторы импульса и энергии можно построить следующим образом. ^[1]

Одно измерение

Начиная с одного измерения, используя решение плоской волны для уравнения Шредингера для одной свободной частицы, где p интерпретируется как импульс в направлении x , а E — энергия частицы. Частная производная первого порядка по пространству равна $${\displaystyle \psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {ip}{\hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}={\frac {ip}{\hbar }}\psi .}$$

Это предполагает эквивалентность операторов, так что импульс частицы и значение, которое измеряется, когда частица находится в состоянии плоской волны, являются (обобщенным) собственным значением вышеуказанного оператора. ^[2] $${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$$

Поскольку частная производная является линейным оператором , оператор импульса также является линейным, и поскольку любая волновая функция может быть выражена как суперпозиция других состояний, когда этот оператор импульса действует на всю суперпозицию волны, он дает собственные значения импульса для каждого компонента плоской волны. Эти новые компоненты затем суперпозируются, образуя новое состояние, в общем случае не кратное старой волновой функции.

Три измерения

Вывод в трех измерениях тот же, за исключением того, что вместо одной частной производной используется оператор градиента del . В трех измерениях решение уравнения Шредингера в виде плоской волны имеет вид: и градиент равен где e _x , e _y , и e _z — единичные векторы для трех пространственных измерений, следовательно $${\displaystyle \psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \psi \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$

Этот оператор импульса находится в позиционном пространстве, поскольку частные производные были взяты по пространственным переменным.

Определение (пространство положения)

Для одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор импульса можно записать в базисе положения как: ^[3] где ∇ — оператор градиента , ħ — приведенная постоянная Планка , а i — мнимая единица . $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$

В одном пространственном измерении это становится ^[4] $${\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.}$$

Это выражение для канонического импульса . Для заряженной частицы q в электромагнитном поле во время калибровочного преобразования волновая функция позиционного пространства претерпевает локальное групповое преобразование U(1) , ^[5] и изменит свое значение. Следовательно, канонический импульс не является калибровочно-инвариантным и, следовательно, не является измеримой физической величиной. ${\textstyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

Кинетический импульс , калибровочно-инвариантная физическая величина, может быть выражен через канонический импульс, скалярный потенциал  φ и векторный потенциал  A : ^[6] $${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$$

Выражение выше называется минимальной связью . Для электрически нейтральных частиц канонический импульс равен кинетическому импульсу.

Характеристики

Гермитичность

Оператор импульса можно описать как симметричный (т.е. эрмитов), неограниченный оператор , действующий на плотное подпространство пространства квантовых состояний . Если оператор действует на ( нормализуемое ) квантовое состояние , то оператор является самосопряженным . В физике термин эрмитов часто относится как к симметричным, так и к самосопряженным операторам. ^{[7] [8]}

(В некоторых искусственных ситуациях, таких как квантовые состояния на полубесконечном интервале [0, ∞) , нет способа сделать оператор импульса эрмитовым. ^[9] Это тесно связано с тем фактом, что полубесконечный интервал не может иметь трансляционную симметрию — более конкретно, он не имеет унитарных трансляционных операторов . См. ниже.)

Каноническое коммутационное соотношение

Применяя коммутатор к произвольному состоянию в базисе положения или импульса, можно легко показать, что: где — единичный оператор . ^[10] Принцип неопределенности Гейзенберга определяет пределы того, насколько точно импульс и положение отдельной наблюдаемой системы могут быть известны одновременно. В квантовой механике положение и импульс являются сопряженными переменными . $${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar \mathbb {I} ,}$$ ${\displaystyle \mathbb {I} }$

преобразование Фурье

В следующем обсуждении используется обозначение скобок . Можно написать так, что тильда представляет преобразование Фурье при переходе из координатного пространства в импульсное пространство. Тогда это означает , что импульс, действующий в координатном пространстве, соответствует пространственной частоте, $${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle =\int \!\!dp~\langle x|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \!\!dp~{e^{ixp/\hbar }{\tilde {\psi }}(p) \over {\sqrt {2\pi \hbar }}},}$$ $${\displaystyle {\hat {p}}=\int \!\!dp~|p\rangle p\langle p|=-i\hbar \int \!\!dx~|x\rangle {\frac {d}{dx}}\langle x|~,}$$ $${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi (x).}$$

