Теренс Чи-Шен Тао FAA FRS ( кит .陶哲軒; родился 17 июля 1975 г.) — австралийский математик. Он является профессором математики в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе (UCLA), где возглавляет кафедру Джеймса и Кэрол Коллинз. Его исследования включают темы гармонического анализа , уравнений в частных производных , алгебраической комбинаторики , арифметической комбинаторики , геометрической комбинаторики , теории вероятностей , сжатого измерения и аналитической теории чисел . [4]
Тао родился в семье китайских иммигрантов и вырос в Аделаиде . Тао выиграл медаль Филдса в 2006 году, а также Королевскую медаль и премию за прорыв в математике в 2014 году. Он также является стипендиатом Макартура 2006 года . Тао был автором или соавтором более трехсот исследовательских работ. [5] Он широко известен как один из величайших ныне живущих математиков. [6] [7] [8] [9] [10]
Родители Тао — иммигранты в первом поколении из Гонконга в Австралию . [11] Отец Тао, Билли Тао, [a] был китайским педиатром , родившимся в Шанхае и получившим медицинскую степень ( MBBS ) в Университете Гонконга в 1969 году. [12] Мать Тао, Грейс Леонг, [b] родился в Гонконге; она получила высшую степень с отличием по математике и физике в Университете Гонконга . [10] Она работала учителем математики и физики в средней школе в Гонконге. [13] Билли и Грейс познакомились, будучи студентами Гонконгского университета. [14] Затем они эмигрировали из Гонконга в Австралию в 1972 году. [11] [10]
У Тао также есть два брата, Тревор и Найджел, которые в настоящее время живут в Австралии. Оба ранее представляли штаты на Международной математической олимпиаде . [15] Кроме того, Тревор Тао представляет Австралию на международном уровне по шахматам и имеет звание международного мастера по шахматам. [16] Тао говорит на кантонском диалекте, но не умеет писать по-китайски. Тао женат на Лоре Тао, инженере-электрике из Лаборатории реактивного движения НАСА . [10] [17] Они живут в Лос-Анджелесе , штат Калифорния, и имеют двоих детей: Райли [c] и дочь Мадлен. [18] [19]
Вундеркинд , [20] Тао демонстрировал выдающиеся математические способности с раннего возраста, посещая курсы математики университетского уровня в возрасте 9 лет. Он один из трех детей в истории программы исследования исключительных талантов Джона Хопкинса , у которых были набрал 700 или больше баллов по математическому разделу SAT , когда ему было всего восемь лет; Тао набрал 760 баллов. [21] Джулиан Стэнли , директор по изучению математически не по годам развитой молодежи , заявил, что Тао обладал величайшими способностями к математическому рассуждению, которые он обнаружил за годы интенсивных поисков. [6] [22]
Тао был самым молодым участником Международной математической олимпиады на сегодняшний день , впервые участвуя в нем в возрасте десяти лет; в 1986, 1987 и 1988 годах он выигрывал бронзовую, серебряную и золотую медали соответственно. Тао остается самым молодым обладателем каждой из трех медалей в истории Олимпиады: он выиграл золотую медаль в возрасте 13 лет в 1988 году. [23]
В 14 лет Тао поступил в Научно-исследовательский институт — летнюю программу для школьников. В 1991 году он получил степени бакалавра и магистра в возрасте 16 лет в Университете Флиндерса под руководством Гарта Годри. [24] В 1992 году он выиграл стипендию Фулбрайта для аспирантов для проведения исследований в области математики в Принстонском университете в США. С 1992 по 1996 год Тао был аспирантом Принстонского университета под руководством Элиаса Стайна , получив докторскую степень в возрасте 21 года. [24] В 1996 году он поступил на факультет Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе . В 1999 году, когда ему было 24 года, он был назначен профессором Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе и остается самым молодым человеком, когда-либо назначенным на это звание этим учреждением. [24]
Он известен своим мышлением, ориентированным на сотрудничество; к 2006 году Тао работал над своими открытиями вместе с более чем 30 другими авторами [6] , а к октябрю 2015 года число соавторов достигло 68.
Тао особенно активно сотрудничал с британским математиком Беном Дж. Грином ; вместе они доказали теорему Грина-Тао , хорошо известную как среди математиков-любителей, так и среди профессиональных математиков. Эта теорема утверждает, что существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии простых чисел . The New York Times описала это так: [25] [26]
В 2004 году доктор Тао вместе с Беном Грином, математиком, ныне работающим в Кембриджском университете в Англии, решили проблему, связанную с гипотезой простых чисел-близнецов , изучая прогрессии простых чисел — серии чисел, расположенных на равном расстоянии друг от друга. (Например, 3, 7 и 11 представляют собой прогрессию простых чисел с интервалом 4; следующее число в последовательности, 15, не является простым.) Доктор Тао и доктор Грин доказали, что всегда можно найти , где-то в бесконечности целых чисел, прогрессия простых чисел одинакового интервала и любой длины.
Многие другие результаты Дао получили широкое внимание в научной прессе, в том числе:
Тао также разрешил или добился прогресса в ряде гипотез. В 2012 году Грин и Тао объявили о доказательстве предполагаемой « задачи о посадке фруктовых садов », которая требует максимального количества линий, проходящих ровно через 3 точки в наборе из n точек на плоскости, а не все на прямой. В 2018 году вместе с Брэдом Роджерсом Тао показал, что константа де Брейна-Ньюмана , неположительность которой эквивалентна гипотезе Римана , неотрицательна. [30] В 2020 году Тао доказал гипотезу Сендова о расположении корней и критических точек комплексного многочлена в частном случае многочленов достаточно высокой степени . [31]
Британский математик и медалист Филдса Тимоти Гауэрс отметил широту знаний Тао: [32]
Математические знания Тао представляют собой необычайное сочетание широты и глубины: он может уверенно и авторитетно писать на такие разнообразные темы, как уравнения в частных производных, аналитическая теория чисел, геометрия трехмерных многообразий, нестандартный анализ, теория групп, теория моделей, квантовая механика и т. д. вероятность, эргодическая теория, комбинаторика, гармонический анализ, обработка изображений, функциональный анализ и многие другие. В некоторые из этих областей он внес фундаментальный вклад. Другие области — это области, которые он, кажется, понимает на глубоком интуитивном уровне эксперта, несмотря на то, что официально в этих областях он не работает. Как он все это делает, а также пишет статьи и книги с умопомрачительной скоростью, остается полной загадкой. Было сказано, что Дэвид Гильберт был последним человеком, который знал всю математику, но найти пробелы в знаниях Дао непросто, и если вы это сделаете, то вполне можете обнаружить, что пробелы были заполнены год спустя.
В статье New Scientist [33] о его способностях говорится:
Репутация Тао такова, что математики теперь соревнуются за то, чтобы заинтересовать его своими проблемами, и он становится своего рода мистером-помощником для разочарованных исследователей. «Если вы застряли на какой-то проблеме, то один из выходов — заинтересовать Теренса Тао», — говорит Чарльз Фефферман (профессор математики Принстонского университета). [34]
За прошедшие годы Тао завоевал множество математических наград и наград. [35] Он является членом Королевского общества , Австралийской академии наук (член-корреспондент), Национальной академии наук (иностранный член), Американской академии искусств и наук , Американского философского общества , [36] и Американское математическое общество . [37] В 2006 году он получил Филдсовскую медаль ; он был первым австралийцем, первым преподавателем Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе и одним из самых молодых математиков, получивших эту награду. [34] [38] Он также был награжден стипендией Макартура . О нем писали в The New York Times , CNN , USA Today , Popular Science и многих других средствах массовой информации. [39] В 2014 году Тао получил награду «Выдающийся выпускник» CTY от Центра для одаренной и талантливой молодежи Джонса Хопкинса перед 979 учениками 8-го и 9-го классов, которые учатся по той же программе, которую окончил Тао. В 2021 году президент Джо Байден объявил, что Тао был выбран одним из 30 членов его президентского консультативного совета по науке и технологиям , органа, объединяющего самых выдающихся лидеров Америки в области науки и технологий. [40] В 2021 году Тао был награжден Неделей Римановской премии как лауреат первой Премии Римана 2019 года от Международной школы математики Римана при Университете Инсубрии . [41] Тао стал финалистом конкурса «Австралиец года» в 2007 году. [42]
По состоянию на 2022 год Тао опубликовал более трехсот статей и шестнадцать книг. [43] Его число Эрдеша равно 2. [44] Он широко цитируемый исследователь . [45] [46]
С 2001 по 2010 год Тао участвовал в известном сотрудничестве с Джеймсом Коллиандером , Маркусом Килом, Джильолой Стаффилани и Хидео Такаока. Они нашли ряд новых результатов, многие из которых связаны с корректностью слабых решений для уравнений Шредингера , уравнений КдФ и уравнений типа КдФ. [С+03]
Майкл Крист , Коллиандер и Тао разработали методы Карлоса Кенига , Густаво Понсе и Луиса Веги для установления некорректности некоторых уравнений Шрёдингера и КдВ для данных Соболева с достаточно низкими показателями. [CCT03] [47] Во многих случаях эти результаты были достаточно точными, чтобы прекрасно дополнять результаты корректности для достаточно больших показателей степени, полученные Бургейном, Коллиандером-Килом-Стаффилани-Такаока-Тао и другими. В дальнейшем такие заметные результаты для уравнений Шредингера были получены Тао в сотрудничестве с Иоаном Беженару. [BT06]
Особенно примечательный результат сотрудничества Коллиандера-Кила-Стаффилани-Такаока-Тао установил существование в течение длительного времени и теорию рассеяния степенного уравнения