Гамильтоново векторное поле

В математике и физике гамильтоново векторное поле на симплектическом многообразии — это векторное поле, определенное для любой энергетической функции или гамильтониана . Названное в честь физика и математика сэра Уильяма Роуэна Гамильтона , гамильтоново векторное поле является геометрическим проявлением уравнений Гамильтона в классической механике . Интегральные кривые гамильтонова векторного поля представляют решения уравнений движения в гамильтоновой форме. Диффеоморфизмы симплектического многообразия, возникающие из потока гамильтонова векторного поля, известны как канонические преобразования в физике и (гамильтоновы) симплектоморфизмы в математике. ^[1]

Гамильтоновы векторные поля могут быть определены более общо на произвольном многообразии Пуассона . Скобка Ли двух гамильтоновых векторных полей, соответствующих функциям f и g на многообразии, сама является гамильтоновым векторным полем, причем гамильтониан задается скобкой Пуассона f и g .

Определение

Предположим, что ( M , ω ) — симплектическое многообразие . Поскольку симплектическая форма ω невырождена, она устанавливает послойно-линейный изоморфизм

${\displaystyle \omega :TM\to T^{*}M,}$

между касательным расслоением TM и кокасательным расслоением T*M , с обратным

${\displaystyle \Omega :T^{*}M\to TM,\quad \Omega =\omega ^{-1}.}$

Следовательно, единичные формы на симплектическом многообразии M можно отождествить с векторными полями , и каждая дифференцируемая функция H : M → R определяет единственное векторное поле X _H , называемое гамильтоновым векторным полем с гамильтонианом H , определяя для каждого векторного поля Y на M ,

${\displaystyle \mathrm {d} H(Y)=\omega (X_{H},Y).}$

Примечание : Некоторые авторы определяют гамильтоново векторное поле с противоположным знаком. Необходимо помнить о различных соглашениях в физической и математической литературе.

Примеры

Предположим, что M — 2 n -мерное симплектическое многообразие. Тогда локально можно выбрать канонические координаты ( q ¹ , ..., q ⁿ , p ₁ , ..., p _n ) на M , в которых симплектическая форма выражается как: ^[2] ${\displaystyle \omega =\sum _{i}\mathrm {d} q^{i}\wedge \mathrm {d} p_{i},}$

где d обозначает внешнюю производную , а ∧ обозначает внешнее произведение . Тогда гамильтоново векторное поле с гамильтонианом H принимает вид: ^[1] ${\displaystyle \mathrm {X} _{H}=\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\right)=\Omega \,\mathrm {d} H,}$

где Ω — квадратная матрица размером 2 n × 2 n

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},}$

и

${\displaystyle \mathrm {d} H={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\\{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\end{bmatrix}}.}$

Матрицу Ω часто обозначают как J.

Предположим, что ^M = R2 n ^— это 2 n -мерное симплектическое векторное пространство с (глобальными) каноническими координатами.

• Если тогда ${\displaystyle H=p_{i}}$ ${\displaystyle X_{H}=\partial /\partial q^{i};}$
• если тогда ${\displaystyle H=q_{i}}$ ${\displaystyle X_{H}=-\partial /\partial p^{i};}$
• если тогда ${\displaystyle H=1/2\sum (p_{i})^{2}}$ ${\displaystyle X_{H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i};}$
• если тогда ${\displaystyle H=1/2\sum a_{ij}q^{i}q^{j},a_{ij}=a_{ji}}$ ${\displaystyle X_{H}=-\sum a_{ij}q_{i}\partial /\partial p^{j}.}$

Характеристики

• Задание f ↦ X _f является линейным , так что сумма двух гамильтоновых функций преобразуется в сумму соответствующих гамильтоновых векторных полей.
• Предположим, что ( q ¹ , ..., q ⁿ , p ₁ , ..., p _n ) — канонические координаты на M (см. выше). Тогда кривая γ( t ) = (q(t),p(t)) является интегральной кривой гамильтонова векторного поля X _H тогда и только тогда, когда она является решением уравнений Гамильтона : ^[1] ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}.}$

• Гамильтониан H постоянен вдоль интегральных кривых, поскольку . То есть, H (γ( t )) фактически не зависит от t . Это свойство соответствует закону сохранения энергии в гамильтоновой механике . ${\displaystyle \langle dH,{\dot {\gamma }}\rangle =\omega (X_{H}(\gamma ),X_{H}(\gamma ))=0}$
• В более общем случае, если две функции F и H имеют нулевую скобку Пуассона (см. ниже), то F постоянна вдоль интегральных кривых H , и аналогично, H постоянна вдоль интегральных кривых F. Этот факт является абстрактным математическим принципом, лежащим в основе теоремы Нётер . ^{[nb 1]}
• Симплектическая форма ω сохраняется гамильтоновым потоком. Эквивалентно, производная Ли ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}\omega =0.}$

скобка Пуассона

Понятие гамильтонова векторного поля приводит к кососимметричной билинейной операции над дифференцируемыми функциями на симплектическом многообразии M , скобке Пуассона , определяемой формулой

${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})=dg(X_{f})={\mathcal {L}}_{X_{f}}g}$

где обозначает производную Ли вдоль векторного поля X. Более того, можно проверить, что выполняется следующее тождество: ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$

где правая часть представляет скобку Ли гамильтоновых векторных полей с гамильтонианами f и g . Как следствие (доказательство в скобке Пуассона ), скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби : ^[1] ${\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0,}$

Это означает, что векторное пространство дифференцируемых функций на M , снабженное скобкой Пуассона, имеет структуру алгебры Ли над R , а сопоставление f ↦ X _f является гомоморфизмом алгебр Ли , ядро ​​которого состоит из локально постоянных функций (постоянных функций, если M связно).

Замечания

1. См. Ли (2003, глава 18) для очень краткого изложения и доказательства теоремы Нётер.

Примечания

1. Ли 2003, Глава 18.
2. Ли 2003, Глава 12.

Цитируемые работы

• Абрахам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Benjamin-Cummings. ISBN 978-080530102-1.См. раздел 3.2 .
• Арнольд, В.И. (1997). Математические методы классической механики . Берлин и др.: Springer. ISBN 0-387-96890-3.
• Франкель, Теодор (1997). Геометрия физики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38753-1.
• Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Springer Graduate Texts in Mathematics, т. 218, ISBN 0-387-95448-1
• Макдафф, Дуса ; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Oxford Mathematical Monographs. ISBN 0-19-850451-9.

Внешние ссылки

• Гамильтоново векторное поле на nLab