В части математики, называемой топологией , поверхность — это двумерное многообразие . Некоторые поверхности возникают как границы трехмерных объемных фигур ; например, сфера является границей твердого шара . Другие поверхности возникают как графики функций двух переменных; см. рисунок справа. Однако поверхности также могут быть определены абстрактно, без ссылки на какое-либо окружающее пространство . Например, бутылка Клейна — это поверхность, которая не может быть вложена в трехмерное евклидово пространство .
Топологические поверхности иногда снабжаются дополнительной информацией, такой как риманова метрика или сложная структура, которая связывает их с другими дисциплинами в математике, такими как дифференциальная геометрия и комплексный анализ . Различные математические понятия поверхности могут быть использованы для моделирования поверхностей в физическом мире.
В математике поверхность — это геометрическая форма, напоминающая деформированную плоскость . Наиболее знакомые примеры возникают как границы твердых объектов в обычном трехмерном евклидовом пространстве R 3 , например, сферы . Точное определение поверхности может зависеть от контекста. Как правило, в алгебраической геометрии поверхность может пересекать сама себя (и иметь другие особенности ), тогда как в топологии и дифференциальной геометрии она может не пересекать.
Поверхность — это двумерное пространство ; это означает, что движущаяся точка на поверхности может двигаться в двух направлениях (она имеет две степени свободы ). Другими словами, вокруг почти каждой точки есть координатный участок , на котором определена двумерная система координат . Например, поверхность Земли напоминает (в идеале) двумерную сферу , а широта и долгота обеспечивают двумерные координаты на ней (за исключением полюсов и вдоль 180-го меридиана ).
Понятие поверхности широко используется в физике , технике , компьютерной графике и многих других дисциплинах, в первую очередь при представлении поверхностей физических объектов. Например, при анализе аэродинамических свойств самолета центральным соображением является поток воздуха вдоль его поверхности.
(Топологическая) поверхность — это топологическое пространство , в котором каждая точка имеет открытую окрестность , гомеоморфную некоторому открытому подмножеству евклидовой плоскости E 2 . Такая окрестность вместе с соответствующим гомеоморфизмом известна как (координатная) карта . Именно через эту карту окрестность наследует стандартные координаты на евклидовой плоскости. Эти координаты известны как локальные координаты , и эти гомеоморфизмы приводят нас к описанию поверхностей как локально евклидовых .
В большинстве работ по этой теме часто предполагается, явно или неявно, что как топологическое пространство поверхность также непуста, счетна во второй степени и хаусдорфова . Также часто предполагается, что рассматриваемые поверхности связны.
В оставшейся части статьи предполагается, если не указано иное, что поверхность непуста, хаусдорфова, счетно-временна и связна.
В более общем смысле (топологическая) поверхность с границей — это топологическое пространство Хаусдорфа , в котором каждая точка имеет открытую окрестность , гомеоморфную некоторому открытому подмножеству замыкания верхней полуплоскости H 2 в C . Эти гомеоморфизмы также известны как (координатные) карты . Граница верхней полуплоскости — это ось x . Точка на поверхности, отображенная посредством карты на ось x , называется граничной точкой . Набор таких точек известен как граница поверхности, которая обязательно является одномерным многообразием, то есть объединением замкнутых кривых. С другой стороны, точка, отображенная на выше оси x , является внутренней точкой . Набор внутренних точек — это внутренняя часть поверхности, которая всегда непуста . Замкнутый диск — это простой пример поверхности с границей. Граница диска — это окружность.
Термин поверхность, используемый без уточнения, относится к поверхностям без границы. В частности, поверхность с пустой границей является поверхностью в обычном смысле. Поверхность с пустой границей, которая является компактной, известна как «замкнутая» поверхность. Двумерная сфера, двумерный тор и действительная проективная плоскость являются примерами замкнутых поверхностей.
Лента Мёбиуса — это поверхность, на которой различие между движением по часовой стрелке и против часовой стрелки может быть определено локально, но не глобально. В общем случае поверхность называется ориентируемой , если она не содержит гомеоморфной копии ленты Мёбиуса; интуитивно, она имеет две различные «стороны». Например, сфера и тор ориентируемы, в то время как действительная проективная плоскость — нет (потому что действительная проективная плоскость с одной удаленной точкой гомеоморфна открытой ленте Мёбиуса).
