Симплектическая матрица

Математическая концепция

В математике симплектическая матрица — это матрица с действительными элементами, удовлетворяющая условию ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle M}$

где обозначает транспонирование и является фиксированной невырожденной , кососимметричной матрицей . Это определение можно распространить на матрицы с записями в других полях , таких как комплексные числа , конечные поля , p -адические числа и функциональные поля . ${\displaystyle M^{\text{T}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$

Обычно выбирается блочная матрица , где — единичная матрица . Матрица имеет определитель , а ее обратная — . ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \Omega ^{-1}=\Omega ^{\text{T}}=-\Omega }$

Характеристики

Генераторы симплектических матриц

Каждая симплектическая матрица имеет определитель , а симплектические матрицы с действительными элементами образуют подгруппу общей линейной группы относительно умножения матриц, поскольку симплектичность является свойством, устойчивым относительно умножения матриц. Топологически эта симплектическая группа является связной некомпактной действительной группой Ли действительной размерности и обозначается . Симплектическую группу можно определить как множество линейных преобразований , которые сохраняют симплектическую форму действительного симплектического векторного пространства . ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n(2n+1)}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )}$

Эта симплектическая группа имеет выделенный набор генераторов, который может быть использован для нахождения всех возможных симплектических матриц. Это включает в себя следующие наборы, где — набор симметричных матриц . Затем, генерируется набором ^{[1] с. 2} матриц. Другими словами, любая симплектическая матрица может быть построена путем умножения матриц на и вместе с некоторой степенью . $${\displaystyle {\begin{aligned}D(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{pmatrix}}:A\in {\text{GL}}(n;\mathbb {R} )\right\}\\N(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}:B\in {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )\right\}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \{\Omega \}\cup D(n)\cup N(n)}$$ ${\displaystyle D(n)}$ ${\displaystyle N(n)}$ ${\displaystyle \Omega }$

Обратная матрица

Каждая симплектическая матрица обратима с обратной матрицей, заданной как Более того, произведение двух симплектических матриц снова является симплектической матрицей. Это дает множеству всех симплектических матриц структуру группы . На этой группе существует естественная структура многообразия , которая превращает ее в (действительную или комплексную) группу Ли, называемую симплектической группой . $${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega .}$$

Детерминантные свойства

Из определения легко следует, что определитель любой симплектической матрицы равен ±1. На самом деле, оказывается, что определитель всегда равен +1 для любого поля. Один из способов увидеть это — использовать пфаффиан и тождество Поскольку и мы имеем, что . $${\displaystyle {\mbox{Pf}}(M^{\text{T}}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega ).}$$ ${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }$ ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0}$ ${\displaystyle \det(M)=1}$

Когда основное поле является действительным или комплексным, это также можно показать путем разложения неравенства на множители . ^[2] ${\displaystyle \det(M^{\text{T}}M+I)\geq 1}$

Блочная форма симплектических матриц

Предположим, что Ω задана в стандартной форме, и пусть — блочная матрица, заданная как ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ $${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$$

где — матрицы. Условие симплектичности эквивалентно двум следующим эквивалентным условиям ^[3] ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle A^{\text{T}}C,B^{\text{T}}D}$симметричный, и ${\displaystyle A^{\text{T}}D-C^{\text{T}}B=I}$

${\displaystyle AB^{\text{T}},CD^{\text{T}}}$симметричный, и ${\displaystyle AD^{\text{T}}-BC^{\text{T}}=I}$

Второе условие вытекает из того факта, что если является симплектической, то также является симплектической. Когда эти условия сводятся к одному условию . Таким образом, матрица является симплектической тогда и только тогда, когда она имеет единичный определитель. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{T}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \det(M)=1}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

