Холономия

Понятие в дифференциальной геометрии

Параллельный перенос на сфере по кусочно-гладкой траектории. Начальный вектор обозначен как , параллельно переносится вдоль кривой, а результирующий вектор обозначен как . Результат параллельного переноса будет отличаться, если траектория будет изменена. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\gamma }(V)}$

В дифференциальной геометрии голономия связности на гладком многообразии — это степень, в которой параллельный перенос по замкнутым контурам не сохраняет геометрические данные, которые переносятся. Голономия — это общее геометрическое следствие кривизны связности . Для плоских связностей ассоциированная голономия является типом монодромии и является по своей сути глобальным понятием. Для искривленных связностей голономия имеет нетривиальные локальные и глобальные особенности.

Любой вид связи на многообразии порождает, через его параллельные транспортные отображения, некоторое понятие голономии. Наиболее распространенные формы голономии — для связей, обладающих некоторой симметрией . Важные примеры включают: голономию связности Леви-Чивиты в римановой геометрии (называемую римановой голономией ), голономию связностей в векторных расслоениях , голономию связностей Картана и голономию связностей в главных расслоениях . В каждом из этих случаев голономию связности можно отождествить с группой Ли , группой голономии . Голономия связности тесно связана с кривизной связности через теорему Амброуза–Зингера .

Изучение римановой голономии привело к ряду важных разработок. Голономия была введена Эли Картаном  (1926) для изучения и классификации симметричных пространств . Лишь намного позже группы голономии стали использоваться для изучения римановой геометрии в более общей обстановке. В 1952 году Жорж де Рам доказал теорему декомпозиции де Рама — принцип разложения риманова многообразия в декартово произведение римановых многообразий путем разбиения касательного расслоения на неприводимые пространства под действием локальных групп голономии. Позднее, в 1953 году, Марсель Берже классифицировал возможные неприводимые голономии. Разложение и классификация римановой голономии имеют приложения к физике и теории струн .

Определения

Голономия связности в векторном расслоении

Пусть E — векторное расслоение ранга k над гладким многообразием M , и пусть ∇ — связность на E . Если задана кусочно- гладкая петля γ  : [0,1] → M с базой в точке x в M , то эта связность определяет параллельное транспортное отображение P _γ  : E _x → E _x на слое E в точке x . Это отображение является как линейным, так и обратимым, и поэтому определяет элемент общей линейной группы GL( E _x ). Группа голономии ∇ с базой в точке x определяется как

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.}$

Ограниченная группа голономии, основанная на точке x, является подгруппой, происходящей от стягиваемых петель  γ . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )}$

Если M связно , то группа голономии зависит от базовой точки x только с точностью до сопряжения в GL( k , R ). Явно, если γ — путь из x в y в M , то

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.}$

Выбор различных идентификаций E _x с R ^k также дает сопряженные подгруппы. Иногда, особенно в общих или неформальных обсуждениях (таких как ниже), можно опустить ссылку на базовую точку, понимая, что определение верно вплоть до сопряжения.

Некоторые важные свойства группы голономии включают в себя:

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$является связной подгруппой Ли в GL( k , R ).
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$является компонентом идентичности ${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla ).}$
• Существует естественный сюръективный групповой гомоморфизм , где — фундаментальная группа M , который переводит гомотопический класс в смежный класс ${\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle [\gamma ]}$ ${\displaystyle P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• Если М односвязно , то ${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• ∇ является плоским (т.е. имеет исчезающую кривизну) тогда и только тогда, когда является тривиальным. ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$

Голономия связности в главном расслоении

Определение голономии связностей на главных расслоениях продолжается параллельно. Пусть G — группа Ли , а P — главное G - расслоение над гладким многообразием M, которое является паракомпактным . Пусть ω — связность на P. Если задана кусочно-гладкая петля γ  : [0,1] → M, базирующаяся в точке x в M , и точка p в слое над x , то связность определяет единственный горизонтальный подъем, такой что Конечная точка горизонтального подъема, , в общем случае не будет p, а скорее некоторой другой точкой p · g в слое над x . Определим отношение эквивалентности ~ на P, сказав, что p ~ q, если их можно соединить кусочно-гладким горизонтальным путем в P. ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=p.}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$

Группа голономии ω, основанная на p , тогда определяется как

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}$

Ограниченная группа голономии, основанная на точке p, является подгруппой, происходящей из горизонтальных подъемов стягиваемых петель  γ . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

Если M и P связаны , то группа голономии зависит от базовой точки p только с точностью до сопряжения в G. Явно, если q — любая другая выбранная базовая точка для голономии, то существует единственный g ∈ G такой, что q ~ p · g . При этом значении g ,

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.}$

В частности,

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,}$

Более того, если p ~ q, то, как и выше, иногда опускают ссылку на базовую точку группы голономии, понимая, что определение справедливо с точностью до сопряжения. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).}$

Некоторые важные свойства групп голономии и ограниченной голономии включают в себя:

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$является связной подгруппой Ли группы G.
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$является компонентом идентичности ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$
• Существует естественный сюръективный групповой гомоморфизм ${\displaystyle \pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• Если M односвязно , то ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• ω является плоским (т.е. имеет исчезающую кривизну) тогда и только тогда, когда является тривиальным. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

Связки голономии

Пусть M — связное паракомпактное гладкое многообразие, а P — главное G -расслоение со связностью ω, как и выше. Пусть p ∈ P — произвольная точка главного расслоения. Пусть H ( p ) — множество точек в P , которые могут быть соединены с p горизонтальной кривой. Тогда можно показать, что H ( p ) с очевидным отображением проекции является главным расслоением над M со структурной группой Это главное расслоение называется расслоением голономии (через p ) связности. Связность ω ограничивается связностью на H ( p ), поскольку ее отображения параллельного переноса сохраняют H ( p ). Таким образом , H ( p ) является редуцированным расслоением для связности. Более того, поскольку ни одно подрасслоение H ( p ) не сохраняется параллельным переносом, оно является минимальным таким сокращением. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$

Как и в случае с группами голономии, расслоение голономии также преобразуется эквивариантно внутри окружающего главного расслоения P . Подробно, если q ∈ P — другая выбранная базовая точка для голономии, то существует единственная g ∈ G такая, что q ~ p g (так как по предположению M является путевой связностью). Следовательно, H ( q ) = H ( p ) g . Как следствие, индуцированные связи на расслоениях голономии, соответствующие различным выборам базовой точки, совместимы друг с другом: их параллельные транспортные отображения будут отличаться точно тем же элементом g .

Монодромия

Расслоение голономии H ( p ) является главным расслоением для и, таким образом, также допускает действие ограниченной группы голономии (которая является нормальной подгруппой полной группы голономии). Дискретная группа называется группой монодромии связности; она действует на фактор-расслоение Существует сюръективный гомоморфизм, так что действует на Это действие фундаментальной группы является представлением монодромии фундаментальной группы. ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ ${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$ ${\displaystyle \varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),}$ ${\displaystyle \varphi \left(\pi _{1}(M)\right)}$ ${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

Локальная и бесконечно малая голономия

Если π: P → M — главное расслоение, а ω — связность в P , то голономию ω можно ограничить до слоя над открытым подмножеством M. Действительно, если U — связное открытое подмножество M , то ω ограничивается , чтобы дать связность в расслоении π ⁻¹ U над U. Голономия (соответственно ограниченная голономия) этого расслоения будет обозначаться как (соответственно ) для каждого p с π( p ) ∈ U. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)}$

Если U ⊂ V — два открытых множества, содержащих π( p ), то имеет место очевидное включение

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$

Локальная группа голономии в точке p определяется как

${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} ^{0}(\omega ,U_{k})}$

для любого семейства вложенных связных открытых множеств U _k с . ${\displaystyle \bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)}$

Локальная группа голономии обладает следующими свойствами:

1. Это связная подгруппа Ли ограниченной группы голономии. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
2. Каждая точка p имеет окрестность V такую, что В частности, локальная группа голономии зависит только от точки p , а не от выбора последовательности U _{k ,} используемой для ее определения. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$
3. Локальная голономия эквивариантна относительно переноса элементами структурной группы G из P ; т. е. для всех g ∈ G . (Заметим, что по свойству 1 локальная группа голономии является связной подгруппой Ли в G , поэтому сопряженная группа корректно определена.) ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} \left(g^{-1}\right)\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )}$

Локальная группа голономии не ведет себя хорошо как глобальный объект. В частности, ее размерность может не быть постоянной. Однако, справедлива следующая теорема:

Если размерность локальной группы голономии постоянна, то локальная и ограниченная голономия согласуются: ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

Теорема Эмброуза–Зингера

Теорема Эмброуза–Зингера (от Уоррена Эмброуза и Изадора М. Зингера  (1953)) связывает голономию связности в главном расслоении с формой кривизны связности. Чтобы сделать эту теорему правдоподобной, рассмотрим знакомый случай аффинной связности (или связности в касательном расслоении – связности Леви-Чивиты, например). Кривизна возникает при движении вокруг бесконечно малого параллелограмма.

Подробно, если σ: [0, 1] × [0, 1] → M — это поверхность в M, параметризованная парой переменных x и y , то вектор V может быть перенесен вокруг границы σ: сначала вдоль ( x , 0), затем вдоль (1, y ), затем вдоль ( x , 1), идущего в отрицательном направлении, а затем (0, y ) обратно в точку начала координат. Это особый случай петли голономии: на вектор V действует элемент группы голономии, соответствующий подъему границы σ. Кривизна явно входит, когда параллелограмм сжимается до нуля, пересекая границу меньших параллелограммов по [0, x ] × [0, y ]. Это соответствует взятию производной от отображений параллельного переноса при x = y = 0:

${\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V}$

где R — тензор кривизны . ^[3] Так что, грубо говоря, кривизна дает бесконечно малую голономию над замкнутой петлей (бесконечно малый параллелограмм). Более формально, кривизна — это дифференциал действия голономии в единице группы голономии. Другими словами, R ( X , Y ) — элемент алгебры Ли ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$

В общем случае рассмотрим голономию связности в главном расслоении P → M над P со структурной группой G. Пусть g обозначает алгебру Ли G , форма кривизны связности — это g- значная 2-форма Ω на P. Теорема Эмброуза–Зингера гласит: ^[4]

Алгебра Ли охватывает все элементы g вида , где q пробегает все точки, которые могут быть соединены с p горизонтальной кривой ( q ~ p ), а X и Y являются горизонтальными касательными векторами в q . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ ${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$

Альтернативно теорему можно переформулировать в терминах расслоения голономии: ^[5]

Алгебра Ли — это подпространство g, натянутое на элементы вида где q ∈ H ( p ), а X и Y — горизонтальные векторы в точке q . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ ${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$

Риманова голономия

Голономия риманова многообразия ( M , g ) — это группа голономии связности Леви-Чивиты на касательном расслоении к M. «Общее» n - мерное риманово многообразие имеет голономию O( n ) или SO( n ), если оно ориентируемо . Многообразия, группы голономии которых являются собственными подгруппами O( n ) или SO( n ), обладают особыми свойствами.

Одним из самых ранних фундаментальных результатов по римановой голономии является теорема Бореля и Лихнеровича (1952), которая утверждает, что ограниченная группа голономии является замкнутой подгруппой Ли в O( n ). В частности, она компактна .

Приводимая голономия и разложение де Рама

Пусть x ∈ M — произвольная точка. Тогда группа голономии Hol( M ) действует на касательном пространстве T _x M . Это действие может быть либо неприводимым как представление группы, либо приводимым в том смысле, что существует разбиение T _x M на ортогональные подпространства T _x M = T′ _x M ⊕ T″ _x M , каждое из которых инвариантно относительно действия Hol( M ). В последнем случае M называется приводимым .