В дифференциальной и алгебраической геометрии дополнительная структура добавляется к топологии поверхности. Эта добавленная структура может быть структурой гладкости (позволяющей определять дифференцируемые отображения на поверхность и из нее), римановой метрикой (позволяющей определять длину и углы на поверхности), сложной структурой (позволяющей определять голоморфные отображения на поверхность и из нее — в этом случае поверхность называется римановой поверхностью ) или алгебраической структурой (позволяющей обнаруживать сингулярности , такие как самопересечения и каспы, которые не могут быть описаны исключительно в терминах базовой топологии).
Исторически поверхности изначально определялись как подпространства евклидовых пространств. Часто эти поверхности были геометрическим местом нулей определенных функций, обычно полиномиальных. Такое определение рассматривало поверхность как часть большего (евклидова) пространства и как таковое называлось внешним .
В предыдущем разделе поверхность определяется как топологическое пространство с определенными свойствами, а именно хаусдорфовым и локально евклидовым. Это топологическое пространство не считается подпространством другого пространства. В этом смысле данное выше определение, которое в настоящее время используют математики, является внутренним .
Поверхность, определенная как внутренняя, не обязана удовлетворять дополнительному ограничению быть подпространством евклидова пространства. Может показаться возможным, что некоторые поверхности, определенные внутренне, не будут поверхностями во внешнем смысле. Однако теорема Уитни о вложении утверждает, что каждая поверхность может быть фактически гомеоморфно вложена в евклидово пространство, фактически в E 4 : Внешний и внутренний подходы оказываются эквивалентными.
Фактически, любая компактная поверхность, которая либо ориентируема, либо имеет границу, может быть вложена в E 3 ; с другой стороны, действительная проективная плоскость, которая компактна, неориентируема и не имеет границы, не может быть вложена в E 3 (см. Gramain). Поверхности Штейнера , включая поверхность Боя , римскую поверхность и кросс-шапку , являются моделями действительной проективной плоскости в E 3 , но только поверхность Боя является погруженной поверхностью . Все эти модели являются сингулярными в точках, где они пересекаются сами с собой.
Рогатая сфера Александра — это хорошо известное патологическое встраивание двусферы в трехсферу.
Выбранное вложение (если таковое имеется) поверхности в другое пространство рассматривается как внешняя информация; оно не является существенным для самой поверхности. Например, тор может быть вложен в E 3 «стандартным» способом (который выглядит как бублик ) или заузленным способом (см. рисунок). Два вложенных тора гомеоморфны, но не изотопны : они топологически эквивалентны, но их вложения — нет.
Образ непрерывной, инъективной функции из R 2 в более многомерное R n называется параметрической поверхностью . Такое изображение так называется, потому что направления x и y области R 2 являются двумя переменными, которые параметризуют изображение. Параметрическая поверхность не обязательно должна быть топологической поверхностью. Поверхность вращения можно рассматривать как особый вид параметрической поверхности.
Если f — гладкая функция из R 3 в R , градиент которой нигде не равен нулю, то геометрическое место нулей f определяет поверхность , известную как неявная поверхность . Если условие неисчезающего градиента отбрасывается, то нулевое место может развить сингулярности .
Каждая замкнутая поверхность может быть построена из ориентированного многоугольника с четным числом сторон, называемого фундаментальным многоугольником поверхности, путем попарной идентификации его ребер. Например, в каждом многоугольнике ниже, присоединение сторон с соответствующими метками ( A с A , B с B ), так чтобы стрелки указывали в одном направлении, дает указанную поверхность.
Любой фундаментальный многоугольник можно записать символически следующим образом. Начните с любой вершины и продолжайте по периметру многоугольника в любом направлении, пока не вернетесь к начальной вершине. Во время этого обхода записывайте метку на каждом ребре по порядку, с показателем -1, если ребро указывает в противоположном направлении обхода. Четыре модели выше при обходе по часовой стрелке, начиная с верхнего левого угла, дают
Обратите внимание, что сфера и проективная плоскость могут быть реализованы как частные 2-угольника, тогда как тор и бутылка Клейна требуют 4-угольника (квадрата).