Аналогичный результат применим к оператору положения в базисе импульса, что приводит к дальнейшим полезным соотношениям, где δ обозначает дельта-функцию Дирака . $${\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\psi (p),}$$ $${\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\delta (p-p'),}$$ $${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\delta (x-x'),}$$

Вывод из бесконечно малых перемещений

Оператор перевода обозначается T ( ε ) , где ε представляет собой длину перевода. Он удовлетворяет следующему тождеству: что становится $${\displaystyle T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle }$$ $${\displaystyle \int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )}$$

Предполагая, что функция ψ является аналитической (т.е. дифференцируемой в некоторой области комплексной плоскости ), можно разложить ее в ряд Тейлора относительно x : так, для бесконечно малых значений ε : $${\displaystyle \psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}}$$ $${\displaystyle T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}$$

Как известно из классической механики , импульс является генератором трансляции , поэтому соотношение между операторами трансляции и импульса следующее: ^{[11] [ необходимо дальнейшее объяснение ]} таким образом $${\displaystyle T(\varepsilon )=1-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {p}}}$$ $${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}.}$$

4-оператор импульса

Вставка 3d-оператора импульса выше и оператора энергии в 4-импульс (как 1-форма с (+ − − −) метрической сигнатурой ): получает оператор 4-импульса : где ∂ _μ — 4-градиент , а − iħ становится + iħ, предшествующим оператору 3-импульса. Этот оператор встречается в релятивистской квантовой теории поля , такой как уравнение Дирака и другие релятивистские волновые уравнения , поскольку энергия и импульс объединяются в вектор 4-импульса выше, операторы импульса и энергии соответствуют производным пространства и времени, и они должны быть частными производными первого порядка для лоренцевой ковариации . $${\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {p} \right)}$$ $${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }}$$   

Оператор Дирака и косая черта Дирака 4-импульса определяются путем свертки с гамма-матрицами : $${\displaystyle \gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}}=i\hbar \partial \!\!\!/}$$

Если бы сигнатура была (− + + +) , оператор был бы . $${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\hat {E}},\mathbf {\hat {p}} \right)=-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }}$$

Смотрите также

• Математическое описание электромагнитного поля
• Оператор трансляции (квантовая механика)
• Релятивистские волновые уравнения
• Псевдовектор Паули–Любанского

Ссылки

1. Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0
2. де ла Мадрид Модино, Р. (2001). Квантовая механика на языке оснащенного гильбертова пространства (кандидатская диссертация). Университет Вальядолида. п. 106.
3. Квантовая механика Демистифицирована , Д. Макмахон, McGraw Hill (США), 2006, ISBN 0-07-145546-9 
4. В представлении координат положения, то есть, ${\textstyle -i\hbar \int dx\left|x\right\rangle \partial _{x}\langle x|.}$
5. Зинн-Джастин, Жан; Гуида, Риккардо (4 декабря 2008 г.). «Калибровочная инвариантность». Схоларпедия . 3 (12): 8287. Бибкод : 2008SchpJ...3.8287Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN  1941-6016.
6. Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
7. См. Lecture notes 1 Роберта Литтлджона, архив 2012-06-17 на Wayback Machine, для конкретного математического обсуждения и доказательства для случая одиночной, незаряженной, спин-нулевой частицы. См. Lecture notes 4 Роберта Литтлджона для общего случая.
8. Холл, BC (2013). Квантовая теория для математиков . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 267. Springer. p. 64. Bibcode :2013qtm..book.....H. ISBN 978-1461471158.
9. Бонно, Г., Фаро, Дж., Валент, Г. (2001). «Самосопряженные расширения операторов и преподавание квантовой механики». American Journal of Physics . 69 (3): 322–331. arXiv : quant-ph/0103153 . Bibcode : 2001AmJPh..69..322B. doi : 10.1119/1.1328351. S2CID  16949018.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. Борн, М.; Джордан, П. (1925). «Цур Квантенмеханик». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 34 (1): 858–888. Бибкод : 1925ZPhy...34..858B. дои : 10.1007/BF01328531. ISSN  1434-6001.
11. Сакурай, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47322-4.