Предположим, что M — приводимое многообразие. Если разрешить точке x изменяться, то расслоения T′ M и T″ M, образованные редукцией касательного пространства в каждой точке, являются гладкими распределениями, интегрируемыми в смысле Фробениуса . Интегральные многообразия этих распределений являются вполне геодезическими подмногообразиями. Поэтому M локально является декартовым произведением M′ × M″ . (Локальный) изоморфизм де Рама следует из продолжения этого процесса до тех пор, пока не будет достигнута полная редукция касательного пространства: ^[6]

Пусть M — односвязное риманово многообразие, ^[7] и T M = T ⁽⁰⁾ M ⊕ T ⁽¹⁾ M ⊕ ⋯ ⊕ T ^{( k )} M — полная редукция касательного расслоения под действием группы голономии. Предположим, что T ⁽⁰⁾ M состоит из векторов, инвариантных относительно группы голономии (т.е. таких, что представление голономии тривиально). Тогда локально M изометрично произведению

${\displaystyle V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},}$

где V ₀ — открытое множество в евклидовом пространстве , а каждое V _i — интегральное многообразие для T ^{( i )} M. Более того, Hol( M ) расщепляется как прямое произведение групп голономии каждого M _i , максимального интегрального многообразия T ^{( i )} через точку.

Если, кроме того, M предполагается геодезически полным , то теорема справедлива глобально, и каждое M _i является геодезически полным многообразием. ^[8]

Классификация Бергера

В 1955 году М. Бергер дал полную классификацию возможных групп голономии для односвязных римановых многообразий, которые являются неприводимыми ( локально не являются произведением пространств) и несимметричными (локально не являются римановым симметричным пространством ). Список Бергера выглядит следующим образом:

Многообразия с голономией Sp( n )·Sp(1) одновременно изучались в 1965 году Эдмондом Бонаном и Вивиан Йох Крайнсом, и они построили параллельную 4-форму.

Многообразия с голономией G2 _или Spin(7) были впервые введены Эдмоном Бонаном в 1966 году, который построил все параллельные формы и показал, что эти многообразия являются Риччи-плоскими.

Первоначальный список Бергера также включал возможность Spin(9) как подгруппы SO(16). Римановы многообразия с такой голономией были позже независимо показаны Д. Алексеевским и Брауном-Греем, как обязательно локально симметричные, т. е. локально изометричные плоскости Кэли F 4 _/ Spin(9) или локально плоские. См. ниже.) Теперь известно, что все эти возможности встречаются как группы голономии римановых многообразий. Последние два исключительных случая было труднее всего найти. См. многообразие G 2 и многообразие Spin(7) .

Обратите внимание, что Sp( n ) ⊂ SU(2 n ) ⊂ U(2 n ) ⊂ SO(4 n ), поэтому каждое гиперкэлерово многообразие является многообразием Калаби–Яу , каждое многообразие Калаби–Яу является кэлеровым многообразием , и каждое кэлерово многообразие является ориентируемым .

Странный список выше был объяснен доказательством теоремы Бергера Саймонса. Простое и геометрическое доказательство теоремы Бергера было дано Карлосом Э. Олмосом в 2005 году. Сначала показывается, что если риманово многообразие не является локально симметричным пространством и редуцированная голономия действует неприводимо на касательном пространстве, то она действует транзитивно на единичной сфере. Группы Ли, действующие транзитивно на сферах, известны: они состоят из списка выше, вместе с 2 дополнительными случаями: группа Spin(9), действующая на R ¹⁶ , и группа T · Sp( m ), действующая на R ^{4 m} . Наконец, проверяется, что первый из этих двух дополнительных случаев встречается только как группа голономии для локально симметричных пространств (которые локально изоморфны проективной плоскости Кэли ), а второй вообще не встречается как группа голономии.

Первоначальная классификация Бергера также включала неположительно определенную псевдориманову метрику нелокально симметричной голономии. Этот список состоял из SO( p , q ) сигнатуры ( p , q ), U( p , q ) и SU( p , q ) сигнатуры (2 p , 2 q ), Sp( p , q ) и Sp( p , q )·Sp(1) сигнатуры (4 p , 4 q ), SO( n , C ) сигнатуры ( n , n ), SO( n , H ) сигнатуры (2 n , 2 n ), split G ₂ сигнатуры (4, 3), G ₂ ( C ) сигнатуры (7, 7), Spin(4, 3) сигнатуры (4, 4), Spin(7, C ) сигнатуры (7,7), Spin(5,4) сигнатуры (8,8) и, наконец, Spin(9, C ) сигнатуры (16,16). Расщепленные и комплексифицированные Spin(9) обязательно локально симметричны, как указано выше, и не должны были быть в списке. Комплексифицированные голономии SO( n , C ), G ₂ ( C ) и Spin(7, C ) могут быть реализованы из комплексифицированных вещественных аналитических римановых многообразий. Последний случай, многообразия с голономией, содержащиеся в SO( n , H ), были показаны Р. Маклином как локально плоские. ^[9]

Римановы симметричные пространства, которые локально изометричны однородным пространствам G / H , имеют локальную голономию, изоморфную H. Они также были полностью классифицированы .

Наконец, в статье Бергера перечислены возможные группы голономии многообразий, имеющие только аффинную связность без кручения ; это обсуждается ниже.

Специальная голономия и спиноры

Многообразия со специальной голономией характеризуются наличием параллельных спиноров , то есть спинорных полей с исчезающей ковариантной производной. ^[10] В частности, имеют место следующие факты:

• Hol(ω) ⊂ U (n) тогда и только тогда, когда M допускает ковариантно постоянное (или параллельное ) проективное чисто спинорное поле.
• Если M — спиновое многообразие , то Hol(ω) ⊂ SU (n) тогда и только тогда, когда M допускает по крайней мере два линейно независимых параллельных чисто спинорных поля. Фактически, параллельное чисто спинорное поле определяет каноническую редукцию структурной группы к SU ( n ).
• Если M — семимерное спиновое многообразие, то M несет нетривиальное параллельное спинорное поле тогда и только тогда, когда голономия содержится в _G2 .
• Если M — восьмимерное спиновое многообразие, то M несет нетривиальное параллельное спинорное поле тогда и только тогда, когда голономия содержится в Spin(7).

Унитарные и специальные унитарные голономии часто изучаются в связи с теорией твисторов ^[11] , а также при изучении почти комплексных структур ^[10] .

Приложения

Теория струн

Римановы многообразия со специальной голономией играют важную роль в компактификациях теории струн . ^[12] Это связано с тем, что специальные многообразия голономии допускают ковариантно постоянные (параллельные) спиноры и, таким образом , сохраняют некоторую долю исходной суперсимметрии . Наиболее важными являются компактификации на многообразиях Калаби–Яу с голономией SU(2) или SU(3). Также важными являются компактификации на _{многообразиях} G2 .

Машинное обучение

Вычисление голономии римановых многообразий было предложено как способ изучения структуры многообразий данных в машинном обучении , в частности в контексте обучения многообразий . Поскольку группа голономии содержит информацию о глобальной структуре многообразия данных, ее можно использовать для определения того, как многообразие данных может разлагаться на произведение подмногообразий. Голономию невозможно вычислить точно из-за эффектов конечной выборки, но можно построить численное приближение, используя идеи из спектральной теории графов, аналогичные картам векторной диффузии. Полученный алгоритм, оценщик компонентов геометрического многообразия ( GeoManCEr ), дает численное приближение к разложению де Рама, которое можно применять к данным реального мира. ^[13]

Аффинная голономия

Группы аффинной голономии — это группы, возникающие как голономии аффинных связностей без кручения ; те, которые не являются римановыми или псевдоримановыми группами голономии, также известны как неметрические группы голономии. Теорема разложения де Рама не применима к группам аффинной голономии, поэтому полная классификация невозможна. Однако все еще естественно классифицировать неприводимые аффинные голономии.

На пути к своей классификации римановых групп голономии Бергер разработал два критерия, которым должна удовлетворять алгебра Ли группы голономии аффинной связности без кручения, которая не является локально симметричной : один из них, известный как первый критерий Бергера , является следствием теоремы Амброуза–Зингера о том, что кривизна порождает алгебру голономии; другой, известный как второй критерий Бергера , исходит из требования, что связность не должна быть локально симметричной. Бергер представил список групп, действующих неприводимо и удовлетворяющих этим двум критериям; это можно интерпретировать как список возможностей для неприводимых аффинных голономий.

Список Бергера позднее оказался неполным: дополнительные примеры были найдены Р. Брайантом (1991) и К. Чи, С. Меркуловым и Л. Шваххёфером (1996). Иногда их называют экзотическими голономиями . Поиск примеров в конечном итоге привёл к полной классификации неприводимых аффинных голономий Меркуловым и Шваххёфером (1999), причём Брайант (2000) показал, что каждая группа в их списке встречается как группа аффинной голономии.

Классификация Меркулова–Шваххёфера была значительно прояснена связью между группами в списке и некоторыми симметричными пространствами, а именно эрмитовыми симметричными пространствами и кватернионно-кэлеровыми симметричными пространствами . Связь особенно очевидна в случае комплексных аффинных голономий, как продемонстрировано Шваххёфером (2001).

Пусть V — конечномерное комплексное векторное пространство, пусть H ⊂ Aut( V ) — неприводимая полупростая комплексная связная подгруппа Ли и пусть K ⊂ H — максимальная компактная подгруппа .

1. Если существует неприводимое эрмитово симметрическое пространство вида G /(U(1) · K ), то H и C *· H являются несимметричными неприводимыми аффинными группами голономии, где V — касательное представление K .
2. Если существует неприводимое кватернионно-кэлерово симметрическое пространство вида G /(Sp(1) · K ), то H является несимметричной неприводимой аффинной группой голономии, как и C * · H , если dim V = 4. Здесь комплексифицированное касательное представление Sp(1) · K равно C ² ⊗ V , и H сохраняет комплексную симплектическую форму на V .

Эти два семейства дают все несимметричные неприводимые комплексные аффинные группы голономии, за исключением следующих:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{2n}\right)\\G_{2}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{7}\right)\\\mathrm {Spin} (7,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{8}\right).\end{aligned}}}$

Используя классификацию эрмитовых симметрических пространств, первое семейство дает следующие комплексные аффинные группы голономии:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (m,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{m}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{16}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot E_{6}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{27}\right)\end{aligned}}}$

где Z _C либо тривиально, либо группа C *.

Используя классификацию кватернионно-кэлеровых симметричных пространств, второе семейство дает следующие комплексные симплектические группы голономии:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\(Z_{\mathbf {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbf {C} ^{2}\right)\\\mathrm {Sp} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda _{0}^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{14}\right)\\\mathrm {SL} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\\\mathrm {Spin} (12,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{32}\right)\\E_{7}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{56}\right)\\\end{aligned}}}$

(Во второй строке Z _C должно быть тривиальным, если только n = 2.)

Из этих списков можно наблюдать аналог результата Саймонса о том, что римановы группы голономии действуют транзитивно на сферах: комплексные представления голономии являются предоднородными векторными пространствами . Концептуальное доказательство этого факта неизвестно.

Классификацию неприводимых действительных аффинных голономий можно получить путем тщательного анализа, используя приведенные выше списки и тот факт, что действительные аффинные голономии усложняются до комплексных.

