Многообразие Пуассона

Математическая структура дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии , области математики , многообразие Пуассона — это гладкое многообразие , наделенное структурой Пуассона. Понятие пуассоновского многообразия обобщает понятие симплектического многообразия , которое, в свою очередь, обобщает фазовое пространство из гамильтоновой механики .

Структура Пуассона (или скобка Пуассона) на гладком многообразии — это функция ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$$

векторном пространствефункцийалгебру Липравилу Лейбницаалгебра Пуассона ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Структуры Пуассона на многообразиях были введены Андре Лихнеровичем в 1977 году ^[1] и названы в честь французского математика Симеона Дени Пуассона из-за их раннего появления в его работах по аналитической механике . ^[2]

Введение

От фазовых пространств классической механики к симплектическим и пуассоновским многообразиям

В классической механике фазовое пространство физической системы состоит из всех возможных значений переменных положения и импульса, допускаемых системой. Естественным образом она наделена скобкой Пуассона/симплектической формой (см. ниже), которая позволяет формулировать уравнения Гамильтона и описывать динамику системы через фазовое пространство во времени.

Например, отдельная частица, свободно движущаяся в -мерном евклидовом пространстве (т.е. имеющая в качестве конфигурационного пространства ), имеет фазовое пространство . Координаты описывают соответственно положения и обобщенные импульсы. Пространство наблюдаемых , т.е. гладких функций на , естественно наделено бинарной операцией, называемой скобкой Пуассона , определяемой как . Такая скобка удовлетворяет стандартным свойствам скобки Ли , а также дополнительной совместимости с произведением функций, а именно тождеству Лейбница . Эквивалентно, скобку Пуассона можно переформулировать, используя симплектическую форму . Действительно, если рассматривать гамильтоново векторное поле, связанное с функцией , то скобку Пуассона можно переписать как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (q^{1},...,q^{n},p_{1},...,p_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)}$ ${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=g\cdot \{f,h\}+\{f,g\}\cdot h}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \omega :=\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}}$ ${\displaystyle X_{f}:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}\partial _{q_{i}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}\partial _{p_{i}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g}).}$

В более абстрактных дифференциально-геометрических терминах конфигурационное пространство представляет собой -мерное гладкое многообразие , а фазовое пространство — его кокасательное расслоение (многообразие размерности ). Последняя естественным образом снабжена канонической симплектической формой , которая в канонических координатах совпадает с описанной выше. В общем, по теореме Дарбу любое произвольное симплектическое многообразие допускает специальные координаты, где форма и скобка эквивалентны соответственно симплектической форме и скобке Пуассона . Таким образом, симплектическая геометрия является естественной математической основой для описания классической гамильтоновой механики. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Многообразия Пуассона являются дальнейшими обобщениями симплектических многообразий, которые возникают путем аксиоматизации свойств, которым удовлетворяет скобка Пуассона на . Точнее, многообразие Пуассона состоит из гладкого многообразия (не обязательно четной размерности) вместе с абстрактной скобкой , еще называемой скобкой Пуассона, которая не обязательно возникает из симплектической формы , но удовлетворяет тем же алгебраическим свойствам. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \omega }$

Геометрия Пуассона тесно связана с симплектической геометрией: например, каждая скобка Пуассона определяет слоение многообразия на симплектические подмногообразия . Однако изучение пуассоновой геометрии требует методов, которые обычно не используются в симплектической геометрии, таких как теория группоидов и алгеброидов Ли .

Более того, существуют естественные примеры структур, которые должны быть «морально» симплектическими, но обнаруживать особенности, т. е. их «симплектической форме» следует позволить вырождаться. Например, гладкий фактор симплектического многообразия по группе, действующей симплектоморфизмами , представляет собой многообразие Пуассона, которое, вообще говоря, не является симплектическим. Эта ситуация моделирует случай физической системы, инвариантной относительно симметрий : «редуцированное» фазовое пространство, полученное факторизацией исходного фазового пространства по симметриям, вообще говоря, уже не является симплектическим, а является пуассоновским.

История

Хотя современное определение многообразия Пуассона появилось лишь в 70–80-х годах, его зарождение восходит к XIX веку. Алан Вайнштейн синтезировал раннюю историю пуассоновой геометрии следующим образом:

«Пуассон изобрел свои скобки как инструмент классической динамики. Якоби осознал важность этих скобок и объяснил их алгебраические свойства, а Ли начал изучение их геометрии». ^[3]

Действительно, Симеон Дени Пуассон ввел в 1809 году то, что мы сейчас называем скобкой Пуассона, чтобы получить новые интегралы движения , то есть величины, которые сохраняются на протяжении всего движения. ^[4] Точнее, он доказал, что если две функции и являются интегралами движения, то существует третья функция, обозначаемая , которая также является интегралом движения. В гамильтоновой формулировке механики , где динамика физической системы описывается заданной функцией (обычно энергией системы), интеграл движения - это просто функция , коммутирующая по Пуассону с , т. е. такая, что . То, что станет известно как теорема Пуассона, можно будет тогда сформулировать как ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{f,g\}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \{f,h\}=0}$

$${\displaystyle \{f,h\}=0,\{g,h\}=0\Rightarrow \{\{f,g\},h\}=0.}$$

Карлом Густавом Якобом Якоби^[2]скобкой (Ли)гамильтоновых векторных полей

$${\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$$

^[5]Софуса Лидифференциальных уравненийгрупп Лиалгебр Ли

В двадцатом веке развилась современная дифференциальная геометрия, но только в 1977 году Андре Лихнерович представил структуры Пуассона как геометрические объекты на гладких многообразиях. ^[1] Пуассоновы многообразия были дополнительно изучены в основополагающей статье Алана Вайнштейна 1983 года , где впервые были доказаны многие основные структурные теоремы. ^[6]

Эти работы оказали огромное влияние в последующие десятилетия на развитие пуассоновой геометрии, которая сегодня является отдельной областью и в то же время глубоко переплетена, например, с некоммутативной геометрией , интегрируемыми системами , топологическими теориями поля и теорией представлений . .

Формальное определение

Существуют две основные точки зрения на определение пуассоновских структур: между ними привычно и удобно переключаться.

В качестве кронштейна

Пусть – гладкое многообразие, и пусть обозначает вещественную алгебру гладких вещественнозначных функций на , где умножение определено поточечно. Скобка Пуассона (или структура Пуассона ) на — билинейном отображении . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

определяющий структуру алгебры Пуассона на , т.е. удовлетворяющий следующим трем условиям: ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$

• Косая симметрия : . ${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$
• Личность Якоби : . ${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$
• Правило Лейбница : . ${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}$

Первые два условия гарантируют, что определяет структуру алгебры Ли на , а третье гарантирует, что для каждого линейное отображение является производным алгебры , т. е. оно определяет векторное поле , называемое гамильтоновым векторным полем, ассоциированным с . ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle f\in {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle X_{f}:=\{f,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle X_{f}\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle f}$

Выбирая локальные координаты , любая скобка Пуассона задается формулой ${\displaystyle (U,x^{i})}$

$${\displaystyle \{f,g\}_{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial x^{j}}},}$$

${\displaystyle \pi ^{ij}=\{x^{i},x^{j}\}}$

Как бивектор

Бивектор Пуассона на гладком многообразии — это бивекторное поле, удовлетворяющее нелинейному уравнению в частных производных , где ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M):=\Gamma {\big (}\wedge ^{2}TM{\big )}}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{{\mathfrak {X}}^{p}}(M)\times {{\mathfrak {X}}^{q}}(M)\to {{\mathfrak {X}}^{p+q-1}}(M)}$

обозначает скобку Схоутена–Нийенхейса на многовекторных полях. Выбирая локальные координаты , любой бивектор Пуассона определяется выражением ${\displaystyle (U,x^{i})}$

$${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$

${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle U}$

Эквивалентность определений

Пусть – билинейная кососимметричная скобка (также называемая почти скобкой Ли), удовлетворяющая правилу Лейбница; то функцию можно описать ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle \{f,g\}}$

$${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg),}$$

${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Тогда следующие условия интегрируемости эквивалентны:

• ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$удовлетворяет тождеству Якоби (следовательно, является скобкой Пуассона);
• ${\displaystyle \pi }$удовлетворяет (следовательно, это бивектор Пуассона); ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$
• отображение является гомоморфизмом алгебры Ли, т. е. гамильтоновы векторные поля удовлетворяют ; ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),f\mapsto X_{f}}$ ${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\{f,g\}}}$
• граф определяет структуру Дирака, т. е. лагранжево подрасслоение , замкнутое относительно стандартной скобки Куранта . ${\displaystyle {\rm {Graph}}(\pi )\subset TM\oplus T^{*}M}$ ${\displaystyle D\subset TM\oplus T^{*}M}$

Структура Пуассона без какого-либо из четырех вышеперечисленных требований также называется почти пуассоновской структурой . ^[5]

Голоморфные пуассоновские структуры

Определение структуры Пуассона для вещественных гладких многообразий также можно адаптировать к сложному случаю.

Голоморфное пуассоновское многообразие — это комплексное многообразие , пучок голоморфных функций которого является пучком алгебр Пуассона. Аналогично, напомним, что голоморфное бивекторное поле на комплексном многообразии — это такое сечение , что . Тогда голоморфная пуассоновская структура на является голоморфным бивекторным полем, удовлетворяющим уравнению . Голоморфные пуассоновы многообразия можно охарактеризовать также в терминах структур Пуассона-Ниженхейса. ^[7] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi \in \Gamma (\wedge ^{2}T^{1,0}M)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\pi =0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

Многие результаты для реальных пуассоновских структур, например, относительно их интегрируемости, распространяются и на голоморфные. ^{[8] [9]}

Голоморфные пуассоновские структуры естественным образом возникают в контексте обобщенных комплексных структур : локально любое обобщенное комплексное многообразие является продуктом симплектического многообразия и голоморфного пуассонового многообразия. ^[10]

Симплектические листья

Многообразие Пуассона естественным образом разбивается на правильно погруженные симплектические многообразия возможно разных размерностей, называемые его симплектическими слоями . Они возникают как максимальные целочисленные подмногообразия вполне интегрируемого сингулярного слоения, натянутого на гамильтоновы векторные поля.

Ранг структуры Пуассона

Напомним, что любое бивекторное поле можно рассматривать как косой гомоморфизм . Таким образом, изображение состоит из значений всех гамильтоновых векторных полей, вычисленных при каждом значении . ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ ${\displaystyle {X_{f}}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$

Ранг в точке есть ранг индуцированного линейного отображения . Точка называется регулярной для пуассоновой структуры тогда и только тогда, когда ранг постоянен в открытой окрестности точки ; в противном случае она называется особой точкой . Регулярные точки образуют открытое плотное подпространство ; когда , т. е. отображение имеет постоянный ранг, пуассоновская структура называется регулярной . Примеры регулярных пуассоновских структур включают тривиальные и невырожденные структуры (см. ниже). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \pi _{x}^{\sharp }}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }\subseteq M}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }=M}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }}$ ${\displaystyle \pi }$

Обычный случай

Для регулярного многообразия Пуассона образ является регулярным распределением ; легко проверить, что оно инволютивно, следовательно, по теореме Фробениуса допускает разбиение на листы. Более того, бивектор Пуассона прекрасно ограничивается каждым листом, который, таким образом, становится симплектическим многообразием. ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ ${\displaystyle M}$

Нестандартный случай

Для нерегулярного пуассоновского многообразия ситуация сложнее, поскольку распределение сингулярно , т. е. векторные подпространства имеют разные размерности. ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{*}M)\subset T_{x}M}$

Целочисленное подмногообразие для — это линейно связное подмногообразие, удовлетворяющее всем . Целочисленные подмногообразия автоматически регулярно погружаются многообразия, а максимальные целые подмногообразия называются слоями . ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)}$ ${\displaystyle S\subseteq M}$ ${\displaystyle T_{x}S={\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{\ast }M)}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

При этом каждый лист несет естественную симплектическую форму , определяемую условием для всех и . Соответственно говорят о симплектических слоях . Более того, как пространство регулярных точек, так и его дополнение насыщены симплектическими слоями, поэтому симплектические слои могут быть как регулярными, так и особыми. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \omega _{S}\in {\Omega ^{2}}(S)}$ ${\displaystyle [{\omega _{S}}(X_{f},X_{g})](x)=-\{f,g\}(x)}$ ${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }}$

Теорема Вайнштейна о расщеплении

Чтобы показать существование симплектических слоев и в нерегулярном случае, можно использовать теорему о расщеплении Вайнштейна (или теорему Дарбу-Вайнштейна). ^[6] Он утверждает, что любое многообразие Пуассона локально распадается вокруг точки как произведение симплектического многообразия и трансверсального подмногообразия Пуассона, исчезающего в точке . Точнее, если существуют локальные координаты такие, что бивектор Пуассона распадается как сумма ${\displaystyle (M^{n},\pi )}$ ${\displaystyle x_{0}\in M}$ ${\displaystyle (S^{2k},\omega )}$ ${\displaystyle (T^{n-2k},\pi _{T})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {rank} (\pi _{x_{0}})=2k}$ ${\displaystyle (U,p_{1},\ldots ,p_{k},q^{1},\ldots ,q^{k},x^{1},\ldots ,x^{n-2k})}$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n-2k}\phi ^{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$

теорема Дарбу ${\displaystyle \phi ^{ij}(x_{0})=0}$ ${\displaystyle \pi }$

Примеры

Тривиальные структуры Пуассона

Каждое многообразие имеет тривиальную структуру Пуассона , эквивалентно описываемую бивектором . Поэтому каждая точка является нульмерным симплектическим листом. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{f,g\}=0}$ ${\displaystyle \pi =0}$ ${\displaystyle M}$

Невырожденные пуассоновские структуры.

Бивекторное поле называется невырожденным, если оно является изоморфизмом векторного расслоения. Невырожденные бивекторные поля Пуассона на самом деле представляют собой то же самое, что и симплектические многообразия . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

Действительно, существует биективное соответствие между невырожденными бивекторными полями и невырожденными 2-формами , заданное формулой ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1},}$$

скобкой Пуассона ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ^{\flat }:TM\to T^{*}M,\quad v\mapsto \omega (v,\cdot )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \{f,g\}:=\omega (X_{f},X_{g}).}$$

пуассоновским кольцом ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle ({\mathcal {C}}^{\infty }(M),\{\cdot ,\cdot \})}$

Линейные структуры Пуассона

Структура Пуассона в векторном пространстве называется линейной , если скобка двух линейных функций остается линейной. ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle V}$

Класс векторных пространств с линейными пуассоновскими структурами фактически совпадает с классом (двойственных) алгебр Ли . Действительно, двойственная к любой конечномерной алгебре Ли несет в себе линейную скобку Пуассона, известную в литературе под названиями структуры Ли-Пуассона, Кириллова-Пуассона или ККС ( Константа - Кириллова - Сурио ): ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$

$${\displaystyle \{f,g\}(\xi ):=\xi ([d_{\xi }f,d_{\xi }g]_{\mathfrak {g}}),}$$

${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*}),\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle d_{\xi }f,d_{\xi }g:T_{\xi }{\mathfrak {g}}^{*}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{**}\cong {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle \pi =\sum _{i,j,k}c_{k}^{ij}x^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$

структурные ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle c_{k}^{ij}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

И наоборот, любая линейная структура Пуассона на должна иметь этот вид, т. е. существует естественная структура алгебры Ли, индуцированная, на которой скобка Ли-Пуассона восстанавливает . ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=V^{*}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Симплектические слои структуры Ли-Пуассона на являются орбитами коприсоединенного действия на . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Послойно линейные пуассоновские структуры

Предыдущий пример можно обобщить следующим образом. Структура Пуассона на всем пространстве векторного расслоения называется послойно линейной, если скобка двух гладких функций , ограничения которых на слои линейны, остается линейной при ограничении на слои. Эквивалентно, бивекторное поле Пуассона должно удовлетворять для любого , где скалярное умножение . ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (m_{t})^{*}\pi =t\pi }$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle m_{t}:E\to E}$ ${\displaystyle v\mapsto tv}$

Класс векторных расслоений с линейными пуассоновскими структурами фактически совпадает с классом (двойственных) алгеброидов Ли . Действительно, двойственный алгеброид Ли имеет послойно линейную скобку Пуассона, ^[11] однозначно определяемую формулой ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle (A,[\cdot ,\cdot ])}$

$${\displaystyle \{\mathrm {ev} _{\alpha },\mathrm {ev} _{\beta }\}:=ev_{[\alpha ,\beta ]}\quad \quad \forall \alpha ,\beta \in \Gamma (A),}$$

${\displaystyle \mathrm {ev} _{\alpha }:A^{*}\to \mathbb {R} ,\phi \mapsto \phi (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \pi =\sum _{i,a}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{a<b,c}C_{ab}^{c}(x)y_{c}{\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial y_{b}}},}$$

