Скобка Схоутена–Нейенхейса

В дифференциальной геометрии скобка Схоутена–Нийенхейса , также известная как скобка Схоутена , представляет собой тип градуированной скобки Ли, определенной для поливекторных полей на гладком многообразии, расширяющем скобку Ли векторных полей .

Существует две разные версии, обе довольно путано называются одним и тем же именем. Наиболее распространенная версия определена для знакопеременных многовекторных полей и превращает их в алгебру Герстенхабера , но есть и другая версия, определенная для симметричных многовекторных полей, которая более или менее совпадает со скобкой Пуассона на кокасательном расслоении . Она была изобретена Яном Арнольдусом Схоутеном (1940, 1953), а ее свойства были исследованы его учеником Альбертом Нийенхейсом (1955). Она связана, но не совпадает со скобкой Нийенхейса–Ричардсона и скобкой Фрёлихера–Нийенхейса .

Определение и свойства

Знакопеременное мультивекторное поле — это раздел внешней алгебры над касательным расслоением многообразия . Знакопеременные мультивекторные поля образуют градуированное суперкоммутативное кольцо с произведением и , записанным как (некоторые авторы используют ). Это дуально обычной алгебре дифференциальных форм с помощью спаривания на однородных элементах: ${\displaystyle \wedge ^{\bullet }TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\wedge b}$ ${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)}$

${\displaystyle \omega (a_{1}a_{2}\dots a_{p})=\left\{{\begin{matrix}\omega (a_{1},\dots ,a_{p})&(\omega \in \Omega ^{p}M)\\0&(\omega \not \in \Omega ^{p}M)\end{matrix}}\right.}$

Степень мультивектора в определяется как . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Lambda ^{p}TM}$ ${\displaystyle |A|=p}$

Кососимметричная скобка Схоутена–Нийенхейса — это уникальное расширение скобки Ли векторных полей до градуированной скобки на пространстве знакопеременных поливекторных полей, которая превращает знакопеременные поливекторные поля в алгебру Герстенхабера . Она задается в терминах скобки Ли векторных полей как

${\displaystyle [a_{1}\cdots a_{m},b_{1}\cdots b_{n}]=\sum _{i,j}(-1)^{i+j}[a_{i},b_{j}]a_{1}\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{m}b_{1}\cdots b_{j-1}b_{j+1}\cdots b_{n}}$

для векторных полей и ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{j}}$

${\displaystyle [f,a_{1}\cdots a_{m}]=-\iota _{df}(a_{1}\cdots a_{m})}$

для векторных полей и гладкой функции , где — оператор общего внутреннего произведения . Он обладает следующими свойствами. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \iota _{df}}$

• ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$(произведение ассоциативно);
• ${\displaystyle ab=(-1)^{|a||b|}ba}$(произведение (супер)коммутативно);
• ${\displaystyle |ab|=|a|+|b|}$(произведение имеет степень 0);
• ${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$(скобка Схоутена–Нейенхейса имеет степень −1);
• ${\displaystyle [a,bc]=[a,b]c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b[a,c]}$(тождество Пуассона);
• ${\displaystyle [a,b]=-(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}[b,a]}$(антисимметрия скобки Схоутена–Ниенхейса);
• ${\displaystyle [[a,b],c]=[a,[b,c]]-(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}[b,[a,c]]}$(тождество Якоби для скобки Схоутена – Нейенхейса);
• Если и — функции (мультивекторы, однородные степени 0), то ; ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [f,g]=0}$
• Если — векторное поле, то — обычная производная Ли многовекторного поля вдоль , и, в частности, если и — векторные поля, то скобка Схоутена–Нийенхейса является обычной скобкой Ли векторных полей. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [a,b]=L_{a}b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Скобка Схоутена–Ниенхейса превращает многовекторные поля в супералгебру Ли, если градуировка меняется на градуировку с противоположной четностью (так что четные и нечетные подпространства меняются местами), хотя с этой новой градуировкой это уже не суперкоммутативное кольцо. Соответственно, тождество Якоби может быть также выражено в симметричной форме

${\displaystyle (-1)^{(|a|-1)(|c|-1)}[a,[b,c]]+(-1)^{(|b|-1)(|a|-1)}[b,[c,a]]+(-1)^{(|c|-1)(|b|-1)}[c,[a,b]]=0.\,}$

Обобщения

Существует общее обобщение скобки Схоутена–Нийенхейса для знакопеременных многовекторных полей и скобки Фрёлихера–Нийенхейса, предложенное Виноградовым (1990).

Аналогичным образом можно определить версию скобки Схоутена–Нийенхейса для симметричных многовекторных полей. Симметричные многовекторные поля можно отождествить с функциями на кокасательном пространстве , которые являются полиномиальными в слое, и при этой идентификации симметричная скобка Схоутена–Нийенхейса соответствует скобке Пуассона функций на симплектическом многообразии . Существует общее обобщение скобки Схоутена–Нийенхейса для симметричных многовекторных полей и скобки Фрёлихера–Нийенхейса, предложенное Дюбуа-Виолетт и Питером В. Михором (1995). ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$

Ссылки

• Дюбуа-Виолетт, Мишель; Мишор, Питер В. (1995). «Общее обобщение скобок Фрёлихера–Нийенхейса и скобок Схоутена для симметричных мультивекторных полей». Indag. Math . 6 (1): 51–66. arXiv : alg-geom/9401006 . doi :10.1016/0019-3577(95)98200-u.
• Марле, Шарль-Мишель (1997). «Скобка Схаутена-Нейенхейса и внутренние продукты» (PDF) . Журнал геометрии и физики . 23 (3–4): 350–359. Bibcode :1997JGP....23..350M. CiteSeerX  10.1.1.27.5358 . doi :10.1016/s0393-0440(97)80009-5.
• Ниенхейс, А. (1955). «Тождества типа Якоби для билинейных дифференциальных сопутствующих некоторых тензорных полей I». Indagationes Mathematicae . 17 : 390–403. дои : 10.1016/S1385-7258(55)50054-0. hdl : 10338.dmlcz/102420 .
• Схаутен, Дж. А. (1940). «Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen». Индаг. Математика . 2 : 449–452.
• Схоутен, JA (1953). «О дифференциальных операторах первого порядка в тензорном исчислении». В Cremonese (ред.). Convegno Int. Geom. Diff. Italia . стр. 1–7.
• Виноградов, А.М. (1990). «Объединение скобок Схоутена – Нейенхейса и Фрелихера – Нейенхейса, когомологий и супердифференциальных операторов». Сов. Математика. Заметки . 47 .

Внешние ссылки

• Никола Чикколи Скобка Схоутена – Нейенхейса в примечаниях к книге «От Пуассона к квантовой геометрии»