stringtranslate.com

Парадоксы Зенона

Парадоксы Зенона — это серия философских аргументов , представленных древнегреческим философом Зеноном Элейским (ок. 490–430 до н. э.), [1] [2] прежде всего известным через работы Платона , Аристотеля и более поздних комментаторов, таких как Симплиций Киликийский . [2] Зенон разработал эти парадоксы, чтобы поддержать философию монизма своего учителя Парменида , которая утверждает, что, несмотря на наш чувственный опыт, реальность уникальна и неизменна. Парадоксы, как известно, бросают вызов понятиям множественности ( существования множества вещей), движения, пространства и времени, предполагая, что они приводят к логическим противоречиям .

Работа Зенона, известная в основном из вторых рук , поскольку его оригинальные тексты утеряны, включает сорок «парадоксов множественности», которые выступают против последовательности веры в множественное существование, а также несколько аргументов против движения и изменения. [2] Из них сегодня окончательно известны лишь некоторые, включая знаменитый «Парадокс Ахилла», который иллюстрирует проблематичную концепцию бесконечной делимости в пространстве и времени . [1] [2] В этом парадоксе Зенон утверждает, что быстрый бегун, такой как Ахиллес, не может догнать более медленно движущуюся черепаху с форой, потому что расстояние между ними можно бесконечно разделить, подразумевая, что Ахиллесу потребуется бесконечное количество шагов, чтобы поймать черепаха. [1] [2]

Эти парадоксы вызывали обширные философские и математические дискуссии на протяжении всей истории , [1] [2], особенно относительно природы бесконечности и непрерывности пространства и времени. Первоначально широкое признание получила интерпретация Аристотеля , предполагающая скорее потенциальную, чем реальную бесконечность. [1] Однако современные решения, использующие математическую основу исчисления, предоставили другую точку зрения, подчеркнув важное раннее понимание Зеноном сложностей бесконечности и непрерывного движения. [1] Парадоксы Зенона остаются ключевой точкой отсчета в философских и математических исследованиях реальности, движения и бесконечности, влияя как на древнюю мысль, так и на современное научное понимание. [1] [2]

История

Истоки парадоксов до некоторой степени неясны, но обычно считается, что они были разработаны для поддержки учения Парменида о монизме , согласно которому вся реальность едина и что все изменения невозможны , то есть что ничто никогда не меняется в местоположении или ни в каком другом отношении. [1] [2] Диоген Лаэртий , цитируя Фаворина , говорит, что учитель Зенона Парменид был первым, кто представил парадокс Ахилла и черепахи. Но в более позднем отрывке Лаэртий приписывает происхождение парадокса Зенону, объясняя, что Фаворин не согласен. [3] Современные ученые приписывают этот парадокс Зенону. [1] [2]

Многие из этих парадоксов утверждают, что, вопреки свидетельствам чувств, движение — не что иное, как иллюзия . [1] [2] В «Пармениде » Платона (128a–d) Зенон охарактеризован как берущий на себя проект создания этих парадоксов , потому что другие философы утверждали, что парадоксы возникают при рассмотрении взглядов Парменида. Аргументы Зенона могут быть ранними примерами метода доказательства, называемого доведением до абсурда , также известного как доказательство от противного . Так, Платон заставляет Зенона сказать, что цель парадоксов «состоит в том, чтобы показать, что их гипотеза о том, что существования множественны, если ее правильно развивать, приводит к еще более абсурдным результатам, чем гипотеза о том, что они едины». [4] Платон утверждает, что Сократ утверждает, что Зенон и Парменид, по сути, спорили об одном и том же. [5] Они также считаются источником диалектического метода , используемого Сократом. [6]

Парадоксы

Некоторые из девяти сохранившихся парадоксов Зенона (сохранившихся в «Физике » Аристотеля [7] [8] и комментариях Симплиция к ней) по существу эквивалентны друг другу. На некоторые из них Аристотель дал ответ. [7] Популярная литература часто искажает аргументы Зенона. Например, часто говорят, что Зенон утверждал, что сумма бесконечного числа членов сама по себе должна быть бесконечной, в результате чего не только время, но и расстояние, которое нужно преодолеть, становится бесконечным. [9] Однако ни в одном из оригинальных древних источников Зенон не обсуждал сумму какой-либо бесконечной серии. У Симплициуса Зенон сказал: «Невозможно пройти бесконечное количество вещей за конечное время». Это представляет проблему Зенона не с нахождением суммы , а с завершением задачи с бесконечным числом шагов: как можно вообще перейти от А к Б, если можно идентифицировать бесконечное количество (немгновенных) событий, которые необходимо предшествуют приходу в B, и нельзя дойти даже до начала «последнего события»? [10] [11] [12] [13]

Парадоксы движения

Три из самых сильных и известных — аргумент Ахилла и черепахи, аргумент дихотомии и аргумент летящей стрелы — подробно представлены ниже.

Парадокс дихотомии

Дихотомия

То, что находится в движении, должно пройти половину пути, прежде чем достигнет цели.

-  как рассказывает Аристотель , Физика VI:9, 239b10.

Предположим, Аталанта хочет дойти до конца пути. Прежде чем она сможет туда добраться, ей нужно пройти половину пути. Прежде чем она сможет пройти половину пути, ей нужно пройти четверть пути. Прежде чем проехать четверть пути, она должна проехать одну восьмую; до восьмой, одной шестнадцатой; и так далее.

Полученную последовательность можно представить как:

Это описание требует выполнения бесконечного количества задач, что, по мнению Зенона, невозможно. [14]

Эта последовательность также представляет вторую проблему, поскольку она не содержит первой дистанции, которую нужно пробежать, поскольку любая возможная (конечная) первая дистанция может быть разделена пополам и, следовательно, в конечном итоге не будет первой. Следовательно, путешествие даже не может начаться. Тогда парадоксальным выводом было бы то, что путешествие на любое конечное расстояние не может быть ни завершено, ни начато, и поэтому любое движение должно быть иллюзией . [15]

Этот аргумент называется « дихотомией », поскольку он предполагает многократное разделение расстояния на две части. Пример с исходным смыслом можно найти в асимптоте . Он также известен как парадокс ипподрома .

Ахилл и черепаха

Ахилл и черепаха

В забеге самый быстрый бегун никогда не сможет обогнать самого медленного, так как преследователь должен сначала достичь точки, откуда стартовал преследуемый, так что более медленный должен всегда удерживать лидерство.

-  как рассказывает Аристотель , Физика VI:9, 239b15.

В парадоксе Ахиллеса и черепахи Ахиллес участвует в беге с черепахой. Например, Ахиллес дает черепахе преимущество в 100 метров. Предположим, что каждый гонщик начинает бежать с некоторой постоянной скоростью, причем один быстрее другого. Через некоторое конечное время Ахиллес пробежит 100 метров и окажется в исходной точке черепахи. За это время черепаха пробежала гораздо меньшее расстояние, скажем, 2 метра. Тогда Ахиллесу понадобится еще некоторое время, чтобы преодолеть это расстояние, и к этому времени черепаха продвинется дальше; а затем еще есть время, чтобы достичь этой третьей точки, пока черепаха движется вперед. Таким образом, всякий раз, когда Ахиллес прибывает туда, где была черепаха, ему еще предстоит пройти некоторое расстояние, прежде чем он сможет добраться до черепахи. Как заметил Аристотель, этот аргумент аналогичен дихотомии. [16] Однако ему не хватает очевидного вывода о неподвижности.

Парадокс стрелы

Стрелка

Если все, что занимает одинаковое пространство, в этот момент времени покоится, а то, что находится в движении, всегда и в любой момент занимает такое пространство, то летящая стрела, следовательно, неподвижна в этот момент времени и в следующий момент. времени, но если оба момента времени принять за один и тот же момент или непрерывный момент времени, то он находится в движении. [17]

-  как рассказывает Аристотель , Физика VI:9, 239b5.