${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle y_{a}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{a}^{i}}$ ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \rho (e_{a})=\sum _{i}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad \quad [e_{a},e_{b}]=\sum _{c}C_{ab}^{c}(x)e_{c}.}$$

^[12] ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A:=E^{*}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Симплектические листы — кокасательные расслоения алгеброидных орбит ; эквивалентно, если он интегрируется в группоид Ли , они являются компонентами связности орбит кокасательного группоида . ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$

Для восстанавливаются линейные пуассоновские структуры, а для послойно линейной пуассоновой структуры является невырожденная структура, заданная канонической симплектической структурой кокасательного расслоения . ${\displaystyle M=\{*\}}$ ${\displaystyle A=TM}$ ${\displaystyle T^{*}M}$

Другие примеры и конструкции

• Любое постоянное бивекторное поле в векторном пространстве автоматически является структурой Пуассона; действительно, все три члена якобиатора равны нулю, поскольку являются скобкой с постоянной функцией.
• Любое бивекторное поле на двумерном многообразии автоматически является структурой Пуассона; действительно, является 3-векторным полем, которое всегда равно нулю в размерности 2. ${\displaystyle [\pi ,\pi ]}$
• Учитывая любое бивекторное поле Пуассона на трехмерном многообразии , бивекторное поле для любого автоматически является пуассоновским. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\pi }$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$
• Декартово произведение двух пуассоновых многообразий и снова является пуассоновским многообразием. ${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$ ${\displaystyle (M_{0},\pi _{0})}$ ${\displaystyle (M_{1},\pi _{1})}$
• Пусть – (регулярное) слоение размерности on и замкнутая двуформа слоения, для которой степень никуда не обращается. Это однозначно определяет регулярную пуассоновскую структуру на, требуя, чтобы симплектические слои были слоями , снабженными индуцированной симплектической формой . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 2r}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega \in {\Omega ^{2}}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \omega ^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \omega |_{S}}$
• Пусть – группа Ли , действующая на пуассоновом многообразии диффеоморфизмами Пуассона. Если действие свободное и собственное , фактормногообразие наследует структуру Пуассона (а именно, оно единственное такое, субмерсия которого является отображением Пуассона). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle \pi _{M/G}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (M,\pi )\to (M/G,\pi _{M/G})}$

Когомологии Пуассона

Группы когомологий Пуассона пуассоновского многообразия - это группы когомологий коцепного комплекса. ${\displaystyle H^{k}(M,\pi )}$

$${\displaystyle \ldots \xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet }(M)\xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet +1}(M)\xrightarrow {d_{\pi }} \ldots \color {white}{\sum ^{i}}}$$

где оператор — скобка Схоутена-Нейенхейса с . Обратите внимание, что такая последовательность может быть определена для каждого бивектора на ; условие эквивалентно , т.е. является Пуассоновым. ${\displaystyle d_{\pi }=[\pi ,-]}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{\pi }\circ d_{\pi }=0}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$ ${\displaystyle M}$

Используя морфизм , можно получить морфизм комплекса де Рама в комплекс Пуассона , индуцирующий групповой гомоморфизм . В невырожденном случае это становится изоморфизмом, так что когомологии Пуассона симплектического многообразия полностью восстанавливают свои когомологии де Рама . ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(M),d_{dR})}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),d_{\pi })}$ ${\displaystyle H_{dR}^{\bullet }(M)\to H^{\bullet }(M,\pi )}$

Когомологии Пуассона в целом сложно вычислить, но группы низкой степени содержат важную геометрическую информацию о структуре Пуассона:

• ${\displaystyle H^{0}(M,\pi )}$– пространство функций Казимира , т.е. гладких функций, коммутирующих по Пуассону со всеми остальными (или, что то же самое, гладких функций, постоянных на симплектических слоях);
• ${\displaystyle H^{1}(M,\pi )}$– пространство векторных полей Пуассона по модулю гамильтоновых векторных полей;
• ${\displaystyle H^{2}(M,\pi )}$– пространство бесконечно малых деформаций пуассоновой структуры по модулю тривиальных деформаций;
• ${\displaystyle H^{3}(M,\pi )}$- это пространство препятствий для расширения бесконечно малых деформаций до реальных деформаций.

Модульный класс

Модульный класс пуассоновского многообразия — это класс первой группы когомологий Пуассона, который является препятствием к существованию формы объема, инвариантной относительно гамильтоновых потоков. ^[13] Его ввели Кошул ^[14] и Вайнштейн. ^[15]

Напомним, что дивергенция векторного поля относительно заданной формы объема — это функция, определяемая . Модульное векторное поле многообразия Пуассона относительно формы объема - это векторное поле , определяемое дивергенцией гамильтоновых векторных полей: . ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)={\frac {{\mathcal {L}}_{X}\lambda }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X_{\lambda }}$ ${\displaystyle X_{\lambda }:f\mapsto {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})}$

Модульное векторное поле является 1-пуассоновым коциклом, т.е. оно удовлетворяет . Более того, при наличии двух объемных форм и разность представляет собой гамильтоново векторное поле. Соответственно, класс когомологий Пуассона не зависит от первоначального выбора формы объема и называется модулярным классом пуассоновского многообразия. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{\lambda }}\pi =0}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle X_{\lambda _{1}}-X_{\lambda _{2}}}$ ${\displaystyle [X_{\lambda }]_{\pi }\in H^{1}(M,\pi )}$ ${\displaystyle \lambda }$

Пуассоновое многообразие называется унимодулярным, если его модульный класс обращается в нуль. Обратите внимание, что это происходит тогда и только тогда, когда существует форма объема, такая что модульное векторное поле обращается в нуль, т.е. для каждого ; другими словами, инвариантен относительно потока любого гамильтонова векторного поля. Например: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda }$

