Евклидов вектор

Геометрический объект, имеющий длину и направление.

Вектор, направленный от А к В

В математике , физике и технике евклидов вектор или просто вектор (иногда называемый геометрическим вектором ^[1] или пространственным вектором ^[2] ) — это геометрический объект, имеющий величину (или длину ) и направление . Евклидовы векторы можно складывать и масштабировать для формирования векторного пространства . Векторная величина — это векторнозначная физическая величина , включающая единицы измерения и, возможно, опору , сформулированная как направленный отрезок прямой . Вектор часто изображается графически в виде стрелки, соединяющей начальную точку A с конечной точкой B ^[3] и обозначается ${\textstyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}.}$

Вектор — это то, что нужно для «переноса» точки A в точку B ; латинское слово vector означает «носитель». ^[4] Впервые он был использован астрономами 18 века, исследовавшими вращение планет вокруг Солнца. ^[5] Величина вектора — это расстояние между двумя точками, а направление относится к направлению смещения от A к B. Многие алгебраические операции над действительными числами, такие как сложение , вычитание , умножение и отрицание , имеют близкие аналоги для векторов, ^[6] операций, которые подчиняются знакомым алгебраическим законам коммутативности , ассоциативности и дистрибутивности . Эти операции и связанные с ними законы квалифицируют евклидовы векторы как пример более обобщенной концепции векторов, определяемых просто как элементы векторного пространства .

Векторы играют важную роль в физике : скорость и ускорение движущегося объекта, а также силы, действующие на него, можно описать с помощью векторов. ^[7] Многие другие физические величины можно с пользой рассматривать как векторы. Хотя большинство из них не представляют расстояния (за исключением, например, положения или смещения ), их величина и направление все равно могут быть представлены длиной и направлением стрелки. Математическое представление физического вектора зависит от системы координат , используемой для его описания. Другие вектороподобные объекты, которые описывают физические величины и преобразуются аналогичным образом при изменении системы координат, включают псевдовекторы и тензоры . ^[8]

История

Концепция вектора, как она известна сегодня, является результатом постепенного развития в течение более чем 200 лет. Около дюжины человек внесли значительный вклад в ее развитие. ^[9] В 1835 году Джусто Беллавитис абстрагировал основную идею, когда установил концепцию равносильности . Работая на евклидовой плоскости, он сделал равносильной любую пару параллельных отрезков одинаковой длины и ориентации. По сути, он реализовал отношение эквивалентности для пар точек (бипойнтов) на плоскости и, таким образом, построил первое пространство векторов на плоскости. ^{[9] : 52–4} Термин вектор был введен Уильямом Роуэном Гамильтоном как часть кватерниона , который является суммой q = s + v действительного числа s (также называемого скаляром ) и трехмерного вектора . Как и Беллавитис, Гамильтон рассматривал векторы как представителей классов равносильно направленных отрезков. Поскольку комплексные числа используют мнимую единицу для дополнения действительной линии , Гамильтон считал вектор v мнимой частью кватерниона : ^[10]

Алгебраически мнимая часть, геометрически построенная прямой линией или радиус-вектором, которая, в общем случае, для каждого определенного кватерниона имеет определенную длину и определенное направление в пространстве, может быть названа векторной частью или просто вектором кватерниона.

Несколько других математиков разработали векторно-подобные системы в середине девятнадцатого века, включая Огюстена Коши , Германа Грассмана , Августа Мёбиуса , Графа де Сен-Венана и Мэтью О'Брайена . Работа Грассмана 1840 года «Теория приливов и отливов» была первой системой пространственного анализа, похожей на сегодняшнюю систему, и содержала идеи, соответствующие перекрестному произведению, скалярному произведению и векторному дифференцированию. Работа Грассмана в значительной степени игнорировалась до 1870-х годов. ^[9] Питер Гатри Тейт поддерживал стандарт кватернионов после Гамильтона. Его «Элементарный трактат о кватернионах» 1867 года включал обширное рассмотрение оператора набла или дель ∇. В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд опубликовал «Элементы динамики» . Клиффорд упростил исследование кватернионов, выделив скалярное произведение и перекрестное произведение двух векторов из полного произведения кватернионов. Этот подход сделал векторные вычисления доступными для инженеров и других, работающих в трех измерениях и скептически относящихся к четвертому.

Джозайя Уиллард Гиббс , который познакомился с кватернионами через «Трактат об электричестве и магнетизме» Джеймса Клерка Максвелла , отделил их векторную часть для независимого рассмотрения. Первая половина « Элементов векторного анализа» Гиббса , опубликованная в 1881 году, представляет то, что по сути является современной системой векторного анализа. ^{[9] [6]} В 1901 году Эдвин Бидвелл Уилсон опубликовал «Векторный анализ» , адаптированный из лекций Гиббса, который изгнал любое упоминание о кватернионах в развитие векторного исчисления.

Обзор

В физике и технике вектор обычно рассматривается как геометрическая сущность, характеризующаяся величиной и относительным направлением . Он формально определяется как направленный отрезок прямой или стрелка в евклидовом пространстве . ^[11] В чистой математике вектор определяется более широко как любой элемент векторного пространства . В этом контексте векторы являются абстрактными сущностями, которые могут или не могут характеризоваться величиной и направлением. Это обобщенное определение подразумевает , что вышеупомянутые геометрические сущности являются особым видом абстрактных векторов, поскольку они являются элементами особого вида векторного пространства, называемого евклидовым пространством . Эта конкретная статья о векторах, строго определенных как стрелки в евклидовом пространстве. Когда возникает необходимость отличить эти специальные векторы от векторов, определенных в чистой математике, их иногда называют геометрическими , пространственными или евклидовыми векторами.

Евклидов вектор может иметь определенную начальную и конечную точки ; такое условие можно подчеркнуть, назвав результат связанным вектором . ^[12] Когда важны только величина и направление вектора, а конкретные начальные или конечные точки не имеют значения, вектор называется свободным вектором . Различие между связанными и свободными векторами особенно актуально в механике, где сила, приложенная к телу, имеет точку контакта (см. результирующая сила и пара ).

Две стрелки и в пространстве представляют один и тот же свободный вектор, если они имеют одинаковую величину и направление: то есть они равносильны , если четырехугольник ABB′A′ является параллелограммом . Если евклидово пространство снабжено выбором начала координат , то свободный вектор эквивалентен связанному вектору той же величины и направления, начальная точка которого является началом координат. ${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{AB}}}$ ${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{A'B'}}}$

Термин «вектор» также имеет обобщения на более высокие измерения и на более формальные подходы с гораздо более широкими применениями.

Дополнительная информация

В классической евклидовой геометрии (т. е. синтетической геометрии ) векторы были введены (в 19 веке) как классы эквивалентности при равносильности упорядоченных пар точек; две пары ( A , B ) и ( C , D ) являются равносильными, если точки A , B , D , C в этом порядке образуют параллелограмм . Такой класс эквивалентности называется вектором , точнее, евклидовым вектором. ^[13] Класс эквивалентности ( A , B ) часто обозначается ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.}$

Таким образом, евклидов вектор представляет собой класс эквивалентности направленных сегментов с одинаковой величиной (например, длина отрезка прямой ( A , B ) ) и одинаковым направлением (например, направление от A к B ). ^[14] В физике евклидовы векторы используются для представления физических величин, которые имеют как величину, так и направление, но не расположены в определенном месте, в отличие от скаляров , которые не имеют направления. ^[7] Например, скорость , силы и ускорение представлены векторами.

В современной геометрии евклидовы пространства часто определяются из линейной алгебры . Точнее, евклидово пространство E определяется как множество, с которым связано внутреннее произведение пространства конечной размерности над вещественными числами и групповое действие аддитивной группы , которое свободно и транзитивно ( см. Аффинное пространство для получения подробной информации об этой конструкции). Элементы называются переносами . Было доказано, что два определения евклидовых пространств эквивалентны, и что классы эквивалентности при равнополномочии могут быть отождествлены с переносами. ${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

Иногда евклидовы векторы рассматриваются без ссылки на евклидово пространство. В этом случае евклидов вектор является элементом нормированного векторного пространства конечной размерности над вещественными числами или, как правило, элементом вещественного координатного пространства, снабженным скалярным произведением . Это имеет смысл, поскольку сложение в таком векторном пространстве действует свободно и транзитивно на само векторное пространство. То есть является евклидовым пространством, с самим собой в качестве связанного векторного пространства и скалярным произведением в качестве внутреннего произведения. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Евклидово пространство часто представляется как стандартное евклидово пространство размерности n . Это мотивируется тем фактом, что каждое евклидово пространство размерности n изоморфно евклидову пространству Точнее, если задано такое евклидово пространство, можно выбрать любую точку O в качестве начала координат . С помощью процесса Грама–Шмидта можно также найти ортонормированный базис связанного векторного пространства (базис такой, что скалярное произведение двух базисных векторов равно 0, если они различны, и 1, если они равны). Это определяет декартовы координаты любой точки P пространства, как координаты на этом базисе вектора Эти выборы определяют изоморфизм данного евклидова пространства на , отображая любую точку в n -кортеж ее декартовых координат, а каждый вектор в его координатный вектор . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Примеры в одном измерении

Поскольку понятие силы в физике имеет направление и величину, ее можно рассматривать как вектор. В качестве примера рассмотрим направленную вправо силу F в 15 ньютонов . Если положительная ось также направлена ​​вправо, то F представлена ​​вектором 15 Н, а если положительная указывает влево, то вектор для F равен −15 Н. В любом случае величина вектора равна 15 Н. Аналогично векторное представление смещения Δ s в 4 метра будет равно 4 м или −4 м, в зависимости от его направления, а его величина будет равна 4 м независимо от этого.

В физике и технике

Векторы являются основополагающими в физических науках. Их можно использовать для представления любой величины, которая имеет величину, направление и которая подчиняется правилам сложения векторов. Примером является скорость , величина которой равна скорости . Например, скорость 5 метров в секунду вверх может быть представлена ​​вектором (0, 5) (в 2 измерениях с положительной осью y как «вверх»). Другая величина, представленная вектором, — это сила , поскольку она имеет величину и направление и подчиняется правилам сложения векторов. ^[7] Векторы также описывают многие другие физические величины, такие как линейное перемещение, смещение , линейное ускорение, угловое ускорение , линейный импульс и угловой момент . Другие физические векторы, такие как электрическое и магнитное поле , представляются в виде системы векторов в каждой точке физического пространства; то есть векторного поля . Примерами величин, которые имеют величину и направление, но не подчиняются правилам сложения векторов, являются угловое перемещение и электрический ток. Следовательно, они не являются векторами.

