Нулевой вектор

Вектор, на котором квадратичная форма равна нулю

Нулевой конус, где ${\displaystyle q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}.}$

В математике , учитывая векторное пространство X с ассоциированной квадратичной формой q , записанной ( X , q ) , нулевой вектор или изотропный вектор — это ненулевой элемент x из X , для которого q ( x ) = 0 .

В теории действительных билинейных форм различают определенные квадратичные формы и изотропные квадратичные формы . Они отличаются тем, что только для последнего существует ненулевой нулевой вектор.

Квадратичное пространство ( X , q ) , имеющее нулевой вектор, называется псевдоевклидовым пространством .

Псевдоевклидово векторное пространство может быть разложено (неоднозначно) на ортогональные подпространства A и B , X = A + B , где q положительно определенное на A и отрицательно определенное на B . Нулевой конус или изотропный конус X состоит из объединения сбалансированных сфер :

$${\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,a\in A,b\in B\}.}$$

изотропных линий,

Сплит-алгебры

Композиционная алгебра с нулевым вектором является расщепляемой алгеброй . ^[1]

В композиционной алгебре ( A , +, ×, *) квадратичная форма равна q( x ) = xx *. Когда x — нулевой вектор, для x не существует мультипликативного обратного вектора , и поскольку x ≠ 0, A не является алгеброй с делением .

В конструкции Кэли-Диксона расщепляемые алгебры возникают в рядах бикомплексных чисел , бикватернионов и биоктонионов , которые используют поле комплексных чисел в качестве основы этой конструкции удвоения, предложенной Л. Е. Диксоном (1919). В частности, эти алгебры имеют две мнимые единицы , которые коммутируют так, что их произведение в квадрате дает +1: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle (hi)^{2}=h^{2}i^{2}=(-1)(-1)=+1.}$Затем

${\displaystyle (1+hi)(1+hi)^{*}=(1+hi)(1-hi)=1-(hi)^{2}=0}$поэтому 1 + hi — нулевой вектор.

Реальные подалгебры, расщепленные комплексные числа , разделенные кватернионы и разделенные октонионы с их нулевыми конусами, представляющими движение света в 0 ∈ A и из него , предполагают топологию пространства-времени .

Примеры

Светоподобные векторы пространства Минковского являются нулевыми векторами.

Четыре линейно независимых бикватерниона l = 1 + hi , n = 1 + hj , m = 1 + hk и m ^∗ = 1 – hk являются нулевыми векторами, а { l , n , m , m ^∗ } могут служить основой для подпространство, используемое для представления пространства-времени . Нулевые векторы также используются в подходе формализма Ньюмана-Пенроуза к пространственно-временным многообразиям. ^[2]

В модуле Верма алгебры Ли имеются нулевые векторы.

Рекомендации

1. Артур А. Сэгл и Ральф Э. Уолде (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли , страница 197, Academic Press
2. Патрик Долан (1968) Решение уравнений Максвелла-Эйнштейна без особенностей, Communications in Mathematical Physics 9 (2): 161–8, особенно 166, ссылка из Project Euclid

• Дубровин, Б.А.; Фоменко А.Т. ; Новиков, СП (1984). Современная геометрия: методы и приложения . Перевод Бернса, Роберта Г. Спрингера. п. 50. ISBN 0-387-90872-2.
• Шоу, Рональд (1982). Линейная алгебра и представления групп. Том. 1. Академическая пресса . п. 151. ИСБН 0-12-639201-3.
• Невилл, Э.Х. (Эрик Гарольд) (1922). Пролегомены к аналитической геометрии в анизотропном евклидовом пространстве трех измерений. Издательство Кембриджского университета . п. 204.