• симплектические структуры всегда унимодулярны, поскольку форма Лиувилля инвариантна относительно всех гамильтоновых векторных полей;
• для линейных структур Пуассона модульный класс является бесконечно малым модульным характером , поскольку модульное векторное поле, связанное со стандартной мерой Лебега на, является постоянным векторным полем на . Тогда оно унимодулярно как многообразие Пуассона тогда и только тогда, когда оно унимодулярно как алгебра Ли; ^[16] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Для регулярных пуассоновских структур модульный класс связан с классом Риба базового симплектического слоения (элемент первой полистной группы когомологий, который препятствует существованию объемной нормальной формы, инвариантной векторным полям, касательным к слоению). ^[17]

Гомологии Пуассона

Когомологии Пуассона были введены в 1977 году самим Лихнеровичем; ^[1] десять лет спустя Брылинский представил теорию гомологии для пуассоновых многообразий, используя оператор . ^[18] ${\displaystyle \partial _{\pi }=[d,\iota _{\pi }]}$

Было доказано несколько результатов, касающихся гомологии и когомологии Пуассона. ^[19] Например, для ориентируемых унимодулярных пуассоновых многообразий пуассоновы гомологии оказываются изоморфными когомологиям Пуассона: это было независимо доказано Сюй ^[20] и Эвансом-Лу-Вайнштейном. ^[16]

Карты Пуассона

Гладкое отображение пуассоновских многообразий называется ${\displaystyle \varphi :M\to N}$Отображение Пуассона, если оно соблюдает структуры Пуассона, т.е. выполняется одно из следующих эквивалентных условий (сравните с эквивалентными определениями структур Пуассона выше):

• скобки Пуассона и удовлетворяют для любых и гладких функций ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}_{M}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}_{N}}$ ${\displaystyle {\{f,g\}_{N}}(\varphi (x))={\{f\circ \varphi ,g\circ \varphi \}_{M}}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(N)}$
• бивекторные поля и -связаны , т.е. ${\displaystyle \pi _{M}}$ ${\displaystyle \pi _{N}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi _{N}=\varphi _{*}\pi _{M}}$
• векторные поля Гамильтона, связанные с каждой гладкой функцией, являются -связанными, т.е. ${\displaystyle H\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X_{H}=\varphi _{*}X_{H\circ \phi }}$
• дифференциал является морфизмом Дирака. ${\displaystyle d\varphi :(TM,{\rm {Graph}}(\pi _{M}))\to (TN,{\rm {Graph}}(\pi _{N}))}$

Аналогичным условиям со знаком минус на одной стороне удовлетворяет антипуассоновское отображение .

Многообразия Пуассона — это объекты категории с отображениями Пуассона в качестве морфизмов. Если отображение Пуассона также является диффеоморфизмом, то мы называем пуассон -диффеоморфизмом . ${\displaystyle {\mathfrak {Poiss}}}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle \varphi }$

Примеры

• Учитывая многообразие Пуассона произведения , канонические проекции для являются отображениями Пуассона. ${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$ ${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}:M_{0}\times M_{1}\to M_{i}}$ ${\displaystyle i\in \{0,1\}}$
• Отображение включения симплектического слоя или открытого подпространства является отображением Пуассона.
• Учитывая две алгебры Ли и , двойственный к любому гомоморфизму алгебры Ли индуцирует отображение Пуассона между их линейными структурами Пуассона. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Учитывая два алгеброида Ли и , двойственный к любому морфизму алгеброида Ли над единицей индуцирует отображение Пуассона между их послойно линейной структурой Пуассона. ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle B\to M}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle B^{*}\to A^{*}}$

Следует заметить, что понятие отображения Пуассона принципиально отличается от понятия симплектического отображения . Например, с их стандартными симплектическими структурами не существует отображений Пуассона , тогда как симплектических отображений предостаточно. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}$

Симплектические реализации

Симплектическая реализация на пуассоновом многообразии M состоит из симплектического многообразия вместе с отображением Пуассона , которое является сюръективной субмерсией. Грубо говоря, роль симплектической реализации состоит в том, чтобы «десингуляризировать» сложное (вырожденное) многообразие Пуассона путем перехода к более крупному, но более простому (невырожденному) многообразию. ${\displaystyle (P,\omega )}$ ${\displaystyle \phi :(P,\omega )\to (M,\pi )}$

Заметим, что некоторые авторы определяют симплектические реализации без этого последнего условия (так, например, включение симплектического слоя в симплектическое многообразие является примером) и называют полной симплектическую реализацию, где – сюръективное погружение. Примеры (полных) симплектических реализаций включают следующее: ${\displaystyle \phi }$

• Для тривиальной пуассоновой структуры в качестве кокасательного расслоения берется его каноническая симплектическая структура , а в качестве проекции . ${\displaystyle (M,0)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$
• Для невырожденной пуассоновской структуры в качестве самого многообразия и в качестве тождества принимают . ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M\to M}$
• Для структуры Ли-Пуассона на , в качестве кокасательного расслоения интегрирующей группы Ли и в качестве двойственного отображения дифференциала в единице (левого или правого) перевода . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T^{*}G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi :T^{*}G\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G\to G}$

Симплектическая реализация называется полной , если для любого полного гамильтонова векторного поля векторное поле также полно. В то время как симплектические реализации всегда существуют для каждого пуассоновского многообразия (и доступно несколько различных доказательств), полные ^{[6] [21] [22]} отсутствуют, и их существование играет фундаментальную роль в проблеме интегрируемости пуассоновых многообразий (см. ниже). . ^[23] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle X_{H\circ \phi }}$

Интегрирование многообразий Пуассона

Любое многообразие Пуассона индуцирует структуру алгеброида Ли на своем кокасательном расслоении , называемом также кокасательным алгеброидом . Карта привязки задается формулой, а скобка Ли определяется как ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle \Gamma (T^{*}M)=\Omega ^{1}(M)}$

$${\displaystyle [\alpha ,\beta ]:={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-\iota _{\pi ^{\sharp }(\beta )}d\alpha ={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-{\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\beta )}(\alpha )-d\pi (\alpha ,\beta ).}$$

${\displaystyle T^{*}M}$

• симплектическое слоение — обычное (сингулярное) слоение, индуцированное якорем алгеброида Ли;
• симплектические листы — это орбиты алгеброида Ли;
• пуассоновская структура на регулярна именно тогда, когда регулярен связанный с ней алгеброид Ли ; ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$
• группы когомологий Пуассона совпадают с группами когомологий алгеброида Ли с коэффициентами в тривиальном представлении; ${\displaystyle T^{*}M}$
• модулярный класс пуассоновского многообразия совпадает с модулярным классом ассоциированного с ним алгеброида Ли . ^[16] ${\displaystyle T^{*}M}$

Крайне важно отметить, что алгеброид Ли не всегда интегрируем с группоидом Ли. ${\displaystyle T^{*}M}$

Симплектические группоиды

Асимплектический группоид являетсягруппоидом Ли вместе с симплектической формой, которая также является мультипликативной, т. е. удовлетворяет следующей алгебраической совместимости с группоидным умножением:. Эквивалентно, графикпредполагается, что этолагранжевоподмногообразие. Среди нескольких последствий размерностьавтоматически в два раза превышает размерность. Понятие симплектического группоида было введено в конце 80-х годов независимо несколькими авторами. ^{[24][25][21][11]} ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle m^{*}\omega ={\rm {pr}}_{1}^{*}\omega +{\rm {pr}}_{2}^{*}\omega }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}},\omega \oplus \omega \oplus -\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle M}$

Фундаментальная теорема утверждает, что базовое пространство любого симплектического группоида допускает уникальную структуру Пуассона, такую, что исходная карта и целевая карта являются соответственно отображением Пуассона и антипуассоновым отображением. Более того, алгеброид Ли изоморфен кокасательному алгеброиду, ассоциированному с многообразием Пуассона . ^[26] И наоборот, если кокасательное расслоение пуассонового многообразия интегрируемо с некоторым группоидом Ли , то оно автоматически является симплектическим группоидом. ^[27] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle s:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$ ${\displaystyle t:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$ ${\displaystyle {\rm {Lie}}({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Соответственно, проблема интегрируемости пуассоновского многообразия состоит в нахождении (симплектического) группоида Ли, интегрирующего свой котангенсный алгеброид; когда это происходит, пуассоновская структура называется интегрируемой .

Хотя любое многообразие Пуассона допускает локальное интегрирование (т. е. симплектический группоид, в котором умножение определено только локально), ^[26] существуют общие топологические препятствия к его интегрируемости, вытекающие из теории интегрируемости алгеброидов Ли. ^[28] Используя такие препятствия, можно показать, что пуассоновское многообразие интегрируемо тогда и только тогда, когда оно допускает полную симплектическую реализацию. ^[23]

Кандидат на роль симплектического группоида, интегрирующего данное пуассоновское многообразие, называется гомотопическим группоидом Пуассона и представляет собой просто группоид Вайнштейна кокасательного алгеброида , состоящий из фактора банахова пространства специального класса путей в подходящим эквивалентным отношением. Эквивалентно, его можно описать как бесконечномерный симплектический фактор . ^[29] ${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$

Примеры интеграций

• Тривиальная структура Пуассона всегда интегрируема, симплектический группоид представляет собой расслоение абелевых (аддитивных) групп с канонической симплектической формой. ${\displaystyle (M,0)}$ ${\displaystyle T^{*}M\rightrightarrows M}$
• Невырожденная пуассоновская структура на всегда интегрируема, причем симплектический группоид является парным группоидом вместе с симплектической формой (при ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle s^{*}\omega -t^{*}\omega }$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1}}$
• Структура Ли-Пуассона на всегда интегрируема, симплектический группоид является ( косопряженным ) группоидом действия для односвязного интегрирования , вместе с канонической симплектической формой . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G\times {\mathfrak {g}}^{*}\rightrightarrows {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T^{*}G\cong G\times {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Структура Ли-Пуассона на интегрируема тогда и только тогда, когда алгеброид Ли интегрируем с группоидом Ли , причем симплектический группоид является кокасательным группоидом с канонической симплектической формой. ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$

Подмногообразия

Подмногообразие Пуассона — это погруженное подмногообразие такое, что отображение погружения является отображением Пуассона. Эквивалентно, можно спросить, что каждое гамильтоново векторное поле для касается касательно . ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle N\subseteq M}$ ${\displaystyle (N,\pi _{\mid N})\hookrightarrow (M,\pi )}$ ${\displaystyle X_{f}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle N}$

Это определение очень естественно и удовлетворяет нескольким хорошим свойствам, например, поперечное пересечение двух подмногообразий Пуассона снова является подмногообразием Пуассона. Однако у него есть и несколько проблем:

• Подмногообразия Пуассона редки: например, единственные подмногообразия Пуассона симплектического многообразия - это открытые множества;
• определение не ведет себя функториально: если отображение Пуассона трансверсально подмногообразию Пуассона , подмногообразие не обязательно является Пуассоновым. ${\displaystyle \Phi :(M,\pi _{M})\to (N,\pi _{N})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}(Q)}$ ${\displaystyle M}$

