Арифметическая прогрессия

Последовательность равноотстоящих чисел

Доказательство без слов формул арифметической прогрессии с использованием повернутой копии блоков.

Арифметическая прогрессия или арифметическая последовательность — это последовательность чисел , в которой разность между любым последующим членом и его предыдущим членом остается постоянной на протяжении всей последовательности. Постоянная разность называется общей разностью этой арифметической прогрессии. Например, последовательность 5, 7, 9, 11 , 13, 15, . . . является арифметической прогрессией с общей разностью 2.

Если начальный член арифметической прогрессии равен , а разность последовательных членов равна , то -й член последовательности ( ) определяется выражением ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

Конечная часть арифметической прогрессии называется конечной арифметической прогрессией , а иногда просто арифметической прогрессией. Сумма конечной арифметической прогрессии называется арифметическим рядом .

История

Согласно анекдоту неопределенной достоверности, ^[1] в начальной школе Карл Фридрих Гаусс заново изобрел формулу для суммирования целых чисел от 1 до , для случая , сгруппировав числа с обоих концов последовательности в пары, в сумме дающие 101 и умноженные на количество пар. Независимо от правдивости этой истории, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу. Подобные правила были известны в древности Архимеду , Гипсиклу и Диофанту ; [ ^2] в Китае Чжан Цюцзяню ; в Индии Арьябхате , Брахмагупте и Бхаскаре II ; ^[3] и в средневековой Европе Алкуину , ^[4] Дикуилу , ^[5] Фибоначчи , ^[6] Сакробоско , ^[7] и анонимным комментаторам Талмуда , известным как тосафисты . ^[8] Некоторые считают вероятным, что его происхождение восходит к пифагорейцам в V веке до нашей эры. ^[9] ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=100}$

Сумма

Вычисление суммы 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Когда последовательность переворачивается и добавляется к себе почленно, в результирующей последовательности есть одно повторяющееся значение, равное сумме первого и последнего чисел (2 + 14 = 16). Таким образом, 16 × 5 = 80 — это удвоенная сумма.

Сумма членов конечной арифметической прогрессии называется арифметическим рядом . Например, рассмотрим сумму:

${\displaystyle 2+5+8+11+14=40}$

Эту сумму можно быстро найти, взяв число n добавляемых членов (здесь 5), умножив его на сумму первого и последнего числа в прогрессии (здесь 2 + 14 = 16) и разделив на 2:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

В приведенном выше случае это дает уравнение:

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

Эта формула работает для любой арифметической прогрессии действительных чисел, начинающихся с и заканчивающихся на . Например, ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

Вывод

Анимированное доказательство формулы, дающей сумму первых целых чисел 1+2+...+n.

Чтобы вывести приведенную выше формулу, начнем с выражения арифметической прогрессии двумя различными способами:

${\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}$

${\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}$

Перепишем термины в обратном порядке:

${\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}$

Складываем соответствующие члены обеих сторон двух уравнений и делим обе части пополам:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].}$

Эту формулу можно упростить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}}$

Кроме того, среднее значение ряда можно рассчитать с помощью : ${\displaystyle S_{n}/n}$

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

Формула по сути та же самая, что и формула для среднего значения дискретного равномерного распределения , интерпретирующая арифметическую прогрессию как набор равновероятных результатов.

Продукт

Произведение членов конечной арифметической прогрессии с начальным элементом a ₁ , разностями d и всего n элементов определяется в замкнутом выражении

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

где обозначает Гамма-функцию . Формула недействительна, если отрицательно или равно нулю. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle a_{1}/d}$

Это обобщение фактов, что произведение прогрессии дается факториалом и что произведение ${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$ ${\displaystyle n!}$

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}$

для положительных целых чисел и задается формулой ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

Вывод

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}$

где обозначает возрастающий факториал . ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$

По рекуррентной формуле , справедливой для комплексного числа , ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$ ${\displaystyle z>0}$

${\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}$,

${\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}$,

так что

${\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}$

для положительного целого числа и положительного комплексного числа. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle z}$

Таким образом, если , ${\displaystyle a_{1}/d>0}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$,

и, наконец,

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

Примеры

Пример 1

Возьмем пример , произведение членов арифметической прогрессии, заданной до 50-го члена, равно ${\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }$ ${\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}$

${\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}$

Пример 2

Произведение первых 10 нечетных чисел определяется по формуле ${\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}$

${\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}$= 654,729,075

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение любой арифметической прогрессии равно

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

где — число членов прогрессии, а — общая разность между членами. Формула по сути та же самая, что и формула для стандартного отклонения дискретного равномерного распределения , интерпретирующая арифметическую прогрессию как набор равновероятных результатов. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

Пересечения

Пересечение любых двух дважды бесконечных арифметических прогрессий либо пусто, либо является другой арифметической прогрессией, которую можно найти с помощью китайской теоремы об остатках . Если каждая пара прогрессий в семействе дважды бесконечных арифметических прогрессий имеет непустое пересечение, то существует число, общее для всех них; то есть бесконечные арифметические прогрессии образуют семейство Хелли . ^[10] Однако пересечение бесконечного числа бесконечных арифметических прогрессий может быть одним числом, а не само по себе быть бесконечной прогрессией.

Количество арифметических подмножеств длиныкмножества {1,...,n}

Пусть обозначает число подмножеств длины, которые можно составить из множества , и пусть будет определено как: ${\displaystyle a(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}$ ${\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )}$

${\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]-2\right)\left(\kappa -\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}$

Затем:

${\displaystyle {\begin{aligned}a(n,k)&={\frac {1}{2(k-1)}}\left(n^{2}-(k-1)n+(k-2)+\phi (n+1,k-1)\right)\\&={\frac {1}{2(k-1)}}\left((n-1)(n-(k-2))+\phi (n+1,k-1)\right)\end{aligned}}}$

Например, если кто-то ожидает арифметические подмножества и, подсчитывая напрямую, видит, что их 9; это ${\textstyle (n,k)=(7,3)}$ ${\textstyle a(7,3)=9}$ ${\textstyle \{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{1,3,5\},\{3,5,7\},\{2,4,6\},\{1,4,7\}.}$

Смотрите также

• Геометрическая прогрессия
• Гармоническая прогрессия
• Треугольное число
• Арифметико-геометрическая последовательность
• Неравенство среднего арифметического и среднего геометрического
• Простые числа в арифметической прогрессии
• Линейное разностное уравнение
• Обобщенная арифметическая прогрессия — набор целых чисел, построенный как арифметическая прогрессия, но допускающий несколько возможных различий.
• Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии
• Задачи, связанные с арифметическими прогрессиями
• Утональность
• Многочлены, вычисляющие суммы степеней арифметических прогрессий

Ссылки

1. Хейс, Брайан (2006). «Gauss's Day of Reckoning». American Scientist . 94 (3): 200. doi :10.1511/2006.59.200. Архивировано из оригинала 12 января 2012 года . Получено 16 октября 2020 года .
2. Тропфке, Йоханнес (1924). Анализ, аналитическая геометрия . Вальтер де Грюйтер. стр. 3–15. ISBN 978-3-11-108062-8.
3. Тропфке, Йоханнес (1979). Арифметика и алгебра . Вальтер де Грюйтер. стр. 344–354. ISBN 978-3-11-004893-3.
4. Задачи для оттачивания мастерства молодых, Джон Хэдли и Дэвид Сингмастер, The Mathematical Gazette , 76 , № 475 (март 1992 г.), стр. 102–126.
5. Росс, Х. Э. и Нотт, Б. И. (2019) Дикуиль (IX век) о треугольных и квадратных числах, Британский журнал истории математики , 34:2, 79-94, https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687
6. Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002). Liber Abaci Фибоначчи . Спрингер-Верлаг. стр. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.
7. Кац, Виктор Дж. (ред.) (2016). Справочник по математике средневековой Европы и Северной Африки . Princeton University Press. стр. 91, 257. ISBN 9780691156859.
8. Стерн, М. (1990). 74.23 Средневековый вывод суммы арифметической прогрессии. The Mathematical Gazette, 74(468), 157-159. doi:10.2307/3619368
9. Хёйруп, Й. «Неизвестное наследие»: след забытого очага математической сложности. Arch. Hist. Exact Sci. 62, 613–654 (2008). https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y
10. Дюше, Пьер (1995), «Гиперграфы», в Грэме, РЛ; Гретшель, М .; Ловас Л. (ред.), Справочник по комбинаторике, Vol. 1, 2 , Амстердам: Elsevier, стр. 381–432, MR  1373663.. См. в частности раздел 2.5 «Адская собственность», стр. 393–394.

Внешние ссылки

• «Арифметический ряд», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Арифметическая прогрессия». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Арифметические ряды». MathWorld .