В геометрии отрезок — это часть прямой , которая ограничена двумя различными конечными точками и содержит каждую точку линии, находящуюся между ее конечными точками. Это частный случай дуги с нулевой кривизной . Длина отрезка определяется евклидовым расстоянием между его конечными точками. Замкнутый сегмент линии включает обе конечные точки, а разомкнутый сегмент исключает обе конечные точки; полуоткрытый отрезок включает ровно одну из конечных точек. В геометрии сегмент линии часто обозначается с помощью надстрочной линии ( винкулума ) над символами двух конечных точек, например, в AB . [1]
Примеры сегментов линий включают стороны треугольника или квадрата. В более общем смысле, когда обе конечные точки сегмента являются вершинами многоугольника или многогранника , отрезок прямой является либо ребром (этого многоугольника или многогранника), если они являются соседними вершинами, либо диагональю . Когда обе конечные точки лежат на кривой (например, на окружности ), отрезок прямой называется хордой (этой кривой).
Если V — векторное пространство над или , а L — подмножество V , то L — отрезок прямой , если L можно параметризовать как
для некоторых векторов , где v не равно нулю. Концами L тогда являются векторы u и u + v .
Иногда необходимо различать «открытые» и «закрытые» отрезки. В этом случае можно было бы определить замкнутый сегмент линии , как указано выше, а разомкнутый сегмент линии как подмножество L , которое можно параметризовать как
для некоторых векторов
Эквивалентно, отрезок линии — это выпуклая оболочка двух точек. Таким образом, отрезок прямой можно выразить как выпуклую комбинацию двух конечных точек отрезка.
В геометрии можно было бы определить точку B как находящуюся между двумя другими точками A и C , если расстояние | АБ | добавлено к расстоянию | до нашей эры | равно расстоянию | переменного тока | . Таким образом, на отрезке с концами и находится следующий набор точек:
В аксиоматической трактовке геометрии предполагается, что понятие промежутка либо удовлетворяет определенному количеству аксиом, либо определяется в терминах изометрии линии (используемой в качестве системы координат).
Сегменты играют важную роль в других теориях. Например, в выпуклом множестве отрезок, соединяющий любые две точки множества, содержится в множестве. Это важно, поскольку преобразует часть анализа выпуклых множеств в анализ отрезка прямой. Постулат сложения сегментов можно использовать для добавления конгруэнтных сегментов или сегментов одинаковой длины и, следовательно, замены других сегментов в другое утверждение, чтобы сделать сегменты конгруэнтными.
Отрезок прямой можно рассматривать как вырожденный случай эллипса , в котором малая полуось стремится к нулю, фокусы — к конечным точкам, а эксцентриситет — к единице . Стандартное определение эллипса — это набор точек, для которых сумма расстояний точки до двух фокусов является постоянной; если эта константа равна расстоянию между фокусами, результатом будет отрезок линии. Полная орбита этого эллипса дважды пересекает отрезок прямой. Как вырожденная орбита, это радиальная эллиптическая траектория .
Помимо того, что сегменты линий выглядят как ребра и диагонали многоугольников и многогранников , они также появляются во многих других местах относительно других геометрических фигур .
Некоторые очень часто считают, что сегменты треугольника включают три высоты (каждая из которых перпендикулярно соединяет сторону или ее продолжение с противоположной вершиной ), три медианы (каждая из которых соединяет середину стороны с противоположной вершиной), серединные перпендикуляры сторон ( перпендикулярно соединяющий середину стороны с одной из других сторон) и внутренние биссектрисы (каждая из которых соединяет вершину с противоположной стороной). В каждом случае существуют различные равенства , связывающие длины этих отрезков с другими (обсуждаемые в статьях о различных типах отрезков), а также различные неравенства .
Другие сегменты треугольника, представляющие интерес, включают сегменты, соединяющие различные центры треугольника друг с другом, в первую очередь инцентр , описанный центр , девятиточечный центр , центроид и ортоцентр .
Помимо сторон и диагоналей четырехугольника , некоторыми важными сегментами являются две бимедианы (соединяющие середины противоположных сторон) и четыре высоты (каждый перпендикулярно соединяет одну сторону с серединой противоположной стороны).
Любой отрезок прямой, соединяющий две точки окружности или эллипса , называется хордой . Любая хорда окружности, у которой больше нет хорды, называется диаметром , а любой отрезок, соединяющий центр окружности (середину диаметра) с точкой на окружности, называется радиусом .
В эллипсе самая длинная хорда, которая также является самым длинным диаметром , называется большой осью , а сегмент от середины большой оси (центра эллипса) до любой конечной точки большой оси называется большой полуосью. . Аналогично, кратчайший диаметр эллипса называется малой осью , а отрезок от его средней точки (центра эллипса) до любой из его конечных точек называется малой полуосью . Хорды эллипса, перпендикулярные большой оси и проходящие через один из ее фокусов , называются латеральными прямыми эллипса. Интерфокальный сегмент соединяет два фокуса.
Когда отрезку прямой задана ориентация (направление), он называется направленным отрезком . Это предполагает перемещение или смещение (возможно, вызванное силой ) . Величина и направление указывают на потенциальное изменение. Продление отрезка направленной линии полубесконечно дает луч , а бесконечное удлинение в обоих направлениях дает направленную линию . Это предположение вошло в математическую физику через концепцию евклидова вектора . [2] [3] Набор всех направленных отрезков линий обычно сокращается, делая «эквивалентной» любую пару, имеющую одинаковую длину и ориентацию. [4] Это применение отношения эквивалентности восходит к введению Джусто Беллавитисом концепции равноправия направленных отрезков прямой в 1835 году.
Аналогично сегментам прямых, описанным выше, можно также определить дуги как сегменты кривой .
В одномерном пространстве шар представляет собой отрезок прямой.
Ориентированный плоский сегмент или бивектор обобщает направленный сегмент.
Эта статья включает в себя материал из сегмента Line на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .