В математике величина или размер математического объекта — это свойство, которое определяет, является ли объект больше или меньше других объектов того же типа . Более формально, величина объекта — это отображаемый результат упорядочения ( или ранжирования) класса объектов , к которому он принадлежит. Величина как концепция возникла в Древней Греции и применялась как мера расстояния от одного объекта к другому. Для чисел абсолютное значение числа обычно применяется как мера единиц между числом и нулем.
В векторных пространствах евклидова норма — это мера величины, используемая для определения расстояния между двумя точками пространства. В физике величину можно определить как количество или расстояние. Порядок величины обычно определяется как единица расстояния между одним числом и числовыми знаками другого в десятичной шкале.
Древние греки различали несколько типов величины, [1] в том числе:
Они доказали, что первые две не могут быть одинаковыми или даже изоморфными системами величин. [2] Они не считали отрицательные величины значимыми, и величина до сих пор в основном используется в контекстах, в которых ноль является либо наименьшим размером, либо меньше всех возможных размеров.
Величину любого числа обычно называют его абсолютным значением или модулем , обозначаемым . [3]
Абсолютное значение действительного числа r определяется следующим образом: [4]
Абсолютное значение также можно рассматривать как расстояние числа от нуля на прямой числовой линии . Например, абсолютное значение как 70, так и -70 равно 70.
Комплексное число z можно рассматривать как положение точки P в двумерном пространстве , называемом комплексной плоскостью . Абсолютное значение (или модуль ) z можно рассматривать как расстояние P от начала этого пространства. Формула для абсолютного значения z = a + bi аналогична формуле для евклидовой нормы вектора в двумерном евклидовом пространстве : [5]
где действительные числа a и b представляют собой действительную и мнимую часть z соответственно. Например, модуль −3 + 4 i равен . Альтернативно, величина комплексного числа z может быть определена как квадратный корень из произведения самого себя и его комплексно-сопряженного числа , , где для любого комплексного числа его комплексно-сопряженное число равно .
(где ).
Евклидов вектор представляет положение точки P в евклидовом пространстве . Геометрически его можно описать как стрелку от начала пространства (хвост вектора) к этой точке (кончик вектора). Математически вектор x в n -мерном евклидовом пространстве можно определить как упорядоченный список из n действительных чисел ( декартовы координаты P ): x = [ x1 , x2 , ... , xn ] . Его величина или длина , обозначаемая , [6] чаще всего определяется как его евклидова норма (или евклидова длина): [7]
Например, в трехмерном пространстве величина [3, 4, 12] равна 13, потому что это эквивалентно квадратному корню из скалярного произведения вектора с самим собой:
Евклидова норма вектора — это всего лишь частный случай евклидова расстояния : расстояние между его хвостом и кончиком. Два аналогичных обозначения используются для евклидовой нормы вектора x :
Недостатком второго обозначения является то, что его можно использовать и для обозначения абсолютного значения скаляров и определителей матриц , что вносит элемент неоднозначности .
По определению все евклидовы векторы имеют величину (см. выше). Однако вектор в абстрактном векторном пространстве не обладает величиной.
Векторное пространство , наделенное нормой , такое как евклидово пространство, называется нормированным векторным пространством . [8] Нормой вектора v в нормированном векторном пространстве можно считать величину v .
В псевдоевклидовом пространстве величина вектора — это значение квадратичной формы этого вектора.
При сравнении величин часто используют логарифмическую шкалу . Примеры включают громкость звука ( измеряется в децибелах ), яркость звезды и шкалу Рихтера интенсивности землетрясения . Логарифмические величины могут быть отрицательными. В естественных науках логарифмическую величину обычно называют уровнем .
Порядки величины обозначают разницу в числовых величинах, обычно измерениях, в 10 раз, то есть разницу в одну цифру в расположении десятичной точки.
В математике понятие меры — это обобщение и формализация геометрических мер ( длины , площади , объёма ) и других распространенных понятий, таких как величина, масса и вероятность событий. Эти, казалось бы, разные концепции имеют много общего и часто могут рассматриваться вместе в едином математическом контексте. Меры являются основополагающими в теории вероятностей и теории интегрирования , и их можно обобщить, приняв отрицательные значения , как в случае с электрическим зарядом . Далеко идущие обобщения меры (такие как спектральные меры и проекционнозначные меры ) широко используются в квантовой физике и физике в целом.
Интуиция, лежащая в основе этой концепции, восходит к Древней Греции , когда Архимед пытался вычислить площадь круга . Но только в конце 19 — начале 20 веков теория меры стала разделом математики. Основы современной теории меры были заложены в работах Эмиля Бореля , Анри Лебега , Николая Лузина , Иоганна Радона , Константина Каратеодори и Мориса Фреше и других.Идея несоизмеримых пар длин отрезков была открыта в Древней Греции.