Прямая сумма модулей

Операция в абстрактной алгебре

В абстрактной алгебре прямая сумма — это конструкция, которая объединяет несколько модулей в новый, больший модуль. Прямая сумма модулей — это наименьший модуль, который содержит заданные модули как подмодули без «ненужных» ограничений, что делает его примером копроизведения . Сравните с прямым произведением , которое является двойственным понятием.

Наиболее известные примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств (модулей над полем ) и абелевых групп (модулей над кольцом Z целых чисел ). Конструкция также может быть расширена для охвата банаховых пространств и гильбертовых пространств .

О способе записи модуля в виде прямой суммы подмодулей читайте в статье «Разложение модуля» .

Конструкция для векторных пространств и абелевых групп

Сначала мы приводим конструкцию в этих двух случаях, предполагая, что у нас есть только два объекта. Затем мы обобщаем на произвольное семейство произвольных модулей. Ключевые элементы общей конструкции более четко определяются путем углубленного рассмотрения этих двух случаев.

Конструкция для двух векторных пространств

Предположим, что V и W — векторные пространства над полем K. Декартову произведению V × W можно придать структуру векторного пространства над K (Halmos 1974, §18), определив операции покомпонентно:

• ( v1 , w1 ) _{+ (} v2 , w2 ) = ( v1 _{+ v2} , w1 + w2 )_​​​​
• α ( v , ш ) знак равно ( α v , α ш )

для v , v1 , v2 ∈ V , w , w1 , w2 ∈ W и α ∈ K._​​​​​

Полученное векторное пространство называется прямой суммой V и W и обычно обозначается знаком плюс внутри круга: $${\displaystyle V\oplus W}$$

Элементы упорядоченной суммы принято записывать не в виде упорядоченных пар ( v , w ), а в виде суммы v + w .

Подпространство V × {0} пространства V ⊕ W изоморфно V и часто отождествляется с V ; аналогично для {0} × W и W . (См. внутреннюю прямую сумму ниже.) При такой идентификации каждый элемент пространства V ⊕ W может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента пространства V и элемента пространства W . Размерность пространства V ⊕ W равна сумме размерностей пространства V и пространства W . Одним из элементарных применений является восстановление конечного векторного пространства из любого подпространства W и его ортогонального дополнения: $${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }}$$

Эту конструкцию легко обобщать на любое конечное число векторных пространств.

Построение для двух абелевых групп

Для абелевых групп G и H, которые записаны аддитивно, прямое произведение G и H также называется прямой суммой (Mac Lane & Birkhoff 1999, §V.6). Таким образом, декартово произведение G × H снабжено структурой абелевой группы путем определения операций покомпонентно:

( г1 , ч1 ) ₊ ( г2 , ч2 ) ₌ ( г1 + _г2 , ч1 ₊ ч2 )_​​​​

для g ₁ , g ₂ в G и h ₁ , h ₂ в H .

Целые кратные определяются аналогично покомпонентно:

н ( г , ч ) = ( нг , н ч )

для g в G , h в H и n — целое число . Это соответствует расширению скалярного произведения векторных пространств до прямой суммы выше.

Полученная абелева группа называется прямой суммой G и H и обычно обозначается знаком плюс внутри кружка: $${\displaystyle G\oplus H}$$

Элементы упорядоченной суммы принято записывать не в виде упорядоченных пар ( g , h ), а в виде суммы g + h .

Подгруппа G × {0} группы G ⊕ H изоморфна G и часто отождествляется с G ; аналогично для {0} × H и H . (См. внутреннюю прямую сумму ниже.) При таком отождествлении верно, что каждый элемент группы G ⊕ H может быть записан одним и только одним способом как сумма элемента группы G и элемента группы H . Ранг группы G ⊕ H равен сумме рангов групп G и H .

Эта конструкция легко обобщается на любое конечное число абелевых групп.

Конструкция для произвольного семейства модулей

Следует отметить явное сходство между определениями прямой суммы двух векторных пространств и двух абелевых групп. Фактически, каждое из них является частным случаем построения прямой суммы двух модулей . Кроме того, изменив определение, можно вместить прямую сумму бесконечного семейства модулей. Точное определение таково (Bourbaki 1989, §II.1.6).

Пусть R — кольцо, а { M _i  :  i  ∈  I } — семейство левых R -модулей, индексированных множеством I . Тогда прямая сумма { M _i } определяется как множество всех последовательностей , где и для коконечного числа индексов i . ( Прямое произведение аналогично, но индексы не обязательно должны коконечно обращаться в нуль.) ${\displaystyle (\alpha _{i})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$

Его также можно определить как функции α из I в несвязное объединение модулей M _{i ,} такие, что α( i ) ∈  M _i для всех i ∈ I и α( i ) = 0 для конечного числа индексов i . Эти функции можно эквивалентно рассматривать как конечно носимые сечения расслоения над множеством индексов I , причем волокно над является . ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Этот набор наследует модульную структуру через покомпонентное сложение и скалярное умножение. Явно, две такие последовательности (или функции) α и β можно сложить, записав для всех i (обратите внимание, что это снова ноль для всех, кроме конечного числа индексов), и такую ​​функцию можно умножить на элемент r из R, определив для всех i . Таким образом, прямая сумма становится левым R -модулем, и она обозначается ${\displaystyle (\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}}$ ${\displaystyle r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}}$ $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}.}$$

Принято записывать последовательность в виде суммы . Иногда используется штрихованное суммирование, чтобы указать, что конечное число членов равно нулю. ${\displaystyle (\alpha _{i})}$ ${\displaystyle \sum \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \sum '\alpha _{i}}$

Характеристики

• Прямая сумма является подмодулем прямого произведения модулей M i ₍ Бурбаки 1989, §II.1.7). Прямое произведение является множеством всех функций α из I в несвязное объединение модулей M _i с α ( i )∈ M _i , но не обязательно равными нулю для всех, кроме конечного числа i . Если множество индексов I конечно, то прямая сумма и прямое произведение равны.
• Каждый из модулей M _i можно отождествить с подмодулем прямой суммы, состоящим из тех функций, которые обращаются в нуль на всех индексах, отличных от i . При этих отождествлениях каждый элемент x прямой суммы можно записать одним и только одним способом как сумму конечного числа элементов из модулей M _i .
• Если M _i на самом деле являются векторными пространствами, то размерность прямой суммы равна сумме размерностей M _i . То же самое верно для ранга абелевых групп и длины модулей .
• Каждое векторное пространство над полем K изоморфно прямой сумме достаточно большого числа копий K , так что в некотором смысле следует рассматривать только эти прямые суммы. Это неверно для модулей над произвольными кольцами.
• Тензорное произведение распределяется по прямым суммам в следующем смысле: если N — некоторый правый R -модуль, то прямая сумма тензорных произведений N с M _i (которые являются абелевыми группами) естественно изоморфна тензорному произведению N с прямой суммой M _i .
• Прямые суммы коммутативны и ассоциативны (с точностью до изоморфизма), то есть не имеет значения, в каком порядке формируется прямая сумма.
• Абелева группа R - линейных гомоморфизмов из прямой суммы в некоторый левый R -модуль L естественно изоморфна прямому произведению абелевых групп R -линейных гомоморфизмов из M _i в L : Действительно, очевидно, что существует гомоморфизм τ из левой части в правую, где τ ( θ )( i ) является R -линейным гомоморфизмом, переводящим x ∈ M _i в θ ( x ) (используя естественное включение M _i в прямую сумму). Обратный гомоморфизм τ определяется как для любого α в прямой сумме модулей M _i . Ключевым моментом является то, что определение τ ⁻¹ имеет смысл, поскольку α ( i ) равно нулю для всех, кроме конечного числа i , и, таким образом, сумма конечна. $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).}$$ $${\displaystyle \tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))}$$
  В частности, двойственное векторное пространство прямой суммы векторных пространств изоморфно прямому произведению двойственных к этим пространствам пространств.
• Конечная прямая _сумма модулей является бипроизведением : если — канонические отображения проекции и — отображения включения, то равно тождественному морфизму A ₁ ⊕ ⋯ ⊕ A n , а — тождественный морфизм A _k в случае l = k , и — нулевое отображение в противном случае. $${\displaystyle p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}}$$ $${\displaystyle i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$$ $${\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}}$$ $${\displaystyle p_{k}\circ i_{l}}$$

Внутренняя прямая сумма

Предположим, что M является R-модулем, а M i является подмодулем M для каждого i из I _. Если каждый x из M может быть записан ровно одним способом как сумма конечного числа элементов M i _, то мы говорим, что M является внутренней прямой суммой подмодулей M _i (Halmos 1974, §18). В этом случае M естественно изоморфен (внешней) прямой сумме M _{i ,} как определено выше (Adamson 1972, p.61).

Подмодуль N модуля M является прямым слагаемым M , если существует некоторый другой подмодуль N′ модуля M , такой что M является внутренней прямой суммой N и N′ . В этом случае N и N′ называются дополнительными подмодулями .

Универсальная собственность

На языке теории категорий прямая сумма является копроизведением и, следовательно, копределом в категории левых R -модулей, что означает, что она характеризуется следующим универсальным свойством . Для каждого i в I рассмотрим естественное вложение

${\displaystyle j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$

который отправляет элементы M _i тем функциям, которые равны нулю для всех аргументов, кроме i . Теперь пусть M будет произвольным R -модулем и f _i  : M _i → M будут произвольными R -линейными отображениями для каждого i , тогда существует ровно одно R -линейное отображение

${\displaystyle f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M}$

такой, что f o j _i = f _i для всех i .

Группа Гротендик

Прямая сумма дает набору объектов структуру коммутативного моноида , в котором определено сложение объектов, но не вычитание. Фактически, вычитание может быть определено, и каждый коммутативный моноид может быть расширен до абелевой группы . Это расширение известно как группа Гротендика . Расширение осуществляется путем определения классов эквивалентности пар объектов, что позволяет рассматривать некоторые пары как обратные. Конструкция, подробно описанная в статье о группе Гротендика, является «универсальной», в том смысле, что она обладает универсальным свойством уникальности и гомоморфности любому другому вложению коммутативного моноида в абелеву группу.

Прямая сумма модулей с дополнительной структурой

Если рассматриваемые нами модули несут некоторую дополнительную структуру (например, норму или скалярное произведение ), то прямая сумма модулей часто может быть сделана так, чтобы нести эту дополнительную структуру. В этом случае мы получаем копроизведение в соответствующей категории всех объектов, несущих дополнительную структуру. Два ярких примера встречаются для пространств Банаха и пространств Гильберта .

В некоторых классических текстах фраза «прямая сумма алгебр над полем » также вводится для обозначения алгебраической структуры , которая в настоящее время чаще называется прямым произведением алгебр; то есть декартовым произведением базовых множеств с покомпонентными операциями . Однако эта конструкция не дает копроизведения в категории алгебр, а только прямое произведение ( см. примечание ниже и замечание о прямых суммах колец ).

Прямая сумма алгебр

Прямая сумма алгебр и есть прямая сумма как векторных пространств, с произведением ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}).}$

Рассмотрим эти классические примеры:

${\displaystyle \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} }$является кольцом, изоморфным расщепленным комплексным числам , также используемым в интервальном анализе .

${\displaystyle \mathbf {C} \oplus \mathbf {C} }$— алгебра тессаринов, введенная Джеймсом Коклем в 1848 году.

${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} ,}$называемые расщепленными бикватернионами , были введены Уильямом Кингдоном Клиффордом в 1873 году.

Джозеф Веддерберн использовал концепцию прямой суммы алгебр в своей классификации гиперкомплексных чисел . См. его Lectures on Matrices (1934), стр. 151. Веддерберн ясно показывает различие между прямой суммой и прямым произведением алгебр: Для прямой суммы поле скаляров действует совместно на обе части: в то время как для прямого произведения скалярный множитель может собираться попеременно с частями, но не обеими: Ян Р. Портеус использует три прямые суммы выше, обозначая их как кольца скаляров в своем анализе алгебр Клиффорда и классических групп (1995). ${\displaystyle \lambda (x\oplus y)=\lambda x\oplus \lambda y}$ ${\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,y)=(x,\lambda y).}$ ${\displaystyle ^{2}R,\ ^{2}C,\ ^{2}H,}$

Описанная выше конструкция, а также использование Веддерберном терминов прямая сумма и прямое произведение следуют иному соглашению, чем в теории категорий . В категориальных терминах прямая сумма Веддерберна является категориальным произведением , в то время как прямое произведение Веддерберна является копроизведением (или категориальной суммой) , которое (для коммутативных алгебр) фактически соответствует тензорному произведению алгебр .

Прямая сумма банаховых пространств

Прямая сумма двух банаховых пространств и есть прямая сумма и рассматриваемых как векторные пространства, с нормой для всех и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y.}$

В общем случае, если — набор банаховых пространств, где проходит по множеству индексов , то прямая сумма — это модуль, состоящий из всех функций, определенных над , таких, что для всех и ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x(i)\in X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .}$$

Норма задается суммой выше. Прямая сумма с этой нормой снова является банаховым пространством.

Например, если мы возьмем множество индексов , а затем прямую сумму , то получим пространство , состоящее из всех последовательностей действительных чисел с конечной нормой ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{1},}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$ ${\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|.}$

Замкнутое подпространство банахова пространства дополняемо, если существует другое замкнутое подпространство такое , что равно внутренней прямой сумме. Обратите внимание, что не каждое замкнутое подпространство дополняемо; например, не дополняется в ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\oplus B.}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

Прямая сумма модулей с билинейными формами

Пусть — семейство, индексированное по модулей, снабженных билинейными формами . Ортогональная прямая сумма — это прямая сумма модулей с билинейной формой, определяемая ^[1], в которой суммирование имеет смысл даже для бесконечных наборов индексов, поскольку только конечное число членов ненулевые. ${\displaystyle \left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)}$$ ${\displaystyle I}$

Прямая сумма гильбертовых пространств

Если задано конечное число гильбертовых пространств , можно построить их ортогональную прямую сумму, как указано выше (поскольку они являются векторными пространствами), определив скалярное произведение как: ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$ $${\displaystyle \left\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .}$$

Полученная прямая сумма представляет собой гильбертово пространство, которое содержит заданные гильбертовы пространства как взаимно ортогональные подпространства.

Если задано бесконечно много гильбертовых пространств для , мы можем выполнить то же самое построение; обратите внимание, что при определении скалярного произведения только конечное число слагаемых будет ненулевым. Однако результатом будет только скалярное пространство произведения , и оно не обязательно будет полным . Затем мы определяем прямую сумму гильбертовых пространств как пополнение этого скалярного пространства произведения. ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle H_{i}}$

Альтернативно и эквивалентно можно определить прямую сумму гильбертовых пространств как пространство всех функций α с областью определения такой, что является элементом для каждого и: ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \alpha (i)}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ $${\displaystyle \sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .}$$

Внутреннее произведение двух таких функций α и β тогда определяется как: $${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .}$$

Это пространство является полным, и мы получаем пространство Гильберта.

Например, если мы возьмем множество индексов , то прямая сумма будет пространством , которое состоит из всех последовательностей действительных чисел с конечной нормой. Сравнивая это с примером для банаховых пространств , мы видим, что прямая сумма банахова пространства и прямая сумма гильбертова пространства не обязательно совпадают. Но если имеется только конечное число слагаемых, то прямая сумма банахова пространства изоморфна прямой сумме гильбертова пространства, хотя норма будет другой. ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{2},}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$ ${\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}.}$

Каждое гильбертово пространство изоморфно прямой сумме достаточно большого числа копий базового поля, которое либо Это эквивалентно утверждению, что каждое гильбертово пространство имеет ортонормированный базис. В более общем смысле, каждое замкнутое подпространство гильбертова пространства дополняемо, поскольку оно допускает ортогональное дополнение . Наоборот, теорема Линденштрауса–Цафрири утверждает, что если каждое замкнутое подпространство банахова пространства дополняемо, то банахово пространство изоморфно (топологически) гильбертову пространству. ${\displaystyle \mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} .}$

Смотрите также

• Бипродукт  — в теории категорий объект, который является как продуктом, так и сопродуктом в совместимых отношениях.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Неразложимый модуль
• Теорема Жордана–Гёльдера  – Разложение алгебраической структурыPages displaying short descriptions of redirect targets
• Теорема Крулля–Шмидта  – Математическая теорема
• Расщепленная точная последовательность  – короткая точная последовательность, где средний член является прямой суммой внешних членов, а структурные отображения являются каноническим включением и проекцией.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Ссылки

1. Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Том. 73. Шпрингер-Верлаг . стр. 4–5. ISBN 3-540-06009-X. Збл  0292.10016.

• Адамсон, Иэн Т. (1972), Элементарные кольца и модули , University Mathematical Texts, Oliver and Boyd, ISBN 0-05-002192-3.
• Бурбаки, Николя (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (1991), Абстрактная алгебра , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall, Inc., ISBN 0-13-004771-6.
• Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Спрингер, ISBN 0-387-90093-4
• Мак Лейн, С.; Биркгофф , Г. (1999), Алгебра , AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2.