В математике изометрия (или конгруэнтность , или конгруэнтное преобразование ) — это сохраняющее расстояние преобразование между метрическими пространствами , которое обычно считается биективным . [a] Слово изометрия происходит от древнегреческого : ἴσος isos, что означает «равный», и μέτρον Metron, что означает «мера». Если преобразование происходит из метрического пространства в себя, это своего рода геометрическое преобразование, известное как движение .
Введение
Учитывая метрическое пространство (проще говоря, набор и схему назначения расстояний между элементами набора), изометрия — это преобразование, которое отображает элементы в то же или другое метрическое пространство так, что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами исходного метрического пространства. В двумерном или трехмерном евклидовом пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны , если они связаны изометрией; [б]
изометрия, которая их связывает, представляет собой либо жесткое движение (перенос или вращение), либо смесь жесткого движения и отражения .
Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство встроено в другое. Например, пополнение метрического пространства включает изометрию из фактормножества пространства последовательностей Коши на. Таким образом,
исходное пространство изометрически изоморфно подпространству полного метрического пространства и обычно отождествляется с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого нормированного векторного пространства и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого банахова пространства .
Пусть и - метрические пространства с метриками (например, расстояниями) и Карта называется изометрией или картой, сохраняющей расстояние , если для любого из них имеется
[4] [с]
Изометрия автоматически инъективна ; [a] в противном случае две различные точки, a и b , могли бы быть отображены в одну и ту же точку, что противоречит тем самым аксиоме совпадения метрики d , т. е. тогда и только тогда, когда . Это доказательство аналогично доказательству того, что упорядоченное вложение между частично упорядоченными множествами инъективно. Ясно, что каждая изометрия метрических пространств является топологическим вложением.
Глобальная изометрия , изометрический изоморфизм или конгруэнтное отображение — это биективная изометрия. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет обратную функцию . Обратная глобальная изометрия также является глобальной изометрией.
Два метрических пространства X и Y называются изометрическими , если существует биективная изометрия X в Y . Набор биективных изометрий метрического пространства самому себе образует группу относительно композиции функций , называемую группой изометрий .
Существует также более слабое понятие изометрии пути или дуговой изометрии :
Изометрия пути или дуговая изометрия — это карта, которая сохраняет длины кривых ; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращают до просто изометрии , поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип имеется в виду.
Карта представляет собой изометрию пути , но не (общую) изометрию. Обратите внимание, что в отличие от изометрии, эта изометрия пути не обязательно должна быть инъективной.
Изометрии между нормированными пространствами
Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.
Определение : [5] Середина двух элементов x и y в векторном пространстве — это вектор1/2( х + у ) .
Теорема [5] [6] — Пусть A : X → Y — сюръективная изометрия между нормированными пространствами , которая отображает 0 в 0 ( Стефан Банах назвал такие отображения вращениями ) , причем обратите внимание, что A не предполагается линейной изометрией. Тогда A отображает средние точки в средние точки и является линейным как отображение действительных чисел . Если X и Y — комплексные векторные пространства, то A может не быть линейным как отображение над .
для всех [7]
Линейные изометрии являются отображениями, сохраняющими расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективны .
Изометрия многообразия — это любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрики на многообразии; многообразие с (положительно определенной) метрикой является римановым многообразием , многообразие с неопределенной метрикой — псевдоримановым многообразием . Таким образом, изометрии изучаются в римановой геометрии .
Локальная изометрия одного ( псевдо- ) риманова многообразия в другое — это отображение, которое возвращает метрический тензор второго многообразия к метрическому тензору первого. Когда такое отображение также является диффеоморфизмом , такое отображение называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ) и дает понятие изоморфизма («идентичности») в категории Rm римановых многообразий.
Определение
Пусть и — два (псевдо)римановых многообразия, и пусть — диффеоморфизм. Тогда называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ), если
где обозначает обратный образ метрического тензора ранга (0, 2) на .
Эквивалентно, с точки зрения прямого продвижения , мы имеем это для любых двух векторных полей на (т.е. сечениях касательного расслоения ),
Теорема Майерса -Стинрода утверждает, что каждая изометрия между двумя связными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является группой Ли .
Учитывая положительное действительное число ε, ε-изометрия или почти изометрия (также называемая приближением Хаусдорфа ) — это отображение между метрическими пространствами такое, что
для одного есть и
для любой точки существует точка с
То есть ε -изометрия сохраняет расстояния с точностью до ε и не оставляет ни одного элемента кодомена дальше, чем на ε , от образа элемента области. Заметим, что ε -изометрии не считаются непрерывными .
Свойство ограниченной изометрии характеризует почти изометрические матрицы для разреженных векторов.
Можно также определить элемент в абстрактной единичной C*-алгебре как изометрию:
является изометрией тогда и только тогда, когда
Обратите внимание, что, как упоминалось во введении, это не обязательно унитарный элемент, поскольку, как правило, не существует того, что левый инверсный является правым инверсным.
^ ab «Нам будет удобно использовать слово « преобразование» в специальном смысле взаимно-однозначного соответствия между всеми точками на плоскости (или в пространстве), то есть правило связывания пар точек с понимание того, что каждая пара имеет первый член P и второй член P' и что каждая точка встречается как первый член только одной пары, а также как второй член только одной пары...В частности, изометрия (или «конгруэнтное преобразование», или «конгруэнтность») — это преобразование, сохраняющее длину…» — Коксетер (1969), стр. 29 [2]
^
3.11. Любые два равных треугольника связаны единственной изометрией. - Коксетер (1969) с. 39 [3]
^ Пусть T — преобразование (возможно, многозначное) из ( ) в себя. Пусть будет расстоянием между точками p и q изображения , и пусть Tp , Tq будут любыми изображениями точек p и q соответственно. Если существует длина a > 0 такая, что всякий раз, когда , то T является евклидовым преобразованием на самого себя. [4]
Рекомендации
^ Коксетер 1969, с. 46
3.51. Любая прямая изометрия представляет собой либо сдвиг, либо поворот. Любая противоположная изометрия является либо отражением, либо скользящим отражением.
^ Коксетер 1969, с. 29
^ Коксетер 1969, с. 39
^ аб Бекман, Ф.С.; Куорлз, Д.А. младший (1953). «Об изометриях евклидовых пространств» (PDF) . Труды Американского математического общества . 4 (5): 810–815. дои : 10.2307/2032415 . JSTOR 2032415. МР 0058193.
^ ab Narici & Beckenstein 2011, стр. 275–339.
^ Виланский 2013, стр. 21–26.
^ Томсен, Джеспер Фанч (2017). Линейная алгебра [ Линейная алгебра ]. Кафедра математики (на датском языке). Орхус: Орхусский университет. п. 125.
^ Саул, Лоуренс К.; Роуэйс, Сэм Т. (июнь 2003 г.). «Думай глобально, подходи локально: обучение нелинейных многообразий без учителя». Журнал исследований машинного обучения . 4 (июнь): 119–155. Квадратичная оптимизация (стр. 135) такая, что
^ Чжан, Чжэньюэ; Чжа, Хунъюань (2004). «Основные многообразия и нелинейное уменьшение размеров посредством выравнивания локального касательного пространства». Журнал SIAM по научным вычислениям . 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957 . дои : 10.1137/s1064827502419154.
^ Чжан, Чжэньюэ; Ван, Цзин (2006). «MLLE: модифицированное локально линейное встраивание с использованием нескольких весов». В Шёлкопфе, Б.; Платт, Дж.; Хоффман, Т. (ред.). Достижения в области нейронных систем обработки информации . NIPS 2006. Слушания NeurIPS. Том. 19. стр. 1593–1600. ISBN9781622760381. Он может получить идеальное вложение, если MLLE применяется к точкам данных, выбранным из изометрического многообразия.
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК 840278135.
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК 853623322.
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК 849801114.