Этимология

Существует похожее слово, « голоморфный », которое было введено двумя учениками Коши , Брио (1817–1882) и Буке (1819–1895), и происходит от греческого ὅλος ( holos ), что означает «целый», и μορφή ( morphē ), что означает «форма» или «внешний вид». ^[14] Этимология «голономии» разделяет первую часть с «голоморфным» ( holos ). О второй части:

«Необычайно сложно найти этимологию голономии (или голономии) в Интернете. Я нашел следующее (спасибо Джону Конвею из Принстона): «Я полагаю, что это слово впервые использовал Пуансо в своем анализе движения твердого тела. В этой теории система называется «голономной», если в определенном смысле можно восстановить глобальную информацию из локальной информации, поэтому значение «полный закон» вполне уместно. Катание шара по столу является неголономным, потому что катя его по разным путям к одной и той же точке, можно по-разному его ориентировать. Однако, возможно, было бы слишком упрощенно утверждать, что «голономия» означает «полный закон». Корень «nom» имеет много переплетенных значений в греческом языке и, возможно, чаще всего относится к «подсчету». Он происходит от того же индоевропейского корня, что и наше слово «число». ' »

—  С. Голвала, ^[15]

См. νόμος ( номос ) и -номия.

Смотрите также

• прецессия Томаса

Примечания

1. Кобаяши и Номидзу 1963, §II.7
2. Шарп 1997, §3.7
3. Спивак 1999, стр. 241
4. Штернберг 1964, Теорема VII.1.2
5. Кобаяши и Номидзу 1963, Том I, §II.8
6. Кобаяши и Номидзу 1963, §IV.5
7. Эта теорема обобщается на неодносвязные многообразия, но формулировка более сложная.
8. Кобаяши и Номидзу 1963, §IV.6
9. Брайант, Роберт Л. (1996), «Классические, исключительные и экзотические голономии: отчет о состоянии» (PDF) , Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) , Sémin. Конгресс, том. 1, Соц. Математика. Франция, Париж, стр. 93–165, ISBN. 2-85629-047-7, г-н  1427757
10. Lawson & Michelsohn 1989, §IV.9–10
11. Баум и др. 1991
12. Губсер, С., Губсер С. и др. (ред.), Специальная голономия в теории струн и М-теории+ Губсер, Стивен С. (2004), Струны, браны и дополнительные измерения, TASI 2001. Лекции, прочитанные на школе TASI 2001, Боулдер, Колорадо, США, 4–29 июня 2001 г. , River Edge, NJ: World Scientific, стр. 197–233, arXiv : hep-th/0201114 , ISBN 978-981-238-788-2.
13. Пфау, Дэвид; Хиггинс, Ирина; Ботев, Александр; Раканиер, Себастьен (2020), «Распутывание с помощью диффузии подпространства», Достижения в области нейронных систем обработки информации , arXiv : 2006.12982
14. Маркушевич 2005
15. Голвала 2007, стр. 65–66

Ссылки

• Агрикола, Илка (2006), «Лекции Срни по неинтегрируемым геометриям с кручением», Arch. Math. , 42 : 5–84, arXiv : math/0606705 , Bibcode : 2006math......6705A
• Эмброуз, Уоррен ; Сингер, Изадор (1953), «Теорема о голономии», Труды Американского математического общества , 75 (3): 428–443, doi : 10.2307/1990721 , JSTOR  1990721
• Баум, Х .; Фридрих, Т.; Грюневальд, Р.; Кэт, И. (1991), Твисторы и спиноры Киллинга на римановых многообразиях , Teubner-Texte zur Mathematik, vol. 124, Б. Г. Тойбнер, ISBN 9783815420140
• Бергер, Марсель (1953), «Sur les groups d'holonomie homogènes des variétés a connexion affines et des variétés riemanniennes», Bull. Соц. Математика. France , 83 : 279–330, MR  0079806, заархивировано из оригинала 4 октября 2007 г.
• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 10, Шпрингер-Верлаг , ISBN 978-3-540-15279-8
• Бонан, Эдмонд (1965), «Структура presque quaternale sur une variété différentiable», CR Acad. наук. Париж , 261 : 5445–8..
• Бонан, Эдмонд (1966), «Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 или Spin (7)», CR Acad. наук. Париж , 320 : 127–9.].
• Борель, Арман ; Лихнерович, Андре (1952), "Groupes d'holonomie des variétés riemanniennes", Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 234 : 1835–7, MR  0048133
• Брайант, Роберт Л. (1987), «Метрики с исключительной голономией», Annals of Mathematics , 126 (3): 525–576, doi :10.2307/1971360, JSTOR  1971360.
• Брайант, Роберт Л. (1991), «Две экзотические голономии в размерности четыре, геометрии путей и теория твисторов», Комплексная геометрия и теория Ли , Труды симпозиумов по чистой математике, т. 53, стр. 33–88, doi : 10.1090/pspum/053/1141197 , ISBN 9780821814925
• Брайант, Роберт Л. (2000), «Последние достижения в теории голономии», Asterisque , Séminaire Bourbaki 1998–1999, 266 : 351–374, arXiv : math/9910059
• Картан, Эли (1926), «Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann», Bulletin de la Société Mathématique de France , 54 : 214–264, doi : 10.24033/bsmf.1105 , ISSN  0037-9484, MR  1504900
• Картан, Эли (1927), «Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann», Bulletin de la Société Mathématique de France , 55 : 114–134, doi : 10.24033/bsmf.1113 , ISSN  0037-9484
• Чи, Куо-Шин; Меркулов, Сергей А.; Шваххёфер, Лоренц Й. (1996), «О неполноте списка представлений голономии Бергера», Invent. Math. , 126 (2): 391–411, arXiv : dg-da/9508014 , Bibcode : 1996InMat.126..391C, doi : 10.1007/s002220050104, S2CID  119124942
• Голвала, С. (2007), Конспект лекций по классической механике для физики 106ab (PDF)
• Джойс, Д. (2000), Компактные многообразия со специальной голономией , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850601-0
• Кобаяси, С.; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии, т. 1 и 2 (новое издание), Wiley-Interscience (опубликовано в 1996 году), ISBN 978-0-471-15733-5
• Kraines, Vivian Yoh (1965), «Топология кватернионных многообразий», Bull. Amer. Math. Soc. , 71, 3, 1 (3): 526–7, doi : 10.1090/s0002-9904-1965-11316-7.
• Лоусон, Х.Б.; Михельсон, М.Л. (1989), Геометрия спина , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5
• Лихнерович, Андре (2011) [1976], Глобальная теория связей и групп голономии , Springer, ISBN 9789401015523
• Маркушевич, А.И. (2005) [1977], Сильверман, Ричард А. (ред.), Теория функций комплексной переменной (2-е изд.), Американское математическое общество , стр. 112, ISBN 978-0-8218-3780-1
• Меркулов, Сергей А.; Шваххёфер, Лоренц Й. (1999), «Классификация неприводимых голономий аффинных связностей без кручения», Annals of Mathematics , 150 (1): 77–149, arXiv : math/9907206 , doi : 10.2307/121098, JSTOR  121098, S2CID  17314244 ; Меркулов Сергей; Шваххёфер, Лоренц (1999), «Дополнение», Ann. математики. , 150 (3): 1177–9, arXiv : math/9911266 , doi : 10.2307/121067, JSTOR  121067, S2CID  197437925..
• Олмос, К. (2005), «Геометрическое доказательство теоремы Бергера о голономии», Annals of Mathematics , 161 (1): 579–588, doi : 10.4007/annals.2005.161.579
• Шарп, Ричард В. (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94732-7, МР  1453120
• Шваххёфер, Лоренц Й. (2001), «Связи с неприводимыми представлениями голономии», Успехи в математике , 160 (1): 1–80, doi : 10.1006/aima.2000.1973
• Саймонс, Джеймс (1962), «О транзитивности систем голономии», Annals of Mathematics , 76 (2): 213–234, doi :10.2307/1970273, JSTOR  1970273, MR  0148010
• Спивак, Майкл (1999), Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию , т. II, Хьюстон, Техас: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3
• Штернберг, С. (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Челси, ISBN 978-0-8284-0316-0

Дальнейшее чтение

• Литература о многообразиях специальной голономии, библиография Фредерика Витта.