Формула Фаульхабера

Выражение для суммы степеней

В математике формула Фаульхабера , названная в честь математика начала 17 века Иоганна Фаульхабера , выражает сумму p -х степеней первых n положительных целых чисел в виде многочлена от  n . В современных обозначениях формула Фаульхабера имеет вид Здесь — биномиальный коэффициент « p  + 1 выбирает r », а B _j — числа Бернулли с соглашением, что . $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\sum _{r=0}^{p}{\binom {p+1}{r}}B_{r}n^{p-r+1}.}$$ ${\textstyle {\binom {p+1}{r}}}$ ${\textstyle B_{1}=+{\frac {1}{2}}}$

Результат: формула Фаульхабера

Формула Фаульхабера касается выражения суммы p -х степеней первых n положительных целых чисел в виде полиномиальной функции  степени ( p + 1) от  n . $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}$$

Первые несколько примеров хорошо известны. Для p  = 0 имеем Для p  = 1 имеем треугольные числа Для p  = 2 имеем квадратные пирамидальные числа $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{0}=\sum _{k=1}^{n}1=n.}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{1}=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {1}{2}}(n^{2}+n).}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {1}{3}}(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n).}$$

Коэффициенты формулы Фаульхабера в ее общем виде включают числа Бернулли B _j . Числа Бернулли начинаются с того места, где здесь мы используем соглашение, что . Числа Бернулли имеют различные определения (см. число Бернулли#Определения ), например, что они являются коэффициентами экспоненциальной производящей функции $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}&=1&B_{1}&={\tfrac {1}{2}}&B_{2}&={\tfrac {1}{6}}&B_{3}&=0\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{30}}&B_{5}&=0&B_{6}&={\tfrac {1}{42}}&B_{7}&=0,\end{aligned}}}$$ ${\textstyle B_{1}=+{\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle {\frac {t}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$$

Тогда формула Фаульхабера выглядит так: Здесь B _j — числа Бернулли, как указано выше, а — биномиальный коэффициент « p  + 1 выбирает k ». $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}B_{k}n^{p-k+1}.}$$ $${\displaystyle {\binom {p+1}{k}}={\frac {(p+1)!}{(p+1-k)!\,k!}}={\frac {(p+1)p(p-1)\cdots (p-k+3)(p-k+2)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}}$$

Примеры

Так, например, для p = 4 имеем : $${\displaystyle {\begin{aligned}1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}&={\frac {1}{5}}\sum _{j=0}^{4}{5 \choose j}B_{j}n^{5-j}\\&={\frac {1}{5}}\left(B_{0}n^{5}+5B_{1}n^{4}+10B_{2}n^{3}+10B_{3}n^{2}+5B_{4}n\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(n^{5}+{\tfrac {5}{2}}n^{4}+{\tfrac {5}{3}}n^{3}-{\tfrac {1}{6}}n\right).\end{aligned}}}$$

Первые семь примеров формулы Фаульхабера: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{0}&={\frac {1}{1}}\,{\big (}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{1}&={\frac {1}{2}}\,{\big (}n^{2}+{\tfrac {2}{2}}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{2}&={\frac {1}{3}}\,{\big (}n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {3}{6}}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{3}&={\frac {1}{4}}\,{\big (}n^{4}+{\tfrac {4}{2}}n^{3}+{\tfrac {6}{6}}n^{2}+0n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{4}&={\frac {1}{5}}\,{\big (}n^{5}+{\tfrac {5}{2}}n^{4}+{\tfrac {10}{6}}n^{3}+0n^{2}-{\tfrac {5}{30}}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{5}&={\frac {1}{6}}\,{\big (}n^{6}+{\tfrac {6}{2}}n^{5}+{\tfrac {15}{6}}n^{4}+0n^{3}-{\tfrac {15}{30}}n^{2}+0n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{6}&={\frac {1}{7}}\,{\big (}n^{7}+{\tfrac {7}{2}}n^{6}+{\tfrac {21}{6}}n^{5}+0n^{4}-{\tfrac {35}{30}}n^{3}+0n^{2}+{\tfrac {7}{42}}n{\big )}.\end{aligned}}}$$

История

Древний период

История проблемы начинается в античности и совпадает с историей некоторых ее частных случаев. Случай совпадает с вычислением арифметического ряда, суммы первых значений арифметической прогрессии . Эта задача довольно проста, но случай, уже известный пифагорейской школе по своей связи с треугольными числами, исторически интересен: ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle 1+2+\dots +n={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n,}$  многочлен, вычисляющий сумму первых натуральных чисел. ${\displaystyle S_{1,1}^{1}(n)}$ ${\displaystyle n}$

Первые случаи , встречающиеся в истории математики, это: ${\displaystyle m>1,}$

${\displaystyle 1+3+\dots +2n-1=n^{2},}$  многочлен , вычисляющий сумму первых последовательных коэффициентов, образующих квадрат. Свойство, вероятно, хорошо известное самим пифагорейцам, которые при построении своих фигурных чисел должны были каждый раз добавлять гномон, состоящий из нечетного числа точек, чтобы получить следующий полный квадрат . ${\displaystyle S_{1,2}^{1}(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n,}$  многочлен, вычисляющий сумму квадратов последовательных целых чисел. Свойство, которое демонстрируется в «Спиралях» , работе Архимеда . ^[1] ${\displaystyle S_{1,1}^{2}(n)}$

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2},}$  многочлен, вычисляющий сумму кубов последовательных целых чисел. Следствие теоремы Никомаха из Герасы . ^[1] ${\displaystyle S_{1,1}^{3}(n)}$

Совокупность случаев, к которым относятся два предыдущих многочлена, составляет классическую задачу о степенях последовательных целых чисел. ${\displaystyle S_{1,1}^{m}(n)}$

Средний период

Со временем многие другие математики заинтересовались этой проблемой и внесли свой вклад в ее решение. Среди них Арьябхата , Аль-Караджи , Ибн аль-Хайтам , Томас Харриот , Иоганн Фаульхабер , Пьер де Ферма и Блез Паскаль, которые рекурсивно решили задачу суммы степеней последовательных целых чисел, рассмотрев тождество, которое позволило получить многочлен степени, уже зная предыдущие. ^[1] ${\displaystyle m+1}$

Формула Фаульхабера также называется формулой Бернулли . Фаульхабер не знал свойств коэффициентов, позже открытых Бернулли. Вместо этого он знал по крайней мере первые 17 случаев, а также существование полиномов Фаульхабера для нечетных степеней, описанных ниже. ^[2]

Summae Potestatum Якоба Бернулли , Ars Conjectandi , 1713 г.

В 1713 году Якоб Бернулли опубликовал под названием Summae Potestatum выражение суммы p степеней n первых целых чисел в виде полиномиальной функции степени ( p + 1 ) от  n с коэффициентами, содержащими числа B _j , которые теперь называются числами Бернулли :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+{1 \over p+1}\sum _{j=2}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}.}$

Вводя также первые два числа Бернулли (которые Бернулли не делал), предыдущая формула становится с использованием числа Бернулли второго рода, для которого , или с использованием числа Бернулли первого рода, для которого $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j},}$$ ${\textstyle B_{1}={\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}(-1)^{j}{p+1 \choose j}B_{j}^{-}n^{p+1-j},}$$ ${\textstyle B_{1}^{-}=-{\frac {1}{2}}.}$

Строгое доказательство этих формул и утверждение Фаульхабера о том, что такие формулы будут существовать для всех нечетных степеней, появилось лишь два столетия спустя, когда их придумал Карл Якоби  (1834). Якоби воспользовался прогрессом математического анализа, используя развитие в бесконечных рядах показательной функции, порождающей числа Бернулли .

Современный период

В 1982 году А. В. Ф. Эдвардс публикует статью ^[3] , в которой показывает, что тождество Паскаля можно выразить с помощью треугольных матриц, содержащих треугольник Паскаля, лишенный «последнего элемента каждой строки»:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&2&0&0&0\\1&3&3&0&0\\1&4&6&4&0\\1&5&10&10&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{1}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{2}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{3}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{4}\\\end{pmatrix}}}$^{[4] [5]}

Пример ограничен выбором матрицы пятого порядка, но легко расширяется до более высоких порядков. Уравнение можно записать как: и умножая две стороны уравнения слева на , обратную матрице A, мы получаем что позволяет напрямую прийти к полиномиальным коэффициентам без прямого использования чисел Бернулли. Другие авторы после Эдвардса, занимающиеся различными аспектами задачи степенной суммы, идут по матричному пути ^[6] и изучают аспекты задачи в своих статьях, используя такие полезные инструменты, как вектор Вандермонда. ^[7] Другие исследователи продолжают исследовать традиционным аналитическим путем ^[8] и обобщают задачу суммы последовательных целых чисел на любую геометрическую прогрессию ^{[9] [10]} ${\displaystyle {\vec {N}}=A{\vec {S}}}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle A^{-1}{\vec {N}}={\vec {S}}}$

Доказательство с экспоненциальной производящей функцией

Обозначим рассматриваемую сумму для целых чисел $${\displaystyle S_{p}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{p},}$$ ${\displaystyle p\geq 0.}$

Определим следующую экспоненциальную производящую функцию с (изначально) неопределенной. Мы находим Это целая функция от , поэтому ее можно принять за любое комплексное число. ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle G(z,n)=\sum _{p=0}^{\infty }S_{p}(n){\frac {1}{p!}}z^{p}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G(z,n)=&\sum _{p=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p!}}(kz)^{p}=\sum _{k=1}^{n}e^{kz}=e^{z}\cdot {\frac {1-e^{nz}}{1-e^{z}}},\\=&{\frac {1-e^{nz}}{e^{-z}-1}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

Далее мы вспомним экспоненциальную производящую функцию для полиномов Бернулли , где обозначает число Бернулли с соглашением . Это можно преобразовать в производящую функцию с соглашением путем добавления к коэффициенту в каждом ( не нужно менять): Отсюда немедленно следует, что для всех . ${\displaystyle B_{j}(x)}$ $${\displaystyle {\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}=\sum _{j=0}^{\infty }B_{j}(x){\frac {z^{j}}{j!}},}$$ ${\displaystyle B_{j}=B_{j}(0)}$ ${\displaystyle B_{1}=-{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle B_{1}^{+}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x^{j-1}}$ ${\displaystyle B_{j}(x)}$ ${\displaystyle B_{0}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=0}^{\infty }B_{j}^{+}(x){\frac {z^{j}}{j!}}=&{\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}+\sum _{j=1}^{\infty }jx^{j-1}{\frac {z^{j}}{j!}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}+\sum _{j=1}^{\infty }x^{j-1}{\frac {z^{j}}{(j-1)!}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}+ze^{zx}\\=&{\frac {ze^{zx}+ze^{z}e^{zx}-ze^{zx}}{e^{z}-1}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{1-e^{-z}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S_{p}(n)={\frac {B_{p+1}^{+}(n)-B_{p+1}^{+}(0)}{p+1}}}$$ ${\displaystyle p}$

полиномы Фаульхабера

Термин «полиномы Фаульхабера» используется некоторыми авторами для обозначения другой полиномиальной последовательности, связанной с приведенной выше.

Фаульхабер заметил, что если p нечетно, то является полиномиальной функцией от a . $${\displaystyle a=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.}$$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}}$

Доказательство без слов для p = 3 ^[11]

При p  = 1 ясно, что При p  = 3 результат, известный как теорема Никомаха . $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{1}=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}=a.}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=a^{2}}$$

Далее, у нас есть (см. OEIS : A000537 , OEIS : A000539 , OEIS : A000541 , OEIS : A007487 , OEIS : A123095 ). $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{5}&={\frac {4a^{3}-a^{2}}{3}}\\\sum _{k=1}^{n}k^{7}&={\frac {6a^{4}-4a^{3}+a^{2}}{3}}\\\sum _{k=1}^{n}k^{9}&={\frac {16a^{5}-20a^{4}+12a^{3}-3a^{2}}{5}}\\\sum _{k=1}^{n}k^{11}&={\frac {16a^{6}-32a^{5}+34a^{4}-20a^{3}+5a^{2}}{3}}\end{aligned}}}$$

В более общем смысле, ^{[ необходима ссылка ]} $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m+1}={\frac {1}{2^{2m+2}(2m+2)}}\sum _{q=0}^{m}{\binom {2m+2}{2q}}(2-2^{2q})~B_{2q}~\left[(8a+1)^{m+1-q}-1\right].}$$

Некоторые авторы называют многочлены от a в правых частях этих тождеств многочленами Фаульхабера . Эти многочлены делятся на a ² , поскольку число Бернулли B _j равно 0 для нечетных j > 1 .

Обратно, записывая для простоты , имеем и в общем случае ${\displaystyle s_{j}:=\sum _{k=1}^{n}k^{j}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}4a^{3}&=3s_{5}+s_{3}\\8a^{4}&=4s_{7}+4s_{5}\\16a^{5}&=5s_{9}+10s_{7}+s_{5}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle 2^{m-1}a^{m}=\sum _{j>0}{\binom {m}{2j-1}}s_{2m-2j+1}.}$$

Фаульхабер также знал, что если сумма для нечетной степени задана как , то сумма для четной степени , расположенная чуть ниже, задана как . Обратите внимание, что многочлен в скобках является производной многочлена выше по отношению к . $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m+1}=c_{1}a^{2}+c_{2}a^{3}+\cdots +c_{m}a^{m+1}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m}={\frac {n+{\frac {1}{2}}}{2m+1}}(2c_{1}a+3c_{2}a^{2}+\cdots +(m+1)c_{m}a^{m}).}$$

Поскольку a  =  n ( n  + 1)/2, эти формулы показывают, что для нечетной степени (больше 1) сумма является многочленом от n, имеющим множители n ² и ( n  + 1) ² , тогда как для четной степени многочлен имеет множители n , n  + 1/2 и n  + 1.

Выражение произведений сумм степеней в виде линейных комбинаций сумм степеней

Произведения двух (и, таким образом, путем итерации, нескольких) степенных сумм могут быть записаны как линейные комбинации степенных сумм либо со всеми четными степенями, либо со всеми нечетными степенями, в зависимости от общей степени произведения как многочлена в , например . Обратите внимание, что суммы коэффициентов должны быть равны с обеих сторон, как можно увидеть, подставив , что делает все равными 1. Некоторые общие формулы включают: Обратите внимание, что во второй формуле для четного член, соответствующий , отличается от других членов в сумме, тогда как для нечетного этот дополнительный член исчезает из-за . ${\displaystyle s_{j_{r}}:=\sum _{k=1}^{n}k^{j_{r}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 30s_{2}s_{4}=-s_{3}+15s_{5}+16s_{7}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle s_{j}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(m+1)s_{m}^{2}&=2\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m+1}{2j}}(2m+1-2j)B_{2j}s_{2m+1-2j}.\\m(m+1)s_{m}s_{m-1}&=m(m+1)B_{m}s_{m}+\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {m-1}{2}}\rfloor }{\binom {m+1}{2j}}(2m+1-2j)B_{2j}s_{2m-2j}.\\2^{m-1}s_{1}^{m}&=\sum _{j=1}^{\lfloor {\frac {m+1}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2j-1}}s_{2m+1-2j}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle j={\dfrac {m}{2}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle B_{m}=0}$

Матричная форма

Формулу Фаульхабера можно также записать в виде, использующем умножение матриц .

Возьмем первые семь примеров. Запись этих многочленов в виде произведения матриц дает , где $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{0}&={\phantom {-}}1n\\\sum _{k=1}^{n}k^{1}&={\phantom {-}}{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{2}}n^{2}\\\sum _{k=1}^{n}k^{2}&={\phantom {-}}{\tfrac {1}{6}}n+{\tfrac {1}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{3}}n^{3}\\\sum _{k=1}^{n}k^{3}&={\phantom {-}}0n+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n^{3}+{\tfrac {1}{4}}n^{4}\\\sum _{k=1}^{n}k^{4}&=-{\tfrac {1}{30}}n+0n^{2}+{\tfrac {1}{3}}n^{3}+{\tfrac {1}{2}}n^{4}+{\tfrac {1}{5}}n^{5}\\\sum _{k=1}^{n}k^{5}&={\phantom {-}}0n-{\tfrac {1}{12}}n^{2}+0n^{3}+{\tfrac {5}{12}}n^{4}+{\tfrac {1}{2}}n^{5}+{\tfrac {1}{6}}n^{6}\\\sum _{k=1}^{n}k^{6}&={\phantom {-}}{\tfrac {1}{42}}n+0n^{2}-{\tfrac {1}{6}}n^{3}+0n^{4}+{\tfrac {1}{2}}n^{5}+{\tfrac {1}{2}}n^{6}+{\tfrac {1}{7}}n^{7}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sum k^{0}\\\sum k^{1}\\\sum k^{2}\\\sum k^{3}\\\sum k^{4}\\\sum k^{5}\\\sum k^{6}\end{pmatrix}}=G_{7}{\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\n^{6}\\n^{7}\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle G_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0\\{1 \over 6}&{1 \over 2}&{1 \over 3}&0&0&0&0\\0&{1 \over 4}&{1 \over 2}&{1 \over 4}&0&0&0\\-{1 \over 30}&0&{1 \over 3}&{1 \over 2}&{1 \over 5}&0&0\\0&-{1 \over 12}&0&{5 \over 12}&{1 \over 2}&{1 \over 6}&0\\{1 \over 42}&0&-{1 \over 6}&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&{1 \over 7}\end{pmatrix}}.}$$

Удивительно, но инвертирование матрицы полиномиальных коэффициентов дает нечто более знакомое: $${\displaystyle G_{7}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&0&0&0&0&0\\1&-3&3&0&0&0&0\\-1&4&-6&4&0&0&0\\1&-5&10&-10&5&0&0\\-1&6&-15&20&-15&6&0\\1&-7&21&-35&35&-21&7\\\end{pmatrix}}={\overline {A}}_{7}}$$

В перевернутой матрице можно распознать треугольник Паскаля , без последнего элемента каждой строки и с чередующимися знаками.

Пусть — матрица, полученная из изменением знаков элементов в нечетных диагоналях, то есть заменой на , пусть — матрица, полученная из с помощью аналогичного преобразования, тогда и Также Это происходит потому, что очевидно, что и поэтому из многочленов степени вида вычтена разность одночленов, они становятся . ${\displaystyle A_{7}}$ ${\displaystyle {\overline {A}}_{7}}$ ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle (-1)^{i+j}a_{i,j}}$ ${\displaystyle {\overline {G}}_{7}}$ ${\displaystyle G_{7}}$ $${\displaystyle A_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\1&2&0&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0&0\\1&4&6&4&0&0&0\\1&5&10&10&5&0&0\\1&6&15&20&15&6&0\\1&7&21&35&35&21&7\\\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle A_{7}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\-{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0\\{1 \over 6}&-{1 \over 2}&{1 \over 3}&0&0&0&0\\0&{1 \over 4}&-{1 \over 2}&{1 \over 4}&0&0&0\\-{1 \over 30}&0&{1 \over 3}&-{1 \over 2}&{1 \over 5}&0&0\\0&-{1 \over 12}&0&{5 \over 12}&-{1 \over 2}&{1 \over 6}&0\\{1 \over 42}&0&-{1 \over 6}&0&{1 \over 2}&-{1 \over 2}&{1 \over 7}\end{pmatrix}}={\overline {G}}_{7}.}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sum _{k=0}^{n-1}k^{0}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{1}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{2}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{3}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{4}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{5}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{6}\\\end{pmatrix}}={\overline {G}}_{7}{\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\n^{6}\\n^{7}\\\end{pmatrix}}}$$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}-\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}=n^{m}}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\textstyle {\frac {1}{m+1}}n^{m+1}+{\frac {1}{2}}n^{m}+\cdots }$ ${\displaystyle n^{m}}$ ${\textstyle {\frac {1}{m+1}}n^{m+1}-{\frac {1}{2}}n^{m}+\cdots }$

Это справедливо для любого порядка, то есть для каждого положительного целого числа m имеем и Таким образом, можно получить коэффициенты многочленов сумм степеней последовательных целых чисел, не прибегая к числам Бернулли, а инвертируя матрицу, легко полученную из треугольника Паскаля. ^{[12] [13]} ${\displaystyle G_{m}^{-1}={\overline {A}}_{m}}$ ${\displaystyle {\overline {G}}_{m}^{-1}=A_{m}.}$

Вариации

• Заменяя на , находим альтернативное выражение: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p-k}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}{p \choose k}B_{p-k}n^{k+1}.}$$
• Вычитая из обеих частей исходной формулы и увеличивая на , получаем ${\displaystyle n^{p}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{p}&={\frac {1}{p+1}}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}(-1)^{k}B_{k}(n+1)^{p-k+1}\\&=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}{\binom {p}{k}}(-1)^{p-k}B_{p-k}(n+1)^{k+1},\end{aligned}}}$$

где можно интерпретировать как «отрицательные» числа Бернулли с . ${\displaystyle (-1)^{k}B_{k}=B_{k}^{-}}$ ${\displaystyle B_{1}^{-}=-{\tfrac {1}{2}}}$

• Мы также можем разложить его по полиномам Бернулли, чтобы найти, что подразумевает Поскольку всякий раз, когда нечетно, множитель можно удалить, когда . ${\displaystyle G(z,n)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G(z,n)&={\frac {e^{(n+1)z}}{e^{z}-1}}-{\frac {e^{z}}{e^{z}-1}}\\&=\sum _{j=0}^{\infty }\left(B_{j}(n+1)-(-1)^{j}B_{j}\right){\frac {z^{j-1}}{j!}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\left(B_{p+1}(n+1)-(-1)^{p+1}B_{p+1}\right)={\frac {1}{p+1}}\left(B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(1)\right).}$$ ${\displaystyle B_{n}=0}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle (-1)^{p+1}}$ ${\displaystyle p>0}$
• Его также можно выразить через числа Стирлинга второго рода и убывающие факториалы как ^[14] Это связано с определением чисел Стирлинга второго рода как мономов через убывающие факториалы и поведением убывающих факториалов при неопределенной сумме . $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{p}\left\{{p \atop k}\right\}{\frac {(n+1)_{k+1}}{k+1}},}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=\sum _{k=1}^{p+1}\left\{{p+1 \atop k}\right\}{\frac {(n)_{k}}{k}}.}$$

Интерпретируя числа Стерлинга второго рода, , как число разбиений множества на части, тождество имеет прямое комбинаторное доказательство, поскольку обе стороны подсчитывают число функций с максимальным. Индекс суммирования в левой части представляет , тогда как индекс в правой части представляет число элементов в образе f. ${\displaystyle \left\{{p+1 \atop k}\right\}}$ ${\displaystyle \lbrack p+1\rbrack }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:\lbrack p+1\rbrack \to \lbrack n\rbrack }$ ${\displaystyle f(1)}$ ${\displaystyle k=f(1)}$

• Существует также похожее (но несколько более простое) выражение: используя идею телескопирования и биномиальную теорему , получаем тождество Паскаля : ^[15]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(n+1)^{k+1}-1&=\sum _{m=1}^{n}\left((m+1)^{k+1}-m^{k+1}\right)\\&=\sum _{p=0}^{k}{\binom {k+1}{p}}(1^{p}+2^{p}+\dots +n^{p}).\end{aligned}}}$$

Это, в частности, дает примеры ниже – например, возьмите k = 1 , чтобы получить первый пример. Аналогичным образом мы также находим

$${\displaystyle {\begin{aligned}n^{k+1}=\sum _{m=1}^{n}\left(m^{k+1}-(m-1)^{k+1}\right)=\sum _{p=0}^{k}(-1)^{k+p}{\binom {k+1}{p}}(1^{p}+2^{p}+\dots +n^{p}).\end{aligned}}}$$

• Обобщенное выражение, включающее числа Эйлера, имеет вид ${\displaystyle A_{n}(x)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{k}x^{n}={\frac {x}{(1-x)^{k+1}}}A_{k}(x)}$.

• Формула Фаульхабера была обобщена Го и Цзэном до q -аналога . ^[16]

Связь с дзета-функцией Римана

Используя , можно написать ${\displaystyle B_{k}=-k\zeta (1-k)}$ $${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}-\sum \limits _{j=0}^{p-1}{p \choose j}\zeta (-j)n^{p-j}.}$$

Если мы рассмотрим производящую функцию в большом пределе для , то мы найдем Эвристически это предполагает, что Этот результат согласуется со значением дзета-функции Римана для отрицательных целых чисел при соответствующем аналитическом продолжении . ${\displaystyle G(z,n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Re (z)<0}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }G(z,n)={\frac {1}{e^{-z}-1}}=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j-1}B_{j}{\frac {z^{j-1}}{j!}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k^{p}={\frac {(-1)^{p}B_{p+1}}{p+1}}.}$$ ${\textstyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$ ${\displaystyle s=-p<0}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

Формулу Фаульхабера можно записать через дзета-функцию Гурвица :

$${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{p}=\zeta (-p)-\zeta (-p,n+1)}$$

Форма тени

В теневом исчислении числа Бернулли , , , ... рассматриваются так, как если бы индекс j в действительности был показателем степени, и, таким образом, как если бы числа Бернулли были степенями некоторого объекта B. ${\textstyle B^{0}=1}$ ${\textstyle B^{1}={\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle B^{2}={\frac {1}{6}}}$ ${\textstyle B^{j}}$

Используя эту нотацию, формулу Фаульхабера можно записать как Здесь выражение справа должно быть понято путем расширения, чтобы получить члены , которые затем могут быть интерпретированы как числа Бернулли. В частности, используя биномиальную теорему , мы получаем $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}{\big (}(B+n)^{p+1}-B^{p+1}{\big )}.}$$ ${\textstyle B^{j}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p+1}}{\big (}(B+n)^{p+1}-B^{p+1}{\big )}&={1 \over p+1}\left(\sum _{k=0}^{p+1}{\binom {p+1}{k}}B^{k}n^{p+1-k}-B^{p+1}\right)\\&={1 \over p+1}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{j}}B^{k}n^{p+1-k}.\end{aligned}}}$$

Вывод формулы Фаульхабера с использованием теневой формы доступен в «Книге чисел» Джона Хортона Конвея и Ричарда К. Гая . ^[17]

Классически эта теневая форма рассматривалась как удобство обозначения. В современном теневом исчислении, с другой стороны, этому дается формальная математическая основа. Рассматривается линейный функционал T на векторном пространстве полиномов от переменной b, заданной Тогда можно сказать ${\textstyle T(b^{j})=B_{j}.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{p}&={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}\\&={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}T(b^{j})n^{p+1-j}\\&={1 \over p+1}T\left(\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}b^{j}n^{p+1-j}\right)\\&=T\left({(b+n)^{p+1}-b^{p+1} \over p+1}\right).\end{aligned}}}$$

Общая формула

Ряд как функция m часто сокращается до . Бирдон (см. Внешние ссылки) опубликовал формулы для степеней . Например, Бирдон 1996 сформулировал эту общую формулу для степеней , которая показывает, что возведенное в степень N можно записать в виде линейной суммы членов ... Например, взяв N равным 2, затем 3, затем 4 в формуле Бирдона, мы получаем тождества . Известны другие формулы, такие как и , но на сегодняшний день не опубликовано общей формулы для , где m, N — положительные целые числа. В неопубликованной статье Дерби (2019) ^[18] была сформулирована и доказана следующая формула: ${\displaystyle 1^{m}+2^{m}+3^{m}+..n^{m}}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle S_{1}:\;\;\;S_{1}^{\;N}={\frac {1}{2^{N}}}\sum _{r=0}^{N}{N \choose r}S_{N+r}(1-(-1)^{N-r})}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{3},\;\;S_{5},\;\;S_{7}}$ ${\displaystyle S_{1}^{\;2}=S_{3},\;\;S_{1}^{\;3}={\frac {1}{4}}S_{3}+{\frac {3}{4}}S_{5},\;\;S_{1}^{\;4}={\frac {1}{2}}S_{5}+{\frac {1}{2}}S_{7}}$ ${\displaystyle S_{2}^{\;2}={\frac {1}{3}}S_{4}+{\frac {2}{3}}S_{5}}$ ${\displaystyle S_{2}^{\;3}={\frac {1}{12}}S_{4}+{\frac {7}{12}}S_{6}+{\frac {1}{3}}S_{8}}$ ${\displaystyle S_{m}^{\;N}}$

${\displaystyle S_{m}^{\;N}=\sum _{k=1}^{N}(-1)^{k-1}{N \choose k}\sum _{r=1}^{n}r^{mk}S_{m}^{\;\;N-k}(r)}$.

Это можно вычислить в матричной форме, как описано выше. В случае, когда m = 1, это повторяет формулу Бирдона для . Когда m = 2 и N = 2 или 3, это генерирует заданные формулы для и . Примерами вычислений для более высоких индексов являются и . ${\displaystyle S_{1}^{\;N}}$ ${\displaystyle S_{2}^{\;\;2}}$ ${\displaystyle S_{2}^{\;3}}$ ${\displaystyle S_{2}^{\;4}={\frac {1}{54}}S_{5}+{\frac {5}{18}}S_{7}+{\frac {5}{9}}S_{9}+{\frac {4}{27}}S_{11}}$ ${\displaystyle S_{6}^{\;3}={\frac {1}{588}}S_{8}-{\frac {1}{42}}S_{10}+{\frac {13}{84}}S_{12}-{\frac {47}{98}}S_{14}+{\frac {17}{28}}S_{16}+{\frac {19}{28}}S_{18}+{\frac {3}{49}}S_{20}}$

Примечания

1. Бири, Джанет (2009). «Сумма степеней положительных целых чисел». Математическая ассоциация MMA Америки. doi :10.4169/loci003284 (неактивен 1 ноября 2024 г.).{{cite news}}: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link)
2. Дональд Э. Кнут (1993). «Иоганн Фаульхабер и суммы степеней». Математика вычислений . 61 (203): 277–294. arXiv : math.CA/9207222 . doi :10.2307/2152953. JSTOR  2152953.В статье arxiv.org есть опечатка в формуле для суммы 11-х степеней, которая была исправлена ​​в печатной версии. Правильная версия. Архивировано 2010-12-01 на Wayback Machine
3. Эдвардс, Энтони Уильям Фэрбэнк (1982). «Суммы степеней целых чисел: немного истории». The Mathematical Gazette . 66 (435): 22–28. doi :10.2307/3617302. JSTOR  3617302. S2CID  125682077.
4. Первый элемент вектора сумм есть и не из-за первого слагаемого, неопределенная форма , которой в противном случае должно быть присвоено значение 1 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}k^{0}}$ ${\displaystyle 0^{0}}$
5. Эдвардс, А. В. Ф. (1987). Арифметический треугольник Паскаля: История математической идеи . Чарльз Гриффин и К., стр. 84. ISBN 0-8018-6946-3.
6. Калман, Дэн (1988). «Суммы степеней матричным методом». Semantic scholar. S2CID  2656552.
7. Хельмес, Готфрид (2006). «Доступ к числам Бернулли с помощью матричных операций» (PDF) . Uni-Kassel.de.
8. Howard, FT (1994). "Суммы степеней целых чисел с помощью производящих функций" (PDF) . CiteSeerX 10.1.1.376.4044 . 
9. Ланг, Вольфдитер (2017). «О суммах степеней арифметических прогрессий и обобщенных числах Стирлинга, Эйлера и Бернулли». arXiv : 1707.04451 [math.NT].
10. Тан Си, До (2017). «Простое получение сумм степеней арифметических прогрессий и свойств многочленов Бернулли с помощью операторного исчисления». Исследования в области прикладной физики . 9. Канадский центр науки и образования. ISSN  1916-9639.
11. Галли, Нед (4 марта 2010 г.), Шур, Лорен (ред.), Теорема Никомаха, Matlab Central
12. Пьетрокола, Джорджио (2017), О многочленах для вычисления сумм степеней последовательных целых чисел и чисел Бернулли, выведенных из треугольника Паскаля (PDF).
13. Дерби, Найджел (2015), «Поиск сумм степеней», The Mathematical Gazette , 99 (546): 416–421, doi :10.1017/mag.2015.77, S2CID  124607378.
14. Конкретная математика , 1-е изд. (1989), стр. 275.
15. Кирен Макмиллан, Джонатан Сондоу (2011). «Доказательства сравнений степенных сумм и биномиальных коэффициентов с помощью тождества Паскаля». American Mathematical Monthly . 118 (6): 549–551. arXiv : 1011.0076 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.06.549. S2CID  207521003.
16. Го, Виктор JW; Цзэн, Цзян (30 августа 2005 г.). "A q-Analogue of Faulhaber's Formula for Sums of Powers". Электронный журнал комбинаторики . 11 (2). arXiv : math/0501441 . Bibcode :2005math......1441G. doi :10.37236/1876. S2CID  10467873.
17. Джон Х. Конвей , Ричард Гай (1996). Книга чисел. Springer. стр. 107. ISBN 0-387-97993-X.
18. Дерби, Найджел, [Общая формула для сумм степеней]

Внешние ссылки

• Якоби, Карл (1834). «De usu legitimo Formulas summatoriae Maclaurinianae». Журнал для королевы и математики . Том. 12. С. 263–72. дои : 10.1515/crll.1834.12.263.
• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Фаульхабера». Математический мир .
• Иоганн Фаульхабер (1631 г.). Academia Algebrae - Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt undprofitiert werden .Очень редкая книга, но Кнут разместил фотокопию в библиотеке Стэнфорда, шифр QA154.8 F3 1631a f MATH. ( электронная копия на Google Books )
• Бирдон, А. Ф. (1996). "Суммы степеней целых чисел" (PDF) . American Mathematical Monthly . 103 (3): 201–213. doi :10.1080/00029890.1996.12004725 . Получено 23 октября 2011 г. .(Лауреат премии Лестера Р. Форда)
• Шумахер, Рафаэль (2016). «Расширенная версия формулы Фаульхабера». Журнал целочисленных последовательностей . Том 19, № 16.4.2.

• Ороси, Грег (2018). «Простой вывод формулы Фаульхабера» (PDF) . Электронные заметки по прикладной математике . Том 18. С. 124–126.
• Наглядное доказательство суммы квадратов и кубов.