Чтобы преодолеть эти проблемы, часто используют понятие трансверсали Пуассона (первоначально называемое косимплектическим подмногообразием). ^[6] Это можно определить как подмногообразие , которое трансверсально каждому симплектическому листу и такое, что пересечение является симплектическим подмногообразием . Отсюда следует, что любая трансверсаль Пуассона наследует каноническую структуру Пуассона от . В случае невырожденного пуассоновского многообразия (единственным симплектическим слоем которого является оно само), пуассоновские трансверсали — это то же самое, что и симплектические подмногообразия. ${\displaystyle X\subseteq M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\cap S}$ ${\displaystyle (S,\omega _{S})}$ ${\displaystyle X\subseteq (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi _{X}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle M}$

Более общие классы подмногообразий играют важную роль в геометрии Пуассона, включая подмногообразия Ли – Дирака, подмногообразия Пуассона – Дирака, коизотропные подмногообразия и предпуассоновы подмногообразия. ^[30]

Смотрите также

• Многообразие Намбу – Пуассона
• Группа Пуассона – Ли
• Супермногообразие Пуассона
• Формула квантования Концевича

Рекомендации

1. Лихнерович, А. (1977). «Разновидности Пуассона и алгебры лжи». Дж. Диф. Геом. 12 (2): 253–300. дои : 10.4310/jdg/1214433987 . МР  0501133.
2. Косманн-Шварцбах, Иветт (29 ноября 2022 г.). «Семь концепций, приписываемых Симеону-Дени Пуассону». СИГМА. Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 18 : 092.arXiv : 2211.15946 . дои : 10.3842/SIGMA.2022.092 .
3. Вайнштейн, Алан (1 августа 1998 г.). «Пуассоновая геометрия». Дифференциальная геометрия и ее приложения . Симплектическая геометрия. 9 (1): 213–238. дои : 10.1016/S0926-2245(98)00022-9 . ISSN  0926-2245.
4. Пуассон, Симеон Дени (1809). «Sur la вариация произвольных констант в вопросах механики». Journal de l'École Polytechnique  [fr] (на французском языке). 15e cahier (8): 266–344 – через HathiTrust .
5. Сильва, Ана Каннас да; Вайнштейн, Алан (1999). Геометрические модели некоммутативных алгебр (PDF) . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0952-0. ОСЛК  42433917.
6. Вайнштейн, Алан (1 января 1983). «Локальная структура пуассоновских многообразий». Журнал дифференциальной геометрии . 18 (3). дои : 10.4310/jdg/1214437787 . ISSN  0022-040X.
7. Лоран-Жангу, К.; Стиенон, М.; Сюй, П. (08 июля 2010 г.). «Голоморфные пуассоновы многообразия и голоморфные алгеброиды Ли». Уведомления о международных математических исследованиях . 2008 год . arXiv : 0707.4253 . дои : 10.1093/imrn/rnn088. ISSN  1073-7928.
8. Лоран-Жангу, Камилла; Стьенон, Матье; Сюй, Пин (01 декабря 2009 г.). «Интегрирование голоморфных алгеброидов Ли». Математические Аннален . 345 (4): 895–923. arXiv : 0803.2031 . дои : 10.1007/s00208-009-0388-7. ISSN  1432-1807. S2CID  41629.
9. Брока, Дэмиен; Сюй, Пин (2022). «Симплектические реализации голоморфных пуассоновых многообразий». Письма о математических исследованиях . 29 (4): 903–944. arXiv : 1512.08847 . дои : 10.4310/MRL.2022.v29.n4.a1 . ISSN  1945-001X.
10. Бэйли, Майкл (1 августа 2013 г.). «Локальная классификация обобщающих сложных структур». Журнал дифференциальной геометрии . 95 (1). arXiv : 1201.4887 . дои : 10.4310/jdg/1375124607 . ISSN  0022-040X.
11. Косте, А.; Дазорд, П.; Вайнштейн, А. (1987). «Groupoïdessymplexiques» [Симплектические группоиды]. Публикации Департамента математики (Лион) (на французском языке) (2A): 1–62. ISSN  2547-6300.
12. Курант, Теодор Джеймс (1990). «Многообразия Дирака». Труды Американского математического общества . 319 (2): 631–661. дои : 10.1090/S0002-9947-1990-0998124-1 . ISSN  0002-9947.
13. Косманн-Шварцбах, Иветт (16 января 2008 г.). «Многообразия Пуассона, алгеброиды Ли, модульные классы: обзор». СИГМА. Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 4 : 005. arXiv : 0710.3098 . Бибкод : 2008SIGMA...4..005K. дои : 10.3842/SIGMA.2008.005 .
14. Кошул, Жан-Луи (1985). «Crochet de Schouten-Nijenhuis et cohomologie» [скобка Схоутена-Ниженхейса и когомологии]. Астериск (на французском языке). С131 : 257–271.
15. Вайнштейн, Алан (1 ноября 1997 г.). «Модулярная группа автоморфизмов пуассоновского многообразия». Журнал геометрии и физики . 23 (3): 379–394. Бибкод : 1997JGP....23..379W. дои : 10.1016/S0393-0440(97)80011-3. ISSN  0393-0440.
16. Эвенс, Сэм; Лу, Цзян-Хуа; Вайнштейн, Алан (1999). «Поперечные меры, модульный класс и спаривание когомологий для алгеброидов Ли». Ежеквартальный математический журнал . 50 (200): 417–436. arXiv : dg-ga/9610008 . дои : 10.1093/qjmath/50.200.417.
17. Абукатеб, Абдельхак; Бусетта, Мохамед (1 июля 2003 г.). «Модулярный класс регулярного пуассоновского многообразия и класс Риба его симплектического слоения». Comptes Rendus Mathematique . 337 (1): 61–66. arXiv : math/0211405v1 . дои : 10.1016/S1631-073X(03)00254-1 . ISSN  1631-073X.
18. Брылински, Жан-Люк (1 января 1988). «Дифференциальный комплекс для многообразий Пуассона». Журнал дифференциальной геометрии . 28 (1). дои : 10.4310/jdg/1214442161 . ISSN  0022-040X. S2CID  122451743.
19. Фернандес, Мариса; Ибаньес, Рауль; Леон, Мануэль де (1996). «Когомологии Пуассона и канонические гомологии многообразий Пуассона». Архив Математикум . 032 (1): 29–56. ISSN  0044-8753.
20. Сюй, Пин (1 февраля 1999 г.). «Алгебры Герстенхабера и BV-алгебры в геометрии Пуассона». Связь в математической физике . 200 (3): 545–560. arXiv : dg-ga/9703001 . Бибкод : 1999CMaPh.200..545X. дои : 10.1007/s002200050540. ISSN  1432-0916. S2CID  16559555.
21. Карасев, М.В. (30 июня 1987). «Аналоги объектов теории групп Ли для нелинейных скобок Пуассона». Математика СССР-Известия . 28 (3): 497–527. Бибкод :1987ИзМат..28..497К. doi : 10.1070/im1987v028n03abeh000895. ISSN  0025-5726.
22. Крайник, Мариус ; Маркут, Иоан (2011). «О существовании симплектических реализаций». Журнал симплектической геометрии . 9 (4): 435–444. дои : 10.4310/JSG.2011.v9.n4.a2 . ISSN  1540-2347.
23. Крайник, Мариус ; Фернандес, Руи (1 января 2004 г.). «Интегрируемость скобок Пуассона». Журнал дифференциальной геометрии . 66 (1). arXiv : математика/0210152 . дои : 10.4310/jdg/1090415030 . ISSN  0022-040X.
24. Вайнштейн, Алан (1 января 1987). «Симплектические группоиды и многообразия Пуассона». Бюллетень Американского математического общества . 16 (1): 101–105. дои : 10.1090/S0273-0979-1987-15473-5 . ISSN  0273-0979.
25. Закшевский, С. (1990). «Квантовые и классические псевдогруппы. II. Дифференциальные и симплектические псевдогруппы». Связь в математической физике . 134 (2): 371–395. дои : 10.1007/BF02097707. ISSN  0010-3616. S2CID  122926678 — через Project Euclid .
26. Альберт, Клод; Дазор, Пьер (1991). Дазор, Пьер; Вайнштейн, Алан (ред.). «Groupoïdes de Lie et Groupoïdes Symplectiques» [Группоиды Ли и симплектические группоиды]. Симплектическая геометрия, группоиды и интегрируемые системы . Публикации Научно-исследовательского института математических наук (на французском языке). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer US. 20 : 1–11. дои : 10.1007/978-1-4613-9719-9_1. ISBN 978-1-4613-9719-9.
27. Лю, З. -Дж.; Сюй, П. (1 января 1996 г.). «Точные биальгеброиды Ли и группоиды Пуассона». Геометрический и функциональный анализ . 6 (1): 138–145. дои : 10.1007/BF02246770. ISSN  1420-8970. S2CID  121836719 - через Европейскую библиотеку цифровой математики.
28. Крайник, Мариус ; Фернандес, Руи (01 марта 2003 г.). «Интегрируемость скобок Ли». Анналы математики . 157 (2): 575–620. arXiv : math/0105033 . дои : 10.4007/анналы.2003.157.575 . ISSN  0003-486X.
29. Каттанео, Альберто С .; Фельдер, Джованни (2001). «Сигма-модели Пуассона и симплектические группоиды». Квантование сингулярных симплектических факторов . Прогресс в математике. Базель: Биркхойзер: 61–93. arXiv : math/0003023 . дои : 10.1007/978-3-0348-8364-1_4. ISBN 978-3-0348-8364-1. S2CID  10248666.
30. Замбон, Марко (2011). Эбелинг, Вольфганг; Хулек, Клаус; Смоцик, Кнут (ред.). «Подмногообразия в геометрии Пуассона: обзор». Комплексная и дифференциальная геометрия . Спрингерские труды по математике. Берлин, Гейдельберг: Springer. 8 : 403–420. дои : 10.1007/978-3-642-20300-8_20. ISBN 978-3-642-20300-8.

Книги и обзоры

• Бхаскара, Х.; Вишванат, К. (1988). Алгебры Пуассона и многообразия Пуассона . Лонгман. ISBN 0-582-01989-3.
• Каннас-да-Сильва, Ана ; Вайнштейн, Алан (1999). Геометрические модели некоммутативных алгебр . Конспекты лекций по математике AMS в Беркли, 10.
• Дюфур, Ж.-П.; Зунг, Северная Каролина (2005). Пуассоновские структуры и их нормальные формы . Том. 242. Прогресс Биркхойзера в математике.
• Крайник, Мариус ; Лоха Фернандес, Руи ; Маркуц, Иоанн (2021). Лекции по геометрии Пуассона. Аспирантура по математике . Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-6667-1.Предыдущая версия доступна на [1].
• Гиймен, Виктор ; Штернберг, Шломо (1984). Симплектические методы в физике . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-24866-3.
• Либерманн, Полетт ; Марле, К.-М. (1987). Симплектическая геометрия и аналитическая механика . Дордрехт: Рейдель. ISBN 90-277-2438-5.
• Вайсман, Идзу (1994). Лекции по геометрии пуассоновских многообразий . Биркхойзер.См. также обзор Пин Сюй в Бюллетене АМС.
• Вайнштейн, Алан (1998). «Пуассоновая геометрия». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 9 (1–2): 213–238. дои : 10.1016/S0926-2245(98)00022-9 .