Унитарная группа

В математике унитарная группа степени n , обозначаемая U( n ), представляет собой группу унитарных матриц размера n × n с групповой операцией умножения матриц . Унитарная группа является подгруппой общей линейной группы GL( n , C ) . Гиперортогональная группа — это архаичное название унитарной группы, особенно над конечными полями . О группе унитарных матриц с определителем 1 см. Специальную унитарную группу .

В простом случае n = 1 группа U(1) соответствует группе кругов , состоящей из всех комплексных чисел с абсолютным значением 1 при умножении. Все унитарные группы содержат копии этой группы.

Унитарная группа U( ⁿ) является вещественной группой Ли размерности n2 . Алгебра Ли U( n ) состоит из косоэрмитовых матриц размера n × n со скобкой Ли, заданной коммутатором .

Общая унитарная группа (также называемая группой унитарных подобий ) состоит из всех матриц A таких, что A ^∗A является ненулевым кратным единичной матрицы и является просто произведением унитарной группы на группу всех положительных кратных матрицы. единичная матрица.

Характеристики

Поскольку определитель унитарной матрицы является комплексным числом с нормой $1$ , определитель дает групповой гомоморфизм

\det \colon \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1).

Ядром этого гомоморфизма является множество унитарных матриц с определителем $1$ . Эта подгруппа называется специальной унитарной группой и обозначается $SU(n)$ . Тогда мы имеем короткую точную последовательность групп Ли:

1\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1)\to 1.

Приведенное выше отображение $U(n)$ в $U(1)$ имеет раздел: мы можем рассматривать $U(1)$ как подгруппу $U(n)$ , которые являются диагональными с $e iθ$ в верхнем левом углу и $1$ на остальной части диагонали. . Следовательно, $U(n)$ является полупрямым произведением U $(1)$ на $SU(n)$ .

Унитарная группа $U(n)$ не является абелевой при $n > 1$ . Центром U ( $n$ $)$ является множество скалярных матриц $λI$ с $λ$ $\in$ $U(1)$ ; это следует из леммы Шура . Тогда центр изоморфен $U(1)$ . Поскольку центр $U($ $n$ $)$ является $1$ -мерной абелевой нормальной подгруппой U $($ $n$ $)$ , унитарная группа не является полупростой , но она редуктивна .

Топология

Унитарная группа U( n ) наделена относительной топологией как подмножество M( n , C ) — набора всех комплексных матриц размера n × n , которое само по себе гомеоморфно 2 n ² -мерному евклидову пространству .

Как топологическое пространство U( n ) одновременно компактно и связно . Чтобы показать, что U( n ) связна, напомним, что любую унитарную матрицу A можно диагонализовать другой унитарной матрицей S. Любая диагональная унитарная матрица должна иметь на главной диагонали комплексные числа с абсолютным значением 1. Поэтому мы можем написать

A=S\,\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.

Тогда путь в U( n ) от единицы к A определяется формулой

t\mapsto S\,\operatorname {diag} \left(e^{it\theta _{1}},\dots ,e^{it\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.

Унитарная группа не просто связна ; фундаментальная группа U( n ) является бесконечной циклической для всех n : ^[1]

\pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \mathbf {Z} .

Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что приведенное выше расщепление U( n ) как полупрямого произведения SU( n ) и U(1) индуцирует топологическую структуру произведения на U( n ), так что

\pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{1}(\operatorname {SU} (n))\times \pi _{1}(\operatorname {U} (1)).

Теперь первая унитарная группа U(1) топологически представляет собой круг , который, как известно, имеет фундаментальную группу, изоморфную Z , но при этом является односвязным. ^[2] $\operatorname {SU} (n)$

Детерминантное отображение det: U( n ) → U(1) индуцирует изоморфизм фундаментальных групп, причем расщепление U(1) → U( n ) индуцирует обратное.

Группа Вейля U( n ) — это симметрическая группа Sn , _{действующая} на диагональном торе путем перестановки элементов:

\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\mapsto \operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{\sigma (1)}},\dots ,e^{i\theta _{\sigma (n)}}\right)

Связанные группы

2 из 3 объектов

Унитарная группа — это трехкратное пересечение ортогональных , комплексных и симплектических групп :

\operatorname {U} (n)=\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {GL} (n,\mathbf {C} )\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} ).

Таким образом, унитарную структуру можно рассматривать как ортогональную структуру, комплексную структуру и симплектическую структуру, которые должны быть совместимыми (это означает, что используется один и тот же J в комплексной структуре и симплектической форме, и что этот J ортогонален). ; запись всех групп в виде матричных групп фиксирует J (ортогональную) и обеспечивает совместимость).

Фактически, это пересечение любых двух из этих трёх; таким образом, совместимая ортогональная и комплексная структура порождает симплектическую структуру и так далее. ^[3]^[4]

На уровне уравнений это можно увидеть следующим образом:

{\begin{array}{r|r}{\text{Symplectic}}&A^{\mathsf {T}}JA=J\\\hline {\text{Complex}}&A^{-1}JA=J\\\hline {\text{Orthogonal}}&A^{\mathsf {T}}=A^{-1}\end{array}}

Любые два из этих уравнений влекут за собой третье.

На уровне форм это можно увидеть, разложив эрмитову форму на действительную и мнимую части: действительная часть симметрична (ортогональна), а мнимая часть кососимметрична (симплектична) — и они связаны комплексным соотношением структура (которая является совместимостью). На почти кэлеровом многообразии это разложение можно записать как $h = g + iω$ , где $h$ — эрмитова форма, $g$ — риманова метрика , $i$ — почти комплексная структура , а $ω$ — почти симплектическая структура .

С точки зрения групп Ли это частично можно объяснить следующим образом: O(2 n ) — максимальная компактная подгруппа GL (2 n , R ) , а U( n ) — максимальная компактная подгруппа обеих GL( n , C ) и Sp(2 n ). Таким образом, пересечение O(2 n ) ∩ GL( n , C ) или O(2 n ) ∩ Sp(2 n ) является максимальной компактной подгруппой обеих из них, поэтому U( n ). С этой точки зрения неожиданным является пересечение GL( n , C ) ∩ Sp(2 n ) = U( n ) .

Специальные унитарные и проективные унитарные группы

Так же, как ортогональная группа O( n ) имеет специальную ортогональную группу SO( n ) в качестве подгруппы и проективную ортогональную группу PO( n ) в качестве фактора и проективную специальную ортогональную группу PSO( n ) в качестве подфактора , унитарная группа U( n ) связал с собой специальную унитарную группу SU( n ), проективную унитарную группу PU( n ) и проективную специальную унитарную группу PSU( n ). Они связаны коммутативной диаграммой справа; примечательно, что обе проективные группы равны: PSU( n ) = PU( n ) .

Вышеупомянутое относится к классической унитарной группе (над комплексными числами) - для унитарных групп над конечными полями аналогичным образом получаются специальные унитарные и проективные унитарные группы, но в общем случае . $\operatorname {PSU} \left(n,q^{2}\right)\neq \operatorname {PU} \left(n,q^{2}\right)$

G-структура: почти эрмитова

На языке G-структур многообразие с U( n )-структурой является почти эрмитовым многообразием .

Обобщения

С точки зрения теории Ли классическая унитарная группа является вещественной формой группы Стейнберга , которая представляет собой алгебраическую группу , возникающую в результате комбинации диаграммного автоморфизма общей линейной группы (обращающей _{диаграмму} Дынкина An , которая соответствует транспонированию обратного) и полевой автоморфизм расширения C / R (а именно комплексное сопряжение ). Оба этих автоморфизма являются автоморфизмами алгебраической группы, имеют порядок 2 и коммутируют, а унитарная группа является неподвижными точками автоморфизма произведения как алгебраической группы. Классическая унитарная группа является вещественной формой этой группы, соответствующей стандартной эрмитовой форме Ψ, которая положительно определена. ${}^{2}\!A_{n}$

Это можно обобщить несколькими способами:

обобщение на другие эрмитовые формы дает неопределенные унитарные группы U( p , q ) ;
расширение поля может быть заменено любой сепарабельной алгеброй степени 2, особенно расширением степени 2 конечного поля;
обобщение на другие диаграммы дает другие группы лиева типа , а именно другие группы Стейнберга (помимо ) и группы Сузуки-Ри. ${}^{2}\!D_{n},{}^{2}\!E_{6},{}^{3}\!D_{4},$ ${}^{2}\!A_{n}$
${}^{2}\!B_{2}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!F_{4}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!G_{2}\left(3^{2n+1}\right);$
рассматривая обобщенную унитарную группу как алгебраическую группу, можно брать ее точки над различными алгебрами.

Неопределенные формы

Аналогично неопределенным ортогональным группам , можно определить неопределенную унитарную группу , рассматривая преобразования, сохраняющие заданную эрмитову форму, не обязательно положительно определенную (но обычно считающуюся невырожденной). Здесь мы работаем с векторным пространством над комплексными числами.

Учитывая эрмитову форму Ψ в комплексном векторном пространстве V , унитарная группа U(Ψ) — это группа преобразований, сохраняющих форму: преобразование M такое, что Ψ( Mv , Mw ) = Ψ( v , w ) для всех v , ш ∈ V . В терминах матриц, представляющих форму матрицей, обозначаемой Φ, это говорит о том, что M ^∗ Φ M = Φ .

Так же, как и для симметричных форм над действительными числами, эрмитовы формы определяются сигнатурой и все унитарно конгруэнтны диагональной форме с p элементами, равными 1 на диагонали, и q элементами, равными −1. Предположение о невырожденности эквивалентно тому, что p + q = n . В стандартном базисе это представляется в виде квадратичной формы:

\lVert z\rVert _{\Psi }^{2}=\lVert z_{1}\rVert ^{2}+\dots +\lVert z_{p}\rVert ^{2}-\lVert z_{p+1}\rVert ^{2}-\dots -\lVert z_{n}\rVert ^{2}

и в симметричной форме:

\Psi (w,z)={\bar {w}}_{1}z_{1}+\cdots +{\bar {w}}_{p}z_{p}-{\bar {w}}_{p+1}z_{p+1}-\cdots -{\bar {w}}_{n}z_{n}.

Полученная группа обозначается U( p , q ) .

Конечные поля

Над конечным полем с q = p ^r элементами F _q существует единственное поле квадратичного расширения F _{q ²} с автоморфизмом порядка 2 ( r -я степень автоморфизма Фробениуса ). Это позволяет определить эрмитову форму на векторном пространстве F _q_² V как F _q -билинейное отображение такое, что и для c ∈ F _q_² . ^[^{необходимо разъяснение}^] Кроме того, все невырожденные эрмитовы формы в векторном пространстве над конечным полем унитарно конгруэнтны стандартной форме, представленной единичной матрицей; то есть любая эрмитова форма унитарно эквивалентна $\alpha \colon x\mapsto x^{q}$ $\Psi \colon V\times V\to K$ $\Psi (w,v)=\alpha \left(\Psi (v,w)\right)$ $\Psi (w,cv)=c\Psi (w,v)$

\Psi (w,v)=w^{\alpha }\cdot v=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{q}v_{i}

где представляют координаты w , v ∈ V в некотором конкретном F _q_² -базисе n -мерного пространства V (Гроув 2002, теор. 10.3). $w_{i},v_{i}$

Таким образом, можно определить (единственную) унитарную группу размерности n для расширения F _{q ²} / F _q , обозначаемую либо как U( n , q ) , либо U( n , q ² ) в зависимости от автора. Подгруппа унитарной группы, состоящая из матриц определителя 1, называется специальной унитарной группой и обозначается SU( n , q ) или SU( n , q ² ) . Для удобства в этой статье будет использоваться ^{соглашение} U( n , q2 ) . Центр U( n , q ² ) имеет порядок q + 1 и состоит из унитарных скалярных матриц, то есть матриц cI _V с . Центр специальной унитарной группы имеет порядок НОД( n , q + 1) и состоит из тех унитарных скаляров, которые также имеют порядок, делящий n . Фактор унитарной группы по ее центру называется проективной ^{унитарной}группой PU ( n , q2 ) , а фактор специальной унитарной группы по ее центру — проективной специальной унитарной группой PSU( n , q2 ⁾ . В большинстве случаев ( n > 1 и ( n , q ² ) ∉ {(2, 2 ² ), (2, 3 ² ), (3, 2 ² )} ), SU( n , q ² ) является совершенной группой. и PSU( n , q2 ) — конечная простая группа (Grove 2002, Thm. 11.22 и 11.26) ^. $c^{q+1}=1$

Сепарабельные алгебры степени 2

В более общем смысле, учитывая поле k и сепарабельную k -алгебру K степени 2 (которая может быть расширением поля, но не обязательно), можно определить унитарные группы относительно этого расширения.

Во-первых, существует единственный k -автоморфизм группы K , который является инволюцией и фиксирует ровно k ( тогда и только если a ∈ k ). ^[5] Это обобщает комплексное сопряжение и сопряжение конечных расширений полей степени 2 и позволяет определять эрмитовы формы и унитарные группы, как указано выше. $a\mapsto {\bar {a}}$ $a={\bar {a}}$

Алгебраические группы

Уравнения, определяющие унитарную группу, представляют собой полиномиальные уравнения над k (но не над K ): для стандартной формы $Φ = I$ уравнения задаются в матрицах как $A * A = I$ , где – сопряженный транспонирование . В другой форме это $A$ $*$ $Φ$ $A$ $= Φ$ . Таким образом, унитарная группа является алгебраической группой , точки которой над k -алгеброй R задаются формулой: $A^{*}={\bar {A}}^{\mathsf {T}}$

\operatorname {U} (n,K/k,\Phi )(R):=\left\{A\in \operatorname {GL} (n,K\otimes _{k}R):A^{*}\Phi A=\Phi \right\}.

Для расширения поля C / R и стандартной (положительно определенной) эрмитовой формы они дают алгебраическую группу с действительными и комплексными точками, заданными формулой:

{\begin{aligned}\operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {R} )&=\operatorname {U} (n)\\\operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {C} )&=\operatorname {GL} (n,\mathbf {C} ).\end{aligned}}

Фактически унитарная группа является линейной алгебраической группой .

Унитарная группа квадратичного модуля

Унитарная группа квадратичного модуля является обобщением только что определенной линейной алгебраической группы U, которая включает в себя в качестве частных случаев множество различных классических алгебраических групп . Это определение восходит к тезису Энтони Бака. ^[6]

Чтобы определить его, нужно сначала определить квадратичные модули:

Пусть R — кольцо с антиавтоморфизмом J такое, что для всех r в R и . Определять $\varepsilon \in R^{\times }$ $r^{J^{2}}=\varepsilon r\varepsilon ^{-1}$ $\varepsilon ^{J}=\varepsilon ^{-1}$

{\begin{aligned}\Lambda _{\text{min}}&:=\left\{r\in R\ :\ r-r^{J}\varepsilon \right\},\\\Lambda _{\text{max}}&:=\left\{r\in R\ :\ r^{J}\varepsilon =-r\right\}.\end{aligned}}

Пусть $Λ \subseteq R$ — аддитивная подгруппа группы R , тогда Λ называется параметром формы, если и . Пара $($ $R$ $, Λ)$ , такая что R — кольцо, а Λ — параметр формы, называется кольцом формы . $\Lambda _{\text{min}}\subseteq \Lambda \subseteq \Lambda _{\text{max}}$ $r^{J}\Lambda r\subseteq \Lambda$

Пусть M — R -модуль и f — J -полуторалинейная форма на M (т. е. для любых и ). Определим и , тогда говорят, что f определяет Λ -квадратичную форму $($ $h$ $,$ $q$ $)$ на M . Квадратичный модуль над $($ $R$ $, Λ)$ — это тройка $($ $M$ $,$ $h$ $,$ $q$ $)$ такая, что M — R -модуль и $($ $h$ $,$ $q$ $)$ — Λ-квадратичная форма. $f(xr,ys)=r^{J}f(x,y)s$ $x,y\in M$ $r,s\in R$ $h(x,y):=f(x,y)+f(y,x)^{J}\varepsilon \in R$ $q(x):=f(x,x)\in R/\Lambda$

Любому квадратичному модулю $(M, h, q)$ , определенному J -полуторалинейной формой f на M над кольцом форм $(R, Λ),$ можно сопоставить унитарную группу

U(M):=\{\sigma \in GL(M)\ :\ \forall x,y\in M,h(\sigma x,\sigma y)=h(x,y){\text{ and }}q(\sigma x)=q(x)\}.

Особый случай, когда $Λ = Λ max$ , с J любой нетривиальной инволюцией (т. е. и $ε$ $= -1),$ возвращает «классическую» унитарную группу (как алгебраическую группу). $J\neq id_{R},J^{2}=id_{R}$

Полиномиальные инварианты

Унитарные группы представляют собой автоморфизмы двух многочленов от вещественных некоммутативных переменных:

{\begin{aligned}C_{1}&=\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(w^{2}+x^{2}\right)+\left(y^{2}+z^{2}\right)+\ldots \\C_{2}&=\left(uv-vu\right)+\left(wx-xw\right)+\left(yz-zy\right)+\ldots \end{aligned}}

Легко увидеть, что это действительные и воображаемые части сложной формы . Два инварианта по отдельности являются инвариантами O(2 n ) и Sp(2 n ). Вместе они составляют инварианты U( n ), которая является подгруппой обеих этих групп. Переменные должны быть некоммутативными в этих инвариантах, иначе второй полином будет тождественно нулю. $Z{\overline {Z}}$

Классификация пространства

Классифицирующее пространство для U( n ) описано в статье Классификационное пространство для U( n ) .

Смотрите также

Примечания

^ Зал 2015 г., Предложение 13.11.
^ Зал 2015 г., Предложение 13.11.
^ Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (Второе изд.). Спрингер. п. 225.
^ Баэз, Джон. «Симплектический, кватернионный, фермионный» . Проверено 1 февраля 2012 года .
^ Милн, Алгебраические группы и арифметические группы, с. 103
^ Бак, Энтони (1969), «О модулях с квадратичными формами», Алгебраическая K-теория и ее геометрические приложения (редакторы — Мосс RMF, Томас CB) Конспекты лекций по математике, Vol. 108, стр. 55-66, Спрингер. дои : 10.1007/BFb0059990