В парадоксе стрелы Зенон утверждает, что для того, чтобы произошло движение, объект должен изменить положение, которое он занимает. Он приводит пример летящей стрелы. Он утверждает, что в любой один (непродолжительный) момент времени стрелка не движется ни туда, где она есть, ни туда, где ее нет. [18] Он не может переместиться туда, где его нет, потому что не проходит времени, чтобы он мог переместиться туда; оно не может переместиться туда, где оно есть, потому что оно уже там. Другими словами, в каждый момент времени не происходит никакого движения. Если все неподвижно в каждое мгновение, а время целиком состоит из мгновений, то движение невозможно.

В то время как первые два парадокса делят пространство, этот парадокс начинается с деления времени — и не на сегменты, а на точки. [19]

Другие парадоксы

Аристотель приводит еще три парадокса.

Парадокс места

От Аристотеля:

Если все существующее имеет место, то и место будет иметь место, и так до бесконечности . [20]

Парадокс просяного зерна

Описание парадокса из Философского словаря Рутледжа :

Аргумент состоит в том, что одно зерно проса при падении не издает звука, а тысяча зерен издает звук. Следовательно, тысяча пустяков становится чем-то, абсурдным выводом. [21]

Ответ Аристотеля:

Рассуждения Зенона ложны, когда он утверждает, что нет такой части проса, которая не издавала бы звука: ибо нет причины, по которой любая такая часть не могла бы в течение какого-либо промежутка времени перестать перемещать воздух, который движется весь бушель при падении. . В действительности он сам по себе не приводит в движение даже такое количество воздуха, какое оно двигало бы, если бы эта часть существовала сама по себе: ибо ни одна часть не существует иначе, как потенциально. [22]

Описание от Ника Хаггетта:

Это аргумент Парменида о том, что нельзя доверять своему слуху. Ответ Аристотеля, по-видимому, заключается в том, что даже неслышимые звуки могут добавиться к слышимому звуку. [23]

Движущиеся ряды (или стадион)

Движущиеся ряды

От Аристотеля:

... что касается двух рядов тел, причем каждый ряд состоит из равного числа тел одинакового размера, обгоняющих друг друга на гоночной трассе, движущихся с одинаковой скоростью в противоположных направлениях, при этом один ряд первоначально занимал пространство между цель и средняя точка дистанции, а другая — между средней точкой и стартовой стойкой. Это... предполагает вывод, что половина заданного времени равна удвоенному времени. [24]

Расширенное изложение аргументов Зенона, представленное Аристотелем, дано в комментарии Симплиция « К физике Аристотеля» . [25] [2] [1]

Предлагаемые решения

В классической античности

По мнению Симплиция , Диоген Циник ничего не сказал, выслушав доводы Зенона, но встал и пошел, чтобы продемонстрировать ложность выводов Зенона. [25] [2] Однако, чтобы полностью решить любой из парадоксов, нужно показать, что не так с аргументом, а не только с выводами. На протяжении всей истории было предложено несколько решений, среди которых самыми ранними были решения Аристотеля и Архимеда.

Аристотель (384–322 до н. э.) заметил, что по мере уменьшения расстояния время, необходимое для преодоления этого расстояния, также уменьшается, так что необходимое время также становится все меньше. [26] [ не удалось проверить ] [27] Аристотель также отличал «вещи, бесконечные в отношении делимости» (например, единицу пространства, которую можно мысленно разделить на все более мелкие единицы, оставаясь при этом пространственно неизменными) от вещей (или расстояний), которые бесконечны по протяженности («относительно своих концов»). [28] Возражение Аристотеля против парадокса стрелы заключалось в том, что «Время не состоит из неделимых моментов времени, как и любая другая величина не состоит из неделимых». [29] Фома Аквинский , комментируя возражение Аристотеля, писал: «Мгновения не являются частями времени, ибо время не состоит из мгновений, так же как величина не состоит из точек, как мы уже доказали. Отсюда не следует, что вещь не находится в движении в данное время только потому, что она не находится в движении ни в один момент этого времени». [30] [31] [32]

В современной математике

Некоторые математики и историки, такие как Карл Бойер , считают, что парадоксы Зенона — это просто математические проблемы, для которых современное исчисление обеспечивает математическое решение. [33] Бесконечные процессы оставались теоретически проблематичными в математике до конца 19 века. Используя эпсилон-дельта- определение предела , Вейерштрасс и Коши разработали строгую формулировку задействованной логики и исчисления. Эти работы разрешили математику, связанную с бесконечными процессами. [34] [35]

Некоторые философы , однако, говорят, что парадоксы Зенона и их вариации (см. Лампа Томсона ) остаются актуальными метафизическими проблемами. [10] [11] [12] Хотя математика может рассчитать, где и когда движущийся Ахиллес догонит черепаху парадокса Зенона, такие философы, как Кевин Браун [10] и Фрэнсис Муркрофт [11] считают, что математика не затрагивает центральную точку в аргументе Зенона, и что решение математических проблем не решает всех проблем, которые поднимают парадоксы. Браун заключает: «Учитывая историю «окончательных решений», начиная с Аристотеля, вероятно, безрассудно думать, что мы достигли конца. Возможно, аргументы Зенона о движении из-за их простоты и универсальности всегда будут служить своего рода своего рода « образа Роршаха », на который люди могут проецировать свои самые фундаментальные феноменологические проблемы (если они у них есть)». [10]

Анри Бергсон

Альтернативный вывод, предложенный Анри Бергсоном в его книге «Материя и память » 1896 года , заключается в том, что, хотя путь и делим, движение — нет. [36] [37]

Питер Линдс

В 2003 году Питер Линдс утверждал, что все парадоксы движения Зенона разрешаются выводом о том, что моменты времени и мгновенные величины физически не существуют. [38] [39] [40] Линдс утверждает, что объект, находящийся в относительном движении, не может иметь мгновенное или определенное относительное положение (ибо если бы оно было, он не мог бы находиться в движении), и поэтому его движение не могло быть дробно расчленено, как если бы оно было делает, как и предполагают парадоксы. Ник Хаггетт утверждает, что Зенон делает вывод, когда говорит, что объекты, занимающие то же пространство, что и в состоянии покоя, должны находиться в покое. [19]

Бертран Рассел

На основе работы Георга Кантора [41] Бертран Рассел предложил решение парадоксов, так называемую «теорию движения at-at». Он согласен с тем, что не может быть движения «во время» непродолжительного мгновения, и утверждает, что все, что требуется для движения, — это чтобы стрелка находилась в одной точке в один момент времени, в другой точке в другой раз и в соответствующих точках между этими двумя точками. за прошедшее время. С этой точки зрения движение — это просто изменение положения во времени. [42] [43]

Герман Вейль

Другое предлагаемое решение - поставить под сомнение одно из предположений, которые Зенон использовал в своих парадоксах (особенно в «Дихотомии»), а именно, что между любыми двумя разными точками в пространстве (или времени) всегда есть еще одна точка. Без этого предположения существует только конечное число расстояний между двумя точками, следовательно, не существует бесконечной последовательности движений, и парадокс разрешается. По мнению Германа Вейля , предположение о том, что пространство состоит из конечных и дискретных единиц, подвергается дальнейшей проблеме, связанной с « аргументом плитки » или «проблемой функции расстояния». [44] [45] Согласно этому, длина гипотенузы прямоугольного треугольника в дискретном пространстве всегда равна длине одной из двух сторон, что противоречит геометрии. Жан Поль Ван Бендегем утверждал, что аргумент плитки можно разрешить и, следовательно, дискретизация может устранить парадокс. [33] [46]

Приложения

Квантовый эффект Зенона

В 1977 году [47] физики Э. К. Джордж Сударшан и Б. Мисра обнаружили, что динамическую эволюцию (движение) квантовой системы можно затруднить (или даже затормозить) посредством наблюдения за системой. [48] ​​Этот эффект обычно называют «квантовым эффектом Зенона», поскольку он сильно напоминает парадокс стрелы Зенона. Впервые этот эффект был теоретически высказан в 1958 году. [49]

Поведение Зенона

В области верификации и проектирования синхронизированных и гибридных систем поведение системы называется Зеноном, если оно включает в себя бесконечное количество дискретных шагов за конечное время. [50] Некоторые формальные методы проверки исключают такое поведение из анализа, если оно не эквивалентно незеноновскому поведению. [51] [52] При проектировании систем такое поведение также часто исключается из системных моделей, поскольку оно не может быть реализовано с помощью цифрового контроллера. [53]

В популярной культуре

Юмористический подход предлагает Том Стоппард в своей пьесе «Прыгуны» 1972 года , в которой главный герой, профессор философии Джордж Мур, предполагает, что, согласно парадоксу Зенона, святой Себастьян , христианский святой III века, замученный, будучи застрелен стрелами, умер от испуг.

В 1969 году The Firesign Theater использовал версию парадокса дихотомии Зенона, когда дорожные знаки, обозначающие приближающийся выезд, продолжали делиться пополам, при этом водитель так и не достиг места назначения, на своем втором альбоме «How Can You Be In Two Places». сразу, когда тебя вообще нет нигде».

Фолк-музыканты Лу и Питер Берриман представили юмористическую вариацию своей песни «An Hour Away», в которой водитель автомобиля продолжает сталкиваться со строительством, требующим более низкой скорости, так что, даже если они продолжают движение, пункт назначения остается в часе езды и они не могут удовлетворить свой романтический интерес.

Подобные парадоксы

Школа Имен

Схема парадокса палки Хуэй Ши

Примерно в то же время, в период Воюющих царств (475–221 гг. до н.э.), древние китайские философы из Школы Имен , школы мысли, также занимающейся логикой и диалектикой, разработали парадоксы, подобные парадоксам Зенона. Работы Школы Имен в значительной степени утеряны, за исключением частей Гунсунь Лунцзы . Второй из Десяти тезисов Хуэй Ши предполагает знание бесконечно малых величин: То, что не имеет толщины, невозможно сложить в кучу; однако его размер составляет тысячу ли. Среди множества его загадок, записанных в « Чжуанцзы», есть одна, очень похожая на «Дихотомию» Зенона:

«Если из палки длиной в фут каждый день брать по половине, то через мириады веков она не исчерпается».

-  Чжуанцзы , глава 33 (перевод Легге) [54]

Канон Моиста, по-видимому, предлагает решение этого парадокса, утверждая, что при движении по измеренной длине расстояние преодолевается не за последовательные доли длины, а за один этап. Из-за отсутствия сохранившихся работ Школы имен большинство других перечисленных парадоксов трудно поддаются интерпретации. [55]

Льюис Кэрролл « Что черепаха сказала Ахиллесу»

Книга « Что черепаха сказала Ахиллу », [56] написанная в 1895 году Льюисом Кэрроллом , в которой описывается парадоксальный аргумент бесконечного регресса в сфере чистой логики, используются Ахиллес и Черепаха в качестве персонажей, что является явной ссылкой на парадокс Зенона об Ахилле. . [57]

Гёдель, Эшер, Бах Дугласа Хофштадтера

Примечательно, что [58] книга Дугласа Хофштадтера « Гёдель, Эшер, Бах» , вдохновленная Кэрроллом, содержит одних и тех же персонажей в диалогах на протяжении всей книги. [58] Это популярная, отмеченная наградами 742-страничная книга об основах математики и ее взаимосвязях. к искусственному интеллекту. [58]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ abcdefghijk «Парадоксы Зенона | Интернет-энциклопедия философии» . Проверено 25 марта 2024 г.
  2. ^ abcdefghijkl Хаггетт, Ник (2024), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Парадоксы Зенона», Стэнфордская энциклопедия философии (изд. весной 2024 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 25 марта 2024 г.
  3. ^ Диоген Лаэртий, Жития , 9.23 и 9.29.
  4. ^ Парменид 128d
  5. ^ Парменид 128a–b
  6. ^ ([фрагмент 65], Диоген Лаэртский. IX. Архивировано 12 декабря 2010 г. в Wayback Machine 25ff и VIII 57).
  7. ^ ab Физика Аристотеля. Архивировано 6 января 2011 г. в Wayback Machine "Физика" Аристотеля, перевод Р. П. Харди и Р. К. Гэй.
  8. ^ «Греческий текст «Физики» Аристотеля (см. §4 в верхней части видимой области экрана)» . Архивировано из оригинала 16 мая 2008 г.
  9. ^ Бенсон, Дональд К. (1999). Момент доказательства: математические прозрения . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 14. ISBN 978-0195117219.
  10. ^ abcd Браун, Кевин. «Зенон и парадокс движения». Размышления об относительности . Архивировано из оригинала 5 декабря 2012 г. Проверено 6 июня 2010 г.
  11. ^ abc Муркрофт, Фрэнсис. «Парадокс Зенона». Архивировано из оригинала 18 апреля 2010 г.
  12. ^ аб Папа-Гримальди, Альба (1996). «Почему математические решения парадоксов Зенона упускают из виду суть: соотношение Зенона «один и многие» и запрет Парменида» (PDF) . Обзор метафизики . 50 : 299–314. Архивировано (PDF) из оригинала 9 июня 2012 г. Проверено 6 марта 2012 г.
  13. ^ Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 5. Влияние Зенона на философию». Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 01 марта 2022 г. Проверено 7 марта 2011 г.
  14. ^ Линдберг, Дэвид (2007). Начало западной науки (2-е изд.). Издательство Чикагского университета. п. 33. ISBN 978-0-226-48205-7.
  15. ^ Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 3.1 Дихотомия». Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 01 марта 2022 г. Проверено 7 марта 2011 г.
  16. ^ Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 3.2 Ахиллес и черепаха». Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 01 марта 2022 г. Проверено 7 марта 2011 г.
  17. ^ Аристотель. «Физика». Архив интернет-классики . Архивировано из оригинала 15 мая 2008 г. Проверено 21 августа 2012 г. Ошибочно, однако, рассуждение Зенона, когда он говорит, что если все, занимая равное пространство, покоится и если то, что находится в движении, всегда и в любой момент занимает такое пространство, то летящая стрела поэтому неподвижна. Это неверно, поскольку время не состоит из неделимых моментов, как и любая другая величина не состоит из неделимых.
  18. ^ Лаэртий, Диоген (ок. 230). «Пиррон». Жизнеописания и мнения выдающихся философов . Том. IX. отрывок 72. ISBN 1-116-71900-2. Архивировано из оригинала 22 августа 2011 г. Проверено 5 марта 2011 г.
  19. ^ Аб Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 3.3 Стрела». Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 01 марта 2022 г. Проверено 7 марта 2011 г.
  20. ^ Аристотель Физика IV: 1, 209a25. Архивировано 9 мая 2008 г. в Wayback Machine.
  21. ^ Майкл Праудфут, AR Lace. Философский словарь Рутледжа. Рутледж 2009, с. 445
  22. ^ Аристотель Физика VII: 5, 250a20. Архивировано 11 мая 2008 г. в Wayback Machine.
  23. ^ Хаггетт, Ник, «Парадоксы Зенона», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2010 г.), Эдвард Н. Залта (ред.), http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#GraMil. Архивировано в 2022 г. -03-01 в Wayback Machine
  24. ^ Аристотель Физика VI: 9, 239b33. Архивировано 15 мая 2008 г. в Wayback Machine.
  25. ^ аб Симпликиос; Констан, Дэвид; Симпликиос (1989). Симплиций о физике Аристотеля 6 . Древние комментаторы Аристотеля. Итака, штат Нью-Йорк: Корнельский университет. Пр. ISBN 978-0-8014-2238-6.
  26. ^ Аристотель. Физика 6.9
  27. ^ Наблюдение Аристотеля о том, что дробные времена также становятся короче, не гарантирует в каждом случае выполнения задачи. Одним из случаев, когда это не выполняется, является случай, когда дробные времена уменьшаются в гармоническом ряду , а расстояния уменьшаются геометрически, например: 1/2 с для усиления на 1/2 м, 1/3 с для следующих 1/4 м. м, 1/4 с для следующего усиления 1/8 м, 1/5 с для следующего усиления 1/16 м, 1/6 с для следующего усиления 1/32 м и т. д. В этом случае расстояния образуют сходящуюся ряд, но времена образуют расходящийся ряд , сумма которого не имеет предела. [ оригинальное исследование? ] Архимед разработал более явно математический подход, чем Аристотель.
  28. ^ Аристотель. Физика 6,9; 6.2, 233а21-31
  29. ^ Аристотель. Физика. Том. VI. Часть 9 стих: 239б5. ISBN 0-585-09205-2. Архивировано из оригинала 15 мая 2008 г. Проверено 11 августа 2008 г.
  30. ^ Фома Аквинский. Комментарий к физике Аристотеля, книга 6.861.
  31. ^ Кирицис, Пол (01 апреля 2020 г.). Критическое исследование предсказательных снов (1-е изд.). Издательство Кембриджских ученых. п. 19. ISBN 978-1527546332.{{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
  32. ^ Фома Аквинский, Фома . «Комментарий к физике Аристотеля». aquinas.cc . Проверено 25 марта 2024 г.
  33. ^ Аб Бойер, Карл (1959). История исчисления и его концептуальное развитие . Дуврские публикации. п. 295. ИСБН 978-0-486-60509-8. Проверено 26 февраля 2010 г. Если парадоксы сформулированы таким образом в точной математической терминологии непрерывных переменных (...), то кажущиеся противоречия разрешаются сами собой.
  34. ^ Ли, Гарольд (1965). «Основанны ли парадоксы Зенона на ошибке?». Разум . 74 (296). Издательство Оксфордского университета: 563–570. дои : 10.1093/mind/LXXIV.296.563. JSTOR  2251675.
  35. ^ Б. Рассел (1956) Математика и метафизики в «Мире математики» (ред. Дж. Р. Ньюман ), стр. 1576-1590.
  36. ^ Бергсон, Анри (1896). Matière et Mémoire [ Материя и память ] (PDF) . Перевод 1911 года Нэнси Маргарет Пол и В. Скотт Палмер. Джордж Аллен и Анвин. стр. 77–78 PDF-файла. Архивировано (PDF) из оригинала 15 октября 2019 г. Проверено 15 октября 2019 г.
  37. ^ Массуми, Брайан (2002). Притчи для виртуального: движение, аффект, ощущение (1-е изд.). Дарем, Северная Каролина: Издательство Университета Дьюка. стр. 5–6. ISBN 978-0822328971.
  38. ^ «Парадоксы Зенона: своевременное решение». Январь 2003 г. Архивировано из оригинала 13 августа 2012 г. Проверено 2 июля 2012 г.
  39. ^ Линдс, Питер. Время, классическая и квантовая механика: неопределенность против разрыва. Письма об основах физики (том 16, выпуск 4, 2003 г.). дои:10.1023/А:1025361725408
  40. ^ Время вышло, Эйнштейн. Архивировано 30 декабря 2012 г. в Wayback Machine , Джош МакХью, журнал Wired Magazine , июнь 2005 г.
  41. ^ Рассел, Бертран (2002) [Впервые опубликовано в 1914 году издательством Open Court Publishing Company]. «Лекция 6. Проблема бесконечности в историческом рассмотрении». Наши знания о внешнем мире: как поле научного метода в философии . Рутледж. п. 169. ИСБН 0-415-09605-7.
  42. ^ Хаггетт, Ник (1999). Пространство от Зенона до Эйнштейна . МТИ Пресс. ISBN 0-262-08271-3.