Выражение, полученное таким образом из фундаментального многоугольника поверхности, оказывается единственным отношением в представлении фундаментальной группы поверхности с метками ребер многоугольника в качестве генераторов. Это следствие теоремы Зейферта–ван Кампена .
Склеивание рёбер многоугольников — это особый вид процесса факторного пространства . Концепция фактора может быть применена в более общем виде для создания новых или альтернативных конструкций поверхностей. Например, действительная проективная плоскость может быть получена как фактор сферы путём идентификации всех пар противоположных точек на сфере. Другим примером фактора является связанная сумма.
Связная сумма двух поверхностей M и N , обозначаемая M # N , получается путем удаления диска из каждой из них и склеивания их по полученным граничным компонентам. Граница диска — окружность, поэтому эти граничные компоненты — окружности. Эйлерова характеристика M # N — это сумма эйлеровых характеристик слагаемых за вычетом двух:
Сфера S является единичным элементом для связной суммы, что означает, что S # M = M. Это происходит потому, что удаление диска из сферы оставляет диск, который просто заменяет диск, удаленный из M при склеивании.
Связное суммирование с тором T также описывается как присоединение «ручки» к другому слагаемому M. Если M ориентируемо, то и T # M также ориентируемо. Связная сумма ассоциативна, поэтому связная сумма конечного набора поверхностей корректно определена.
Связная сумма двух действительных проективных плоскостей, P # P , является бутылкой Клейна K . Связная сумма действительной проективной плоскости и бутылки Клейна гомеоморфна связной сумме действительной проективной плоскости с тором; в формуле P # K = P # T . Таким образом, связная сумма трех действительных проективных плоскостей гомеоморфна связной сумме действительной проективной плоскости с тором. Любая связная сумма, включающая действительную проективную плоскость, неориентируема.
Замкнутая поверхность — это поверхность, которая является компактной и не имеет границ . Примерами замкнутых поверхностей являются сфера , тор и бутылка Клейна . Примерами незамкнутых поверхностей являются открытый диск (который является сферой с проколом ), цилиндр (который является сферой с двумя проколами) и лента Мёбиуса .
Поверхность, вложенная в трехмерное пространство , замкнута тогда и только тогда, когда она является границей твердого тела. Как и в случае с любым замкнутым многообразием , поверхность, вложенная в евклидово пространство, которое замкнуто относительно унаследованной евклидовой топологии, не обязательно является замкнутой поверхностью; например, диск, вложенный в , содержащий его границу, является топологически замкнутой, но не замкнутой поверхностью.
Теорема классификации замкнутых поверхностей утверждает, что любая связная замкнутая поверхность гомеоморфна некоторому члену одного из этих трех семейств:
Поверхности в первых двух семействах являются ориентируемыми . Удобно объединить два семейства, рассматривая сферу как связную сумму 0 торов. Число g вовлеченных торов называется родом поверхности. Сфера и тор имеют эйлеровы характеристики 2 и 0 соответственно, и в общем случае эйлерова характеристика связной суммы g торов равна 2 − 2 g .
Поверхности третьего семейства неориентируемы. Эйлерова характеристика вещественной проективной плоскости равна 1, а в общем случае эйлерова характеристика связной суммы k из них равна 2 − k .
Из этого следует, что замкнутая поверхность определяется с точностью до гомеоморфизма двумя частями информации: ее эйлеровой характеристикой и тем, ориентируема она или нет. Другими словами, эйлерова характеристика и ориентируемость полностью классифицируют замкнутые поверхности с точностью до гомеоморфизма.
Замкнутые поверхности с несколькими связными компонентами классифицируются по классу каждого из их связных компонентов, и поэтому обычно предполагается, что поверхность связна.
Связывая эту классификацию со связными суммами, замкнутые поверхности с точностью до гомеоморфизма образуют коммутативный моноид под действием операции связной суммы, как и многообразия любой фиксированной размерности. Тождество — это сфера, в то время как вещественная проективная плоскость и тор порождают этот моноид с единственным соотношением P # P # P = P # T , которое также можно записать P # K = P # T , поскольку K = P # P . Это соотношение иногда называютТеорема Дика в честьВальтера фон Дика, который доказал ее в (Dyck 1888), и тройная крестовая поверхность P # P # P соответственно называетсяПоверхность Дика .[1]
Геометрически, connect-sum с тором ( # T ) добавляет ручку с обоими концами, прикрепленными к одной и той же стороне поверхности, в то время как connect-sum с бутылкой Клейна ( # K ) добавляет ручку с двумя концами, прикрепленными к противоположным сторонам ориентируемой поверхности; при наличии проективной плоскости ( # P ) поверхность не является ориентируемой (нет понятия стороны), поэтому нет никакой разницы между присоединением тора и присоединением бутылки Клейна, что объясняет эту связь.
Классификация замкнутых поверхностей известна с 1860-х годов [1], и на сегодняшний день существует ряд доказательств.
Топологические и комбинаторные доказательства в целом опираются на сложный результат, что каждое компактное 2-многообразие гомеоморфно симплициальному комплексу , что само по себе представляет интерес. Наиболее распространенное доказательство классификации (Seifert & Threlfall 1980), [1] которое приводит каждую триангулированную поверхность к стандартной форме. Упрощенное доказательство, которое избегает стандартной формы, было обнаружено Джоном Х. Конвеем около 1992 года, которое он назвал «Доказательством нулевой нерелевантности» или «Доказательством ZIP» и представлено в (Francis & Weeks 1999).
Геометрическое доказательство, дающее более сильный геометрический результат, — это теорема об униформизации . Первоначально она была доказана только для римановых поверхностей в 1880-х и 1900-х годах Феликсом Клейном , Полом Кёбе и Анри Пуанкаре .
Компактные поверхности, возможно с границей, являются просто замкнутыми поверхностями с конечным числом отверстий (открытые диски, которые были удалены). Таким образом, связная компактная поверхность классифицируется по числу граничных компонент и роду соответствующей замкнутой поверхности – эквивалентно, по числу граничных компонент, ориентируемости и эйлеровой характеристике. Род компактной поверхности определяется как род соответствующей замкнутой поверхности. [2]
Эта классификация почти сразу следует из классификации замкнутых поверхностей: удаление открытого диска из замкнутой поверхности дает компактную поверхность с окружностью для граничной компоненты, а удаление k открытых дисков дает компактную поверхность с k непересекающимися окружностями для граничных компонентов. Точное расположение отверстий не имеет значения, поскольку группа гомеоморфизмов действует k -транзитивно на любом связном многообразии размерности не менее 2.
Наоборот, граница компактной поверхности является замкнутым 1-многообразием и, следовательно, представляет собой несвязное объединение конечного числа окружностей; заполнение этих окружностей дисками (формально, взятие конуса ) дает замкнутую поверхность.
Уникальная компактная ориентируемая поверхность рода g с k граничными компонентами часто обозначается, например, при изучении группы классов отображений .
Некомпактные поверхности классифицировать сложнее. В качестве простого примера, некомпактная поверхность может быть получена путем прокалывания (удаления конечного набора точек) замкнутого многообразия. С другой стороны, любое открытое подмножество компактной поверхности само по себе является некомпактной поверхностью; рассмотрим, например, дополнение множества Кантора в сфере, иначе известное как поверхность дерева Кантора . Однако не каждая некомпактная поверхность является подмножеством компактной поверхности; два канонических контрпримера — это лестница Иакова и Лох-несское чудовище , которые являются некомпактными поверхностями с бесконечным родом.
Некомпактная поверхность M имеет непустое пространство концов E ( M ), которое неформально описывает способы, которыми поверхность «уходит в бесконечность». Пространство E ( M ) всегда топологически эквивалентно замкнутому подпространству множества Кантора . M может иметь конечное или счетное бесконечное число N h ручек, а также конечное или счетное бесконечное число N p проективных плоскостей . Если оба N h и N p конечны, то эти два числа и топологический тип пространства концов классифицируют поверхность M с точностью до топологической эквивалентности . Если одно или оба из N h и N p бесконечны, то топологический тип M зависит не только от этих двух чисел, но и от того, как бесконечное число(я) приближается к пространству концов. В общем случае топологический тип M определяется четырьмя подпространствами E ( M ), которые являются предельными точками бесконечного числа ручек и бесконечного числа проективных плоскостей, предельными точками только ручек, предельными точками только проективных плоскостей и предельными точками ни того, ни другого. [3]
Если убрать предположение о второй счетности из определения поверхности, то существуют (обязательно некомпактные) топологические поверхности, не имеющие счетной базы для своей топологии. Возможно, простейшим примером является декартово произведение длинной линии с пространством действительных чисел.
Другая поверхность, не имеющая счетной базы для своей топологии, но не требующая Аксиомы выбора для доказательства своего существования, — это многообразие Прюфера , которое можно описать простыми уравнениями, показывающими, что оно является вещественно-аналитической поверхностью. Многообразие Прюфера можно рассматривать как верхнюю полуплоскость вместе с одним дополнительным «языком» T x, свисающим с нее прямо под точкой ( x ,0), для каждого вещественного x .
В 1925 году Тибор Радо доказал, что все римановы поверхности (т. е. одномерные комплексные многообразия ) обязательно являются счетно-счетными ( теорема Радо ). Напротив, если заменить действительные числа в построении поверхности Прюфера на комплексные числа , то получится двумерное комплексное многообразие (которое обязательно является 4-мерным действительным многообразием) без счетной базы.
Многогранники , такие как граница куба , являются одними из первых поверхностей, встречающихся в геометрии. Также можно определить гладкие поверхности , в которых каждая точка имеет окрестность, диффеоморфную некоторому открытому множеству в E 2 . Эта разработка позволяет применять исчисление к поверхностям для доказательства многих результатов.
Две гладкие поверхности диффеоморфны тогда и только тогда, когда они гомеоморфны. (Аналогичный результат не верен для многообразий более высокой размерности.) Таким образом, замкнутые поверхности классифицируются с точностью до диффеоморфизма по их эйлеровой характеристике и ориентируемости.
Гладкие поверхности, снабженные римановой метрикой, имеют основополагающее значение в дифференциальной геометрии . Риманова метрика наделяет поверхность понятиями геодезической , расстояния , угла и площади. Она также порождает гауссову кривизну , которая описывает, насколько изогнута или согнута поверхность в каждой точке. Кривизна является жестким геометрическим свойством, поскольку она не сохраняется общими диффеоморфизмами поверхности. Однако известная теорема Гаусса–Бонне для замкнутых поверхностей утверждает, что интеграл гауссовой кривизны K по всей поверхности S определяется эйлеровой характеристикой:
Этот результат иллюстрирует глубокую взаимосвязь между геометрией и топологией поверхностей (и, в меньшей степени, многообразий более высоких размерностей).
Другой способ возникновения поверхностей в геометрии — переход в комплексную область. Комплексное одномерное многообразие — это гладкая ориентированная поверхность, также называемая римановой поверхностью . Любая комплексная неособая алгебраическая кривая, рассматриваемая как комплексное многообразие, является римановой поверхностью. Фактически, каждая компактная ориентируемая поверхность реализуема как риманова поверхность. Таким образом, компактные римановы поверхности топологически характеризуются своим родом: 0, 1, 2, .... С другой стороны, род не характеризует комплексную структуру. Например, существует несчетное множество неизоморфных компактных римановых поверхностей рода 1 ( эллиптические кривые ).
Комплексные структуры на замкнутой ориентированной поверхности соответствуют классам конформной эквивалентности римановых метрик на поверхности. Одна из версий теоремы об униформизации (принадлежащая Пуанкаре ) утверждает, что любая риманова метрика на ориентированной замкнутой поверхности конформно эквивалентна по существу единственной метрике постоянной кривизны . Это дает отправную точку для одного из подходов к теории Тейхмюллера , которая обеспечивает более тонкую классификацию римановых поверхностей, чем топологическая, по одной только эйлеровой характеристике.
Комплексная поверхность — это комплексное двумерное многообразие и, следовательно, действительное четырехмерное многообразие; это не поверхность в смысле этой статьи. Также не определены алгебраические кривые над полями, отличными от комплексных чисел, и не определены алгебраические поверхности над полями, отличными от действительных чисел.
{{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )