Эрмитово многообразие

Понятие в дифференциальной геометрии

В математике , а точнее в дифференциальной геометрии , эрмитово многообразие — это комплексный аналог риманова многообразия . Точнее, эрмитово многообразие — это комплексное многообразие с плавно меняющимся эрмитовым скалярным произведением на каждом (голоморфном) касательном пространстве . Можно также определить эрмитово многообразие как вещественное многообразие с римановой метрикой , сохраняющей комплексную структуру .

Комплексная структура по сути является почти комплексной структурой с условием интегрируемости, и это условие дает унитарную структуру ( структуру U(n) ) на многообразии. Отбрасывая это условие, мы получаем почти эрмитово многообразие .

На любом почти эрмитовом многообразии мы можем ввести фундаментальную 2-форму (или косимплектическую структуру ), которая зависит только от выбранной метрики и почти комплексной структуры. Эта форма всегда невырождена. С дополнительным условием интегрируемости, что она замкнута (т.е. является симплектической формой ), мы получаем почти кэлерову структуру . Если и почти комплексная структура, и фундаментальная форма интегрируемы, то мы имеем кэлерову структуру .

Формальное определение

Эрмитова метрика на комплексном векторном расслоении над гладким многообразием — это гладко меняющаяся положительно определенная эрмитова форма на каждом слое. Такую метрику можно рассматривать как гладкое глобальное сечение векторного расслоения такое, что для каждой точки в , для всех , в слое и для всех ненулевых в . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (E\otimes {\overline {E}})^{*}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle h_{p}{\mathord {\left(\eta ,{\bar {\zeta }}\right)}}={\overline {h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\eta }}\right)}}}}}$$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle E_{p}}$ $${\displaystyle h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)}}>0}$$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle E_{p}}$

Эрмитово многообразие — это комплексное многообразие с эрмитовой метрикой на его голоморфном касательном расслоении . Аналогично, почти эрмитово многообразие — это почти комплексное многообразие с эрмитовой метрикой на его голоморфном касательном расслоении.

На эрмитовом многообразии метрику можно записать в локальных голоморфных координатах как где — компоненты положительно определенной эрмитовой матрицы . ${\displaystyle (z^{\alpha })}$ $${\displaystyle h=h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }}$$ ${\displaystyle h_{\alpha {\bar {\beta }}}}$

Риманова метрика и связанная с ней форма

Эрмитова метрика h на (почти) комплексном многообразии M определяет риманову метрику g на базовом гладком многообразии. Метрика g определяется как действительная часть h : $${\displaystyle g={1 \over 2}\left(h+{\bar {h}}\right).}$$

Форма g является симметричной билинейной формой на TM ^C , комплексифицированным касательным расслоением. Поскольку g равна своей сопряженной, она является комплексификацией вещественной формы на TM . Симметрия и положительно-определенность g на TM следуют из соответствующих свойств h . В локальных голоморфных координатах метрику g можно записать $${\displaystyle g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,\left(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha }\right).}$$

Можно также связать с h комплексную дифференциальную форму ω степени (1,1). Форма ω определяется как минус мнимая часть h : $${\displaystyle \omega ={i \over 2}\left(h-{\bar {h}}\right).}$$

Опять же, поскольку ω равно своему сопряжению, то это комплексификация вещественной формы на TM . Форма ω называется по-разному: ассоциированная (1,1) форма , фундаментальная форма , или эрмитова форма . В локальных голоморфных координатах ω можно записать $${\displaystyle \omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }.}$$

Из координатных представлений ясно, что любая из трех форм h , g и ω однозначно определяет две другие. Риманова метрика g и связанная с ней (1,1) форма ω связаны почти комплексной структурой J следующим образом для всех комплексных касательных векторов u и v . Эрмитова метрика h может быть восстановлена ​​из g и ω с помощью тождества $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (u,v)&=g(Ju,v)\\g(u,v)&=\omega (u,Jv)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle h=g-i\omega .}$$

Все три формы h , g и ω сохраняют почти комплексную структуру J. То есть для всех комплексных касательных векторов u и v . $${\displaystyle {\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}}$$

Эрмитова структура на (почти) комплексном многообразии M может быть, таким образом, задана либо

1. эрмитова метрика h, как указано выше,
2. риманова метрика g, которая сохраняет почти комплексную структуру J , или
3. невырожденная 2-форма ω, которая сохраняет J и является положительно определенной в том смысле, что ω ( u , Ju ) > 0 для всех ненулевых действительных касательных векторов u .

Обратите внимание, что многие авторы называют g эрмитовой метрикой.

Характеристики

Каждое (почти) комплексное многообразие допускает эрмитову метрику. Это следует непосредственно из аналогичного утверждения для римановой метрики. Если задана произвольная риманова метрика g на почти комплексном многообразии M, то можно построить новую метрику g ′, совместимую с почти комплексной структурой J, очевидным образом: $${\displaystyle g'(u,v)={1 \over 2}\left(g(u,v)+g(Ju,Jv)\right).}$$

Выбор эрмитовой метрики на почти комплексном многообразии M эквивалентен выбору U( n )-структуры на M ; то есть, редукции структурной группы расслоения фреймов M из GL( n , C ) в унитарную группу U( n ). Унитарный фрейм на почти эрмитовом многообразии является комплексным линейным фреймом , который ортонормирован относительно эрмитовой метрики. Унитарный расслоение фреймов M является главным U( n )-расслоением всех унитарных фреймов.

Каждое почти эрмитово многообразие M имеет каноническую форму объема , которая является просто римановой формой объема, определяемой g . Эта форма задается в терминах ассоциированной (1,1)-формы ω по формуле, где ω ⁿ — произведение клина ω на себя n раз . Таким образом, форма объема является действительной ( n , n )-формой на M . В локальных голоморфных координатах форма объема задается как $${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}={\frac {\omega ^{n}}{n!}}\in \Omega ^{n,n}(M)}$$ $${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}=\left({\frac {i}{2}}\right)^{n}\det \left(h_{\alpha {\bar {\beta }}}\right)\,dz^{1}\wedge d{\bar {z}}^{1}\wedge \dotsb \wedge dz^{n}\wedge d{\bar {z}}^{n}.}$$

Можно также рассмотреть эрмитову метрику на голоморфном векторном расслоении .

Кэлеровы многообразия

Самый важный класс эрмитовых многообразий — кэлеровы многообразия . Это эрмитовы многообразия, для которых эрмитова форма ω замкнута: В этом случае форма ω называется кэлеровой формой . Кэлерова форма является симплектической формой , и поэтому кэлеровы многообразия являются естественно симплектическими многообразиями . $${\displaystyle d\omega =0\,.}$$

Почти эрмитово многообразие, ассоциированная (1,1)-форма которого замкнута, естественно называется почти кэлеровым многообразием . Любое симплектическое многообразие допускает совместимую почти комплексную структуру, превращающую его в почти кэлерово многообразие.

Интегрируемость

Кэлерово многообразие — это почти эрмитово многообразие, удовлетворяющее условию интегрируемости . Это можно сформулировать несколькими эквивалентными способами.

Пусть ( M , g , ω, J ) — почти эрмитово многообразие действительной размерности 2 n и пусть ∇ — связность Леви-Чивиты для g . Ниже приведены эквивалентные условия для того, чтобы M было кэлеровым:

• ω замкнуто и J интегрируемо,
• ∇J = 0 ,
• ∇ω = 0 ,
• группа голономии ∇ содержится в унитарной группе U( n ), связанной с J ,

Эквивалентность этих условий соответствует свойству « 2 из 3 » унитарной группы .

В частности, если M — эрмитово многообразие, условие dω = 0 эквивалентно, по-видимому, гораздо более сильным условиям ∇ ω = ∇ J = 0. Богатство теории Кэлера отчасти обусловлено этими свойствами.

Ссылки

• Гриффитс, Филлип; Джозеф Харрис (1994) [1978]. Принципы алгебраической геометрии . Библиотека Wiley Classics. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8.
• Кобаяси, Сёсичи; Кацуми Номидзу (1996) [1963]. Основы дифференциальной геометрии , т. 2. Библиотека классических произведений Wiley. Нью-Йорк: Wiley Interscience . ISBN 0-471-15732-5.
• Кодаира, Кунихико (1986). Комплексные многообразия и деформация комплексных структур . Классика математики. Нью-Йорк: Springer. ISBN 3-540-22614-1.