Обратная матрица блочной матрицы

При стандартной форме обратная матрица задается как Группа имеет размерность . Это можно увидеть, заметив, что является антисимметричной. Поскольку пространство антисимметричных матриц имеет размерность, тождество накладывает ограничения на коэффициенты и оставляет независимые коэффициенты. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega ={\begin{pmatrix}D^{\text{T}}&-B^{\text{T}}\\-C^{\text{T}}&A^{\text{T}}\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle n(2n+1)}$ ${\displaystyle (M^{\text{T}}\Omega M)^{\text{T}}=-M^{\text{T}}\Omega M}$ ${\displaystyle {\binom {2n}{2}},}$ ${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }$ ${\displaystyle 2n \choose 2}$ ${\displaystyle (2n)^{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n(2n+1)}$

Симплектические преобразования

В абстрактной формулировке линейной алгебры матрицы заменяются линейными преобразованиями конечномерных векторных пространств . Абстрактным аналогом симплектической матрицы является симплектическое преобразование симплектического векторного пространства . Кратко, симплектическое векторное пространство — это -мерное векторное пространство, снабженное невырожденной , кососимметричной билинейной формой, называемой симплектической формой . ${\displaystyle (V,\omega )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega }$

Симплектическое преобразование тогда является линейным преобразованием , которое сохраняет , т.е. ${\displaystyle L:V\to V}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega (Lu,Lv)=\omega (u,v).}$

Зафиксировав базис для , можно записать как матрицу и как матрицу . Условие, что будет симплектическим преобразованием, в точности соответствует условию, что M будет симплектической матрицей: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega .}$

При изменении базиса , представленного матрицей A , имеем

${\displaystyle \Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A}$

${\displaystyle M\mapsto A^{-1}MA.}$

Всегда можно привести либо к стандартной форме, приведенной во введении, либо к блочно-диагональной форме, описанной ниже, путем подходящего выбора A. ${\displaystyle \Omega }$

Матрица Ω

Симплектические матрицы определяются относительно фиксированной невырожденной , кососимметричной матрицы . Как объяснялось в предыдущем разделе, можно рассматривать как координатное представление невырожденной кососимметричной билинейной формы . Основной результат линейной алгебры заключается в том, что любые две такие матрицы отличаются друг от друга изменением базиса . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Наиболее распространенной альтернативой стандарту, приведенному выше, является блочно-диагональная форма. ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}.}$

Этот выбор отличается от предыдущего перестановкой базисных векторов .

Иногда вместо обозначения используется для кососимметричной матрицы. Это особенно неудачный выбор, поскольку он приводит к путанице с понятием комплексной структуры , которая часто имеет то же самое координатное выражение, что и , но представляет собой совершенно другую структуру. Комплексная структура — это координатное представление линейного преобразования, которое квадратируется до , тогда как — координатное представление невырожденной кососимметричной билинейной формы. Можно легко выбрать основания, в которых не является кососимметричным или не квадратируется до . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle -I_{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle -I_{n}}$

Дана эрмитова структура на векторном пространстве, и они связаны посредством ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega _{ab}=-g_{ac}{J^{c}}_{b}}$

где — метрика . То, что и обычно имеют одинаковое координатное выражение (с точностью до общего знака), является просто следствием того, что метрика g обычно является единичной матрицей. ${\displaystyle g_{ac}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Omega }$

Диагонализация и декомпозиция

• Для любой положительно определенной симметричной вещественной симплектической матрицы S существует U в такое, что ${\displaystyle \mathrm {U} (2n,\mathbb {R} )=\mathrm {O} (2n)}$

${\displaystyle S=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),}$
где диагональные элементы D являются собственными значениями S. ^[4 ]

• Любая действительная симплектическая матрица S имеет полярное разложение вида: ^[4]

${\displaystyle S=UR\quad }$для и ${\displaystyle \quad U\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} ).}$

• Любую действительную симплектическую матрицу можно разложить в виде произведения трех матриц:

так что O и O' являются симплектическими и ортогональными , а D является положительно определенным и диагональным . ^[5] Это разложение тесно связано с сингулярным разложением матрицы и известно как разложение «Эйлера» или «Блоха-Мессии».