  43. ^ Салмон, Уэсли К. (1998). Причинность и объяснение. Издательство Оксфордского университета. п. 198. ИСБН 978-0-19-510864-4. Архивировано из оригинала 29 декабря 2023 г. Проверено 21 ноября 2020 г.
  44. ↑ Ван Бендегем, Жан Поль (17 марта 2010 г.). «Финитизм в геометрии». Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 12 мая 2008 г. Проверено 03 января 2012 г.
  45. ^ Коэн, Марк (11 декабря 2000 г.). «АТОМИЗМ». История древней философии, Вашингтонский университет . Архивировано из оригинала 12 июля 2010 года . Проверено 03 января 2012 г.
  46. ^ ван Бендегем, Жан Поль (1987). «Дискуссия: парадоксы Зенона и аргумент плитки». Философия науки . 54 (2). Бельгия: 295–302. дои : 10.1086/289379. JSTOR  187807. S2CID  224840314.
  47. ^ Сударшан, ЭКГ ; Мисра, Б. (1977). «Парадокс Зенона в квантовой теории» (PDF) . Журнал математической физики . 18 (4): 756–763. Бибкод : 1977JMP....18..756M. дои : 10.1063/1.523304. OSTI  7342282. Архивировано (PDF) из оригинала 14 мая 2013 г. Проверено 20 апреля 2018 г.
  48. ^ ВМИтано; диджей Хайнсен; Джей Джей Боккингер; Диджей Вайнленд (1990). «Квантовый эффект Зенона» (PDF) . Физический обзор А. 41 (5): 2295–2300. Бибкод : 1990PhRvA..41.2295I. doi : 10.1103/PhysRevA.41.2295. PMID  9903355. Архивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2004 г. Проверено 23 июля 2004 г.
  49. ^ Халфин, Луизиана (1958). «Вклад в теорию распада квазистационарного состояния». Советский физ. ЖЭТФ . 6 : 1053. Бибкод : 1958JETP....6.1053K.
  50. ^ Пол А. Фишвик, изд. (1 июня 2007 г.). «15.6 «Классы патологического поведения» в главе 15 «Гибридные динамические системы: моделирование и выполнение» Питера Дж. Мостермана, The Mathworks, Inc.». Справочник по моделированию динамических систем . Chapman & Hall/CRC Computer and Information Science (изд. в твердом переплете). Бока-Ратон, Флорида, США: CRC Press. стр. 15–22–15–23. ISBN 978-1-58488-565-8. Архивировано из оригинала 29 декабря 2023 г. Проверено 5 марта 2010 г.
  51. ^ Лэмпорт, Лесли (2002). Спецификация систем (PDF) . Аддисон-Уэсли. п. 128. ИСБН 0-321-14306-Х. Архивировано (PDF) из оригинала 16 ноября 2010 г. Проверено 6 марта 2010 г. {{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь )
  52. ^ Чжан, Цзюнь; Йоханссон, Карл; Лигерос, Джон; Састри, Шанкар (2001). «Гибридные системы Зенона» (PDF) . Международный журнал робастного и нелинейного управления . 11 (5): 435. doi :10.1002/rnc.592. S2CID  2057416. Архивировано из оригинала (PDF) 11 августа 2011 года . Проверено 28 февраля 2010 г.
  53. ^ Франк, Кассез; Хензингер, Томас; Раскин, Жан-Франсуа (2002). «Сравнение задач управления для синхронных и гибридных систем». Архивировано из оригинала 28 мая 2008 года . Проверено 2 марта 2010 г. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
  54. ^ Мюллер, Макс, изд. (1891). «Сочинения Кван Цзе». Священные книги Востока . Том. 40. Перевод Легга, Джеймса. Издательство Оксфордского университета .
  55. ^ «Школа имен> Разные парадоксы (Стэнфордская энциклопедия философии)» . plato.stanford.edu . Архивировано из оригинала 11 декабря 2016 г. Проверено 30 января 2020 г.
  56. ^ Кэрролл, Льюис (1 апреля 1895 г.). «Что черепаха сказала Ахиллесу». Разум . IV (14): 278–280. дои : 10.1093/mind/IV.14.278. ISSN  0026-4423. Архивировано из оригинала 20 июля 2020 г. Проверено 20 июля 2020 г.
  57. ^ Цилипакос, Леонидас (2021). Ясность и путаница в социальной теории: серьезное отношение к понятиям . Философия и метод в социальных науках. Абингдон Нью-Йорк (Нью-Йорк): Рутледж. п. 48. ИСБН 978-1-032-09883-8.
  58. ^ abc Bunch, Брайан Х. (1997). Математические заблуждения и парадоксы . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publ. п. 204. ИСБН 978-0-486-29664-7.

Рекомендации

Внешние ссылки

В Wikisource есть оригинальный текст, относящийся к этой статье:
Зенон Элейский