В декартовом пространстве

В декартовой системе координат связанный вектор может быть представлен путем определения координат его начальной и конечной точек. Например, точки A = (1, 0, 0) и B = (0, 1, 0) в пространстве определяют связанный вектор, направленный из точки x = 1 на оси x в точку y = 1 на оси y . ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$

В декартовых координатах свободный вектор можно рассматривать в терминах соответствующего связанного вектора, в этом смысле, начальная точка которого имеет координаты начала координат O = (0, 0, 0) . Затем он определяется координатами конечной точки этого связанного вектора. Таким образом, свободный вектор, представленный как (1, 0, 0), является вектором единичной длины, указывающим вдоль направления положительной оси x .

Это координатное представление свободных векторов позволяет выразить их алгебраические особенности в удобной числовой форме. Например, сумма двух (свободных) векторов (1, 2, 3) и (−2, 0, 4) является (свободным) вектором $${\displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7)\,.}$$

Евклидовы и аффинные векторы

В геометрических и физических условиях иногда можно естественным образом связать длину или величину и направление с векторами. Кроме того, понятие направления строго связано с понятием угла между двумя векторами. Если определено скалярное произведение двух векторов — скалярное произведение двух векторов — то также можно определить длину; скалярное произведение дает удобную алгебраическую характеристику как угла (функция скалярного произведения между любыми двумя ненулевыми векторами), так и длины (квадратный корень скалярного произведения вектора на себя). В трех измерениях можно также определить векторное произведение , которое дает алгебраическую характеристику площади и ориентации в пространстве параллелограмма , определяемого двумя векторами (используемыми в качестве сторон параллелограмма). В любом измерении (и, в частности, в высших измерениях) можно определить внешнее произведение , которое (помимо прочего) дает алгебраическую характеристику площади и ориентации в пространстве n -мерного параллелоэдра, определяемого n векторами.

В псевдоевклидовом пространстве квадрат длины вектора может быть положительным, отрицательным или нулевым. Важным примером является пространство Минковского (которое важно для нашего понимания специальной теории относительности ).

Однако не всегда возможно или желательно определить длину вектора. Этот более общий тип пространственного вектора является предметом векторных пространств (для свободных векторов) и аффинных пространств (для связанных векторов, поскольку каждый из них представлен упорядоченной парой «точек»). Один физический пример взят из термодинамики , где многие интересующие нас величины можно считать векторами в пространстве без понятия длины или угла. ^[15]

Обобщения

В физике, как и в математике, вектор часто отождествляется с кортежем компонентов или списком чисел, которые действуют как скалярные коэффициенты для набора базисных векторов . Когда базис преобразуется, например, путем вращения или растяжения, то компоненты любого вектора в терминах этого базиса также преобразуются в противоположном направлении. Сам вектор не изменился, но изменился базис, поэтому компоненты вектора должны измениться для компенсации. Вектор называется ковариантным или контравариантным , в зависимости от того, как преобразование компонентов вектора связано с преобразованием базиса. В общем случае контравариантные векторы являются «регулярными векторами» с единицами измерения расстояния (например, смещение) или расстояния, умноженного на некоторую другую единицу (например, скорость или ускорение); ковариантные векторы, с другой стороны, имеют единицы измерения, равные единице расстояния, например градиенту . Если вы меняете единицы (частный случай изменения базиса ) с метров на миллиметры, масштабный коэффициент 1/1000, смещение 1 м становится 1000 мм — контравариантное изменение числового значения. Напротив, градиент 1  К /м становится 0,001 К/мм — ковариантное изменение значения (подробнее см. ковариация и контравариация векторов ). Тензоры — это еще один тип величин, которые ведут себя таким образом; вектор — это один из типов тензора .

В чистой математике вектор — это любой элемент векторного пространства над некоторым полем , который часто представляется как вектор координат . Векторы, описанные в этой статье, являются очень частным случаем этого общего определения, поскольку они контравариантны по отношению к окружающему пространству. Контравариантность отражает физическую интуицию, стоящую за идеей, что вектор имеет «величину и направление».

Представления

Векторная стрелка, направленная от А к В

Векторы обычно обозначаются строчными жирными буквами, как в , и , или строчными курсивными жирными буквами, как в a . ( Заглавные буквы обычно используются для обозначения матриц .) Другие соглашения включают или a , особенно в рукописном тексте. В качестве альтернативы некоторые используют тильду (~) или волнистую линию подчеркивания, нарисованную под символом, например , что является соглашением для обозначения жирного шрифта. Если вектор представляет собой направленное расстояние или смещение от точки A до точки B (см. рисунок), его также можно обозначить как или AB . В немецкой литературе было особенно распространено представлять векторы маленькими буквами fraktur, такими как . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\underset {^{\sim }}{a}}}$ ${\displaystyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Векторы обычно изображаются на графиках или других диаграммах в виде стрелок (направленных отрезков ), как показано на рисунке. Здесь точка A называется началом , хвостом , основанием или начальной точкой , а точка B называется головой , кончиком , конечной точкой , конечной точкой или конечной точкой . Длина стрелки пропорциональна величине вектора , а направление, в котором указывает стрелка, указывает направление вектора.

На двумерной диаграмме иногда требуется вектор, перпендикулярный плоскости диаграммы . Эти векторы обычно изображаются в виде маленьких кружков. Круг с точкой в ​​центре (Unicode U+2299 ⊙) обозначает вектор, направленный из передней части диаграммы к наблюдателю. Круг с вписанным в него крестом (Unicode U+2297 ⊗) обозначает вектор, направленный внутрь и за диаграмму. Их можно рассматривать как просмотр наконечника стрелы и просмотр полетов стрелы сзади.

Вектор в декартовой плоскости, показывающий положение точки А с координатами (2, 3).

Для вычислений с векторами графическое представление может быть слишком громоздким. Векторы в n -мерном евклидовом пространстве могут быть представлены как координатные векторы в декартовой системе координат . Конечная точка вектора может быть идентифицирована с помощью упорядоченного списка из n действительных чисел ( n - кортеж ). Эти числа являются координатами конечной точки вектора относительно заданной декартовой системы координат и обычно называются скалярными компонентами (или скалярными проекциями ) вектора на оси системы координат.

В качестве примера в двух измерениях (см. рисунок) вектор из начала координат O = (0, 0) в точку A = (2, 3) записывается просто как $${\displaystyle \mathbf {a} =(2,3).}$$

Понятие, что хвост вектора совпадает с началом координат, подразумевается и легко понимается. Таким образом, более явное обозначение обычно считается ненужным (и действительно редко используется). ${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}$

В трехмерном евклидовом пространстве (или R ³ ) векторы отождествляются с тройками скалярных компонент: также записывается, $${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}).}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z}).}$$

Это можно обобщить на n-мерное евклидово пространство (или R ⁿ ). $${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n}).}$$

Эти числа часто располагаются в виде вектора-столбца или вектора-строки , особенно при работе с матрицами , следующим образом: $${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]^{\operatorname {T} }.}$$

Другой способ представления вектора в n -измерениях - введение стандартных базисных векторов. Например, в трех измерениях их три: Они имеют интуитивную интерпретацию как векторы единичной длины, направленные вверх по осям x , y и z декартовой системы координат соответственно. В их терминах любой вектор a в R ³ может быть выражен в виде: $${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1).}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\ }$$

или $${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3},}$$

где a ₁ , a ₂ , a ₃ называются векторными компонентами (или векторными проекциями ) a на базисные векторы или, что эквивалентно, на соответствующие декартовы оси x , y , и z (см. рисунок), тогда как a ₁ , a ₂ , a ₃ являются соответствующими скалярными компонентами (или скалярными проекциями).

В учебниках по вводной физике стандартные базисные векторы часто обозначаются вместо этого (или , в которых символ шляпы обычно обозначает единичные векторы ). В этом случае скалярные и векторные компоненты обозначаются соответственно a _x , a _y , a _z и a _x , a _y , a _z (обратите внимание на разницу, выделенную жирным шрифтом). Таким образом, ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {}} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{x}+\mathbf {a} _{y}+\mathbf {a} _{z}=a_{x}{\mathbf {i} }+a_{y}{\mathbf {j} }+a_{z}{\mathbf {k} }.}$$

Обозначение e _i совместимо с индексной записью и соглашением о суммировании, обычно используемыми в высшей математике, физике и технике.

Разложение или разрешение

Как объяснялось выше, вектор часто описывается набором векторных компонентов, которые складываются для формирования данного вектора. Обычно эти компоненты являются проекциями вектора на набор взаимно перпендикулярных опорных осей (базисных векторов). Вектор называется разложенным или разрешенным относительно этого набора.

Иллюстрация касательной и нормальной составляющих вектора к поверхности.

Разложение или разложение ^[16] вектора на компоненты не является единственным, поскольку зависит от выбора осей, на которые проецируется вектор.

Более того, использование декартовых единичных векторов, таких как в качестве базиса для представления вектора, не является обязательным. Векторы также могут быть выражены в терминах произвольного базиса, включая единичные векторы цилиндрической системы координат ( ) или сферической системы координат ( ). Последние два варианта более удобны для решения задач, обладающих цилиндрической или сферической симметрией соответственно. ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$

Выбор базиса не влияет на свойства вектора и его поведение при преобразованиях.

Вектор также может быть разложен относительно «нефиксированных» базисных векторов, которые меняют свою ориентацию в зависимости от времени или пространства. Например, вектор в трехмерном пространстве может быть разложен относительно двух осей, соответственно нормальной и касательной к поверхности (см. рисунок). Более того, радиальная и тангенциальная компоненты вектора относятся к радиусу вращения объекта . Первая параллельна радиусу , а вторая ортогональна ему . ^[17]

В этих случаях каждый из компонентов может быть в свою очередь разложен относительно фиксированной системы координат или базисного набора (например, глобальной системы координат или инерциальной системы отсчета ).

Свойства и операции

В следующем разделе используется декартова система координат с базисными векторами и предполагается, что все векторы имеют начало координат в качестве общей базовой точки. Вектор a будет записан как $${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)}$$ $${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$$

Равенство

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую величину и направление. Эквивалентно они будут равны, если их координаты равны. Таким образом, два вектора и равны, если $${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$ $${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$ $${\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\,}$$

Противоположные, параллельные и антипараллельные векторы

Два вектора противоположны , если они имеют одинаковую величину, но противоположное направление ; ^[18] поэтому два вектора

$${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

и

$${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

противоположны, если

$${\displaystyle a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\,}$$

Два вектора являются равнонаправленными (или сонаправленными ), если они имеют одинаковое направление, но не обязательно одинаковую величину. ^[18] Два вектора являются параллельными , если они имеют одинаковое или противоположное направление, но не обязательно одинаковую величину. ^[a]

Сложение и вычитание

Сумма a и b двух векторов может быть определена как Результирующий вектор иногда называют результирующим вектором a и b . $${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

Добавление может быть представлено графически, если поместить хвост стрелки b в начало стрелки a , а затем нарисовать стрелку от хвоста a к началу b . Новая нарисованная стрелка представляет собой вектор a + b , как показано ниже: ^[7]

Сложение двух векторов a и b

Этот метод сложения иногда называют правилом параллелограмма , потому что a и b образуют стороны параллелограмма , а a + b является одной из диагоналей. Если a и b являются связанными векторами, имеющими одну и ту же базовую точку, эта точка также будет базовой точкой a + b . Можно геометрически проверить, что a + b = b + a и ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

Разница между a и b равна

$${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

Вычитание двух векторов можно геометрически проиллюстрировать следующим образом: чтобы вычесть b из a , поместите хвосты a и b в одну точку, а затем нарисуйте стрелку от головы b к голове a . Эта новая стрелка представляет вектор (-b) + a , причем (-b) противоположен b , см. рисунок. И (-b) + a = a − b .

Вычитание двух векторов a и b

Скалярное умножение

Скалярное умножение вектора на коэффициент 3 растягивает вектор.

Вектор также может быть умножен или масштабирован на любое действительное число r . В контексте обычной векторной алгебры эти действительные числа часто называются скалярами (от scale ), чтобы отличать их от векторов. Операция умножения вектора на скаляр называется скалярным умножением . Результирующий вектор равен

$${\displaystyle r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

Интуитивно понятно, что умножение на скаляр r растягивает вектор в r раз . Геометрически это можно представить (по крайней мере, в случае, когда r — целое число) как размещение r копий вектора в линию, где конечная точка одного вектора является начальной точкой следующего вектора.

Если r отрицательно, то вектор меняет направление: он переворачивается на угол 180°. Ниже приведены два примера ( r = −1 и r = 2):

Скалярные произведения − a и 2 a вектора a

Скалярное умножение дистрибутивно относительно сложения векторов в следующем смысле: r ( a + b ) = r a + r b для всех векторов a и b и всех скаляров r . Можно также показать, что a − b = a + (−1) b .

Длина

Длина , величина или норма вектора a обозначается как ‖ a ‖ или, реже, | a | , что не следует путать с абсолютным значением (скалярной «нормой»).

Длину вектора a можно вычислить с помощью евклидовой нормы ,

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}$$

что является следствием теоремы Пифагора, поскольку базисные векторы e ₁ , e ₂ , e ₃ являются ортогональными единичными векторами.

Это равно квадратному корню скалярного произведения вектора на самого себя, обсуждаемого ниже:

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}$$

Единичный вектор

Нормализация вектора a в единичный вектор â

Единичный вектор — это любой вектор длиной один; обычно единичные векторы используются просто для указания направления. Вектор произвольной длины можно разделить на его длину, чтобы создать единичный вектор. ^[14] Это известно как нормализация вектора. Единичный вектор часто обозначается шляпой, как в â .

Чтобы нормализовать вектор a = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) , масштабируем вектор на обратную величину его длины ‖ a ‖. То есть:

$${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}}$$

Нулевой вектор

Нулевой вектор — это вектор с нулевой длиной. Записанный в координатах вектор имеет вид (0, 0, 0) , и его обычно обозначают как , 0 , или просто 0. В отличие от любого другого вектора, он имеет произвольное или неопределенное направление и не может быть нормализован (то есть, нет единичного вектора, кратного нулевому вектору). Сумма нулевого вектора с любым вектором a равна a (то есть, 0 + a = a ). ${\displaystyle {\vec {0}}}$

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов a и b (иногда называемое скалярным произведением или, поскольку его результат является скаляром, скалярным произведением ) обозначается как a  ∙  b и определяется как:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

где θ — это мера угла между a и b ( см. тригонометрическую функцию для объяснения косинуса). Геометрически это означает, что a и b рисуются с общей начальной точкой, а затем длина a умножается на длину компонента b , который указывает в том же направлении, что и a .

Скалярное произведение также можно определить как сумму произведений компонентов каждого вектора:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}$$

Перекрестное произведение

Перекрестное произведение (также называемое векторным произведением или внешним произведением ) имеет смысл только в трех или семи измерениях. Перекрестное произведение отличается от скалярного произведения в первую очередь тем, что результатом перекрестного произведения двух векторов является вектор. Перекрестное произведение, обозначаемое как a  ×  b , является вектором, перпендикулярным как a, так и b, и определяется как

$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n} }$$

где θ — это мера угла между a и b , а n — единичный вектор, перпендикулярный как a, так и b , который завершает правостороннюю систему. Ограничение правосторонности необходимо, поскольку существуют два единичных вектора, перпендикулярных как a , так и b , а именно n и (− n ).

Иллюстрация перекрестного произведения

Перекрестное произведение a  ×  b определяется так, что a , b , и a  ×  b также становятся правой системой (хотя a и b не обязательно ортогональны ). Это правило правой руки .

Длину a  ×  b можно интерпретировать как площадь параллелограмма, стороны которого равны a и b .

Перекрестное произведение можно записать как $${\displaystyle {\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}.}$$

При произвольном выборе пространственной ориентации (то есть с учетом как левосторонних, так и правосторонних систем координат) векторное произведение двух векторов представляет собой псевдовектор, а не вектор (см. ниже).

Скалярное тройное произведение

Скалярное тройное произведение (также называемое коробочным произведением или смешанным тройным произведением ) на самом деле не является новым оператором, а способом применения двух других операторов умножения к трем векторам. Скалярное тройное произведение иногда обозначается как ( a b c ) и определяется как:

$${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$$

Он имеет три основных применения. Во-первых, абсолютное значение произведения ящиков — это объем параллелепипеда , ребра которого определяются тремя векторами. Во-вторых, скалярное тройное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда три вектора линейно зависимы , что можно легко доказать, учитывая, что для того, чтобы три вектора не составляли объем, они все должны лежать в одной плоскости. В-третьих, произведение ящиков положительно тогда и только тогда, когда три вектора a , b и c являются правыми.

В компонентах ( относительно правого ортонормированного базиса ), если три вектора рассматривать как строки (или столбцы, но в том же порядке), скалярное тройное произведение является просто определителем матрицы 3 на 3, имеющей три вектора в качестве строк. $${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}}$$

Скалярное тройное произведение линейно по всем трем элементам и антисимметрично в следующем смысле: $${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).}$$

Преобразование между несколькими декартовыми системами координат

Все примеры до сих пор имели дело с векторами, выраженными в терминах одного и того же базиса, а именно, базиса e { e ₁ , e ₂ , e ₃ }. Однако вектор может быть выражен в терминах любого количества различных баз, которые не обязательно выровнены друг с другом, и все равно остаются тем же вектором. В базисе e вектор a выражается, по определению, как

$${\displaystyle \mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}.}$$

Скалярные компоненты в базисе e по определению равны:

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1},\\q&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2},\\r&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$$

В другом ортонормированном базисе n = { n ₁ , n ₂ , n ₃ }, который не обязательно совпадает с e , вектор a выражается как

$${\displaystyle \mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3}}$$

а скалярные компоненты в n- базисе по определению равны

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

Значения p , q , r , и u , v , w относятся к единичным векторам таким образом, что результирующая векторная сумма является точно таким же физическим вектором a в обоих случаях. Часто встречаются векторы, известные в терминах разных базисов (например, один базис закреплен на Земле, а второй — на движущемся транспортном средстве). В таком случае необходимо разработать метод преобразования между базисами, чтобы можно было выполнять основные векторные операции, такие как сложение и вычитание. Один из способов выразить u , v , w в терминах p , q , r — использовать матрицы-столбцы вместе с матрицей направляющих косинусов, содержащей информацию, которая связывает два базиса. Такое выражение можно сформировать путем подстановки приведенных выше уравнений для формирования

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

Распределение точек-умножения дает

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

Замена каждого скалярного произведения уникальным скаляром дает

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r,\\v&=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r,\\w&=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r,\end{aligned}}}$$

и эти уравнения можно выразить как единое матричное уравнение

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}.}$$

Это матричное уравнение связывает скалярные компоненты a в базисе n ( u , v и w ) с компонентами в базисе e ( p , q и r ). Каждый элемент матрицы c _jk является направляющим косинусом, связывающим n _j с e _k . ^[19] Термин направляющий косинус относится к косинусу угла между двумя единичными векторами, который также равен их скалярному произведению. ^[19] Следовательно,

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{11}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{12}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{13}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{21}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{22}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{23}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{31}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{32}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{33}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$

Ссылаясь совместно на e ₁ , e ₂ , e ₃ как на e базис и на n ₁ , n ₂ , n ₃ как на n базис, матрица, содержащая все c _jk , известна как « матрица преобразования из e в n » или « матрица поворота из e в n » (потому что ее можно представить как «поворот» вектора из одного базиса в другой), или «матрица направляющих косинусов из e в n » ^[19] (потому что она содержит направляющие косинусы). Свойства матрицы поворота таковы, что ее обратная равна ее транспонированной . Это означает, что «матрица поворота из e в n » является транспонированной «матрицей поворота из n в e ».

Свойства матрицы направляющего косинуса C следующие: ^[20]

• определитель равен единице, |C| = 1;
• обратная операция равна транспонированной;
• строки и столбцы являются ортогональными единичными векторами, поэтому их скалярные произведения равны нулю.

Преимущество этого метода заключается в том, что матрицу направляющих косинусов обычно можно получить независимо, используя углы Эйлера или кватернион для связи двух векторных базисов, поэтому преобразования базисов можно выполнять напрямую, без необходимости вычисления всех скалярных произведений, описанных выше.

Применяя последовательно несколько умножений матриц, любой вектор можно выразить в любом базисе, если известен набор направляющих косинусов, связывающих последовательные базисы. ^[19]

Другие размеры

За исключением перекрестных и тройных произведений, приведенные выше формулы обобщаются на два измерения и более высокие измерения. Например, сложение обобщается на два измерения как и на четыре измерения как $${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned}}}$$

Перекрестное произведение нелегко обобщается на другие измерения, хотя тесно связанное с ним внешнее произведение обобщается, результатом которого является бивектор . В двух измерениях это просто псевдоскаляр $${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.}$$

Семимерное векторное произведение похоже на векторное произведение в том, что его результатом является вектор, ортогональный двум аргументам; однако не существует естественного способа выбора одного из возможных таких произведений.

Физика

Векторы широко применяются в физике и других науках.

Длина и единицы измерения

В абстрактных векторных пространствах длина стрелки зависит от безразмерной шкалы . Если она представляет, например, силу, то «шкала» имеет физическую размерность длина/сила. Таким образом, обычно существует согласованность в масштабе между величинами одной размерности, но в противном случае масштабные соотношения могут различаться; например, если «1 ньютон» и «5 м» оба представлены стрелкой 2 см, масштабы составляют 1 м:50 Н и 1:250 соответственно. Одинаковая длина векторов разной размерности не имеет особого значения, если только нет некоторой константы пропорциональности , присущей системе, которую представляет диаграмма. Также длина единичного вектора (размерности длина, а не длина/сила и т. д.) не имеет инвариантного относительно системы координат значения.

Векторнозначные функции

Часто в областях физики и математики вектор развивается во времени, то есть зависит от временного параметра t . Например, если r представляет вектор положения частицы, то r ( t ) дает параметрическое представление траектории частицы. Векторнозначные функции можно дифференцировать и интегрировать , дифференцируя или интегрируя компоненты вектора, и многие из известных правил исчисления продолжают действовать для производной и интеграла векторнозначных функций.

Положение, скорость и ускорение

Положение точки x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) в трехмерном пространстве можно представить в виде радиус-вектора , базовая точка которого является началом координат . Радиус-вектор имеет размерность длины . $${\displaystyle {\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$$

Если даны две точки x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ), их смещение является вектором , который определяет положение y относительно x . Длина этого вектора дает расстояние по прямой от x до y . Смещение имеет размерность длины. $${\displaystyle {\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}.}$$

Скорость v точки или частицы — это вектор, его длина дает скорость . Для постоянной скорости положение в момент времени t будет где x ₀ — это положение в момент времени t = 0. Скорость — это производная положения по времени. Ее размерность — длина/время. $${\displaystyle {\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0},}$$

Ускорение a точки — вектор, являющийся производной скорости по времени. Его размерность — длина/время ² .

Сила, энергия, работа

Сила — это вектор с размерностью масса×длина/время ² (Н мс ^-2 ), а второй закон Ньютона — это скалярное произведение $${\displaystyle {\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} }}$$

Работа — это скалярное произведение силы и перемещения. $${\displaystyle W={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}).}$$

Векторы, псевдовекторы и преобразования

Альтернативная характеристика евклидовых векторов, особенно в физике, описывает их как списки величин, которые ведут себя определенным образом при преобразовании координат . Контравариантный вектор должен иметь компоненты, которые «преобразуются противоположно базису» при изменении базиса . Сам вектор не изменяется при преобразовании базиса; вместо этого компоненты вектора вносят изменение, которое отменяет изменение базиса. Другими словами, если опорные оси (и базис, полученный из него) были повернуты в одном направлении, компонентное представление вектора повернулось бы в противоположном направлении, чтобы сгенерировать тот же самый конечный вектор. Аналогично, если опорные оси были растянуты в одном направлении, компоненты вектора сократились бы точно компенсирующим образом. Математически, если базис подвергается преобразованию, описываемому обратимой матрицей M , так что координатный вектор x преобразуется в x ′ = M x , то контравариантный вектор v должен быть аналогично преобразован посредством v ′ = M v ${\displaystyle ^{-1}}$ . Это важное требование отличает контравариантный вектор от любой другой тройки физически значимых величин. Например, если v состоит из x , y и z -компонент скорости , то v является контравариантным вектором: если координаты пространства растягиваются, поворачиваются или скручиваются, то компоненты скорости преобразуются таким же образом. С другой стороны, например, тройка, состоящая из длины, ширины и высоты прямоугольного ящика, могла бы составлять три компонента абстрактного вектора , но этот вектор не был бы контравариантным, поскольку вращение ящика не изменяет его длину, ширину и высоту. Примерами контравариантных векторов являются смещение , скорость , электрическое поле , импульс , сила и ускорение .

На языке дифференциальной геометрии требование, чтобы компоненты вектора преобразовывались в соответствии с той же матрицей перехода координат, эквивалентно определению контравариантного вектора как тензора контравариантного ранга один. В качестве альтернативы контравариантный вектор определяется как касательный вектор , а правила преобразования контравариантного вектора следуют из цепного правила .

Некоторые векторы преобразуются как контравариантные векторы, за исключением того, что когда они отражаются через зеркало, они переворачиваются и приобретают знак минус. Преобразование, которое переключает правизну на левизну и наоборот, как это делает зеркало, называется изменением ориентации пространства. Вектор, который приобретает знак минус при изменении ориентации пространства, называется псевдовектором или аксиальным вектором . Обычные векторы иногда называют истинными векторами или полярными векторами, чтобы отличать их от псевдовекторов. Псевдовекторы чаще всего встречаются как перекрестное произведение двух обычных векторов.

Одним из примеров псевдовектора является угловая скорость . При движении в автомобиле и взгляде вперед каждое из колес имеет вектор угловой скорости, направленный влево. Если мир отражается в зеркале, которое меняет местами левую и правую сторону автомобиля, отражение этого вектора угловой скорости указывает вправо, но фактический вектор угловой скорости колеса по-прежнему указывает влево, что соответствует знаку минус. Другие примеры псевдовекторов включают магнитное поле , крутящий момент или, в более общем смысле, любое перекрестное произведение двух (истинных) векторов.

Это различие между векторами и псевдовекторами часто игнорируется, но оно становится важным при изучении свойств симметрии .

Смотрите также

• Аффинное пространство , которое различает векторы и точки
• Банахово пространство
• Алгебра Клиффорда
• Комплексное число
• Система координат
• Ковариантность и контравариантность векторов
• Четырехмерный вектор , неевклидов вектор в пространстве Минковского (т.е. четырехмерном пространстве-времени), важный в теории относительности .
• Функциональное пространство
• Уроки развития Грассмана
• Гильбертово пространство
• Нормальный вектор
• Нулевой вектор
• Четность (физика)
• Положение (геометрия)
• Псевдовектор
• Кватернион
• Тангенциальная и нормальная составляющие (вектора)
• Тензор
• Единичный вектор
• Векторный пакет
• Векторные исчисления
• Векторная нотация
• Векторная функция

Примечания

1. «Можно привести к той же прямой линии с помощью параллельного переноса». ^[18]

1. Иванов 2001
2. Хайнбокель 2001
3. Ито 1993, с. 1678 г.; Педо 1988 г.
4. Латинское: vectus, совершенное причастие от vehere, «нести»/ veho = «я несу». Для исторического развития слова vector см. «vector n» . Oxford English Dictionary (Online ed.). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.) и Джефф Миллер. "Самые ранние известные применения некоторых слов математики" . Получено 25.05.2007 .
5. Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Лондон: Clarendon Press. 2001. ISBN 9780195219425.
6. "вектор | Определение и факты". Encyclopedia Britannica . Получено 2020-08-19 .
7. "Векторы". www.mathsisfun.com . Получено 2020-08-19 .
8. Weisstein, Eric W. "Vector". mathworld.wolfram.com . Получено 19 августа 2020 г.
9. Майкл Дж. Кроу , История векторного анализа ; см. также его "конспекты лекций" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 26 января 2004 г. Получено 2010-09-04 .по теме.
10. WR Hamilton (1846) Лондон, Эдинбург и Дублин Философский журнал 3-я серия 29 27
11. Itô 1993, стр. 1678
12. Ранее известный как расположенный вектор . См. Lang 1986, стр. 9.
13. В некоторых старых текстах пара ( A , B ) называется связанным вектором , а ее класс эквивалентности — свободным вектором .
14. "1.1: Векторы". Mathematics LibreTexts . 2013-11-07 . Получено 2020-08-19 .
15. Термодинамика и дифференциальные формы
16. Гиббс, Дж. В. (1901). Векторный анализ: учебник для студентов математики и физики, основанный на лекциях Дж. Уилларда Гиббса , Э. Б. Уилсон, Chares Scribner's Sons, Нью-Йорк, стр. 15: "Любой вектор r, лежащий в одной плоскости с двумя неколлинеарными векторами a и b, может быть разложен на два компонента, параллельных a и b соответственно. Это разложение может быть достигнуто путем построения параллелограмма ..."
17. "U. Guelph Physics Dept., "Torque and Angular Acceleration"". Архивировано из оригинала 2007-01-22 . Получено 2007-01-05 .
18. Harris, John W.; Stöcker, Horst (1998). Справочник по математике и вычислительной науке. Birkhäuser. Глава 6, стр. 332. ISBN 0-387-94746-9.
19. Кейн и Левинсон 1996, стр. 20–22
20. Роджерс, Роберт М. (2007). Прикладная математика в интегрированных навигационных системах (3-е изд.). Рестон, Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики. ISBN 9781563479274. OCLC  652389481.

Ссылки

Математические методы лечения

• Апостол, Том (1967). Исчисление. Том 1: Одномерное исчисление с введением в линейную алгебру. Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1.
• Апостол, Том (1969). Исчисление . Том 2: Многомерное исчисление и линейная алгебра с приложениями. Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5.
• Хайнбокель, Дж. Х. (2001), Введение в тензорное исчисление и механику сплошной среды, Trafford Publishing, ISBN 1-55369-133-4.
• Ито, Киёси (1993), Энциклопедический математический словарь (2-е изд.), MIT Press , ISBN 978-0-262-59020-4.
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Вектор», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
• Кейн, Томас Р.; Левинсон, Дэвид А. (1996), Dynamics Online , Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics.
• Ланг, Серж (1986). Введение в линейную алгебру (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-96205-0.
• Педоу, Дэниел (1988). Геометрия: Полный курс . Дувр. ISBN 0-486-65812-0.

Физические методы лечения

• Арис, Р. (1990). Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости. Довер. ISBN 978-0-486-66110-0.
• Фейнман, Ричард ; Лейтон, Р.; Сэндс, М. (2005). "Глава 11". Лекции Фейнмана по физике . Том I (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-8053-9046-9.

Внешние ссылки

• «Вектор», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Онлайн-идентификаторы векторов ( PDF )
• Знакомство с векторами. Концептуальное введение ( прикладная математика )