Комплексные матрицы

Если вместо этого M является матрицей 2 n × 2 n с комплексными элементами, определение не является стандартным в литературе. Многие авторы ^[6] корректируют определение выше, чтобы

где M ^* обозначает сопряженное транспонирование M. В этом случае определитель может не быть 1, но будет иметь абсолютное значение 1. В случае 2×2 ( n =1) M будет произведением действительной симплектической матрицы и комплексного числа с абсолютным значением 1.

Другие авторы ^[7] сохраняют определение ( 1 ) для комплексных матриц и называют матрицы, удовлетворяющие ( 3 ), сопряженно-симплектическими .

Приложения

Преобразования, описываемые симплектическими матрицами, играют важную роль в квантовой оптике и в непрерывно-переменной квантовой теории информации . Например, симплектические матрицы могут быть использованы для описания гауссовых (Боголюбовских) преобразований квантового состояния света. ^[8] В свою очередь, разложение Блоха-Мессии ( 2 ) означает, что такое произвольное гауссово преобразование может быть представлено как набор из двух пассивных линейно-оптических интерферометров (соответствующих ортогональным матрицам O и O' ), прерываемых слоем активных нелинейных преобразований сжатия (заданных в терминах матрицы D ). ^[9] Фактически, можно обойти необходимость таких линейных активных преобразований сжатия, если в качестве предварительного ресурса доступны только двухмодовые сжатые вакуумные состояния . ^[10]

Смотрите также

• Математический портал

• Симплектическое векторное пространство
• Симплектическая группа
• Симплектическое представление
• Ортогональная матрица
• Унитарная матрица
• Гамильтонова механика
• Линейная сложная структура
• Теорема Уильямсона

Ссылки

1. Хаберманн, Катарина, 1966- (2006). Введение в симплектические операторы Дирака. Спрингер. ISBN 978-3-540-33421-7. OCLC  262692314.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
2. Рим, Донсуб (2017). «Элементарное доказательство того, что симплектические матрицы имеют определитель один». Adv. Dyn. Syst. Appl . 12 (1): 15–20. arXiv : 1505.04240 . doi :10.37622/ADSA/12.1.2017.15-20. S2CID  119595767.
3. Де Госсон, Морис. «Введение в симплектическую механику: Лекции I-II-III» (PDF) .
4. de Gosson, Maurice A. (2011). Симплектические методы в гармоническом анализе и математической физике - Springer . doi :10.1007/978-3-7643-9992-4. ISBN 978-3-7643-9991-7.
5. Ферраро, Алессандро; Оливарес, Стефано; Париж, Маттео GA (31 марта 2005 г.). "Гауссовские состояния в непрерывной переменной квантовой информации". Раздел 1.3, стр. 4. arXiv : quant-ph/0503237 .
6. Xu, HG (15 июля 2003 г.). «Разложение матриц типа SVD и его приложения». Линейная алгебра и ее приложения . 368 : 1–24. doi :10.1016/S0024-3795(03)00370-7. hdl : 1808/374 .
7. Mackey, DS; Mackey, N. (2003). Об определителе симплектических матриц (отчет о численном анализе 422). Манчестер, Англия: Манчестерский центр вычислительной математики.
8. Видбрук, Кристиан; Пирандола, Стефано; Гарсия-Патрон, Рауль; Серф, Николас Дж.; Ральф, Тимоти К.; Шапиро, Джеффри Х.; Ллойд, Сет (2012). «Гауссова квантовая информация». Reviews of Modern Physics . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Bibcode : 2012RvMP...84..621W. doi : 10.1103/RevModPhys.84.621. S2CID  119250535.
9. Браунштейн, Сэмюэл Л. (2005). «Сжатие как неснижаемый ресурс». Physical Review A. 71 ( 5): 055801. arXiv : quant-ph/9904002 . Bibcode : 2005PhRvA..71e5801B. doi : 10.1103/PhysRevA.71.055801. S2CID  16714223.
10. Чахмахчян, Левон; Серф, Николас (2018). «Моделирование произвольных гауссовых цепей с помощью линейной оптики». Physical Review A. 98 ( 6): 062314. arXiv : 1803.11534 . Bibcode : 2018PhRvA..98f2314C. doi : 10.1103/PhysRevA.98.062314. S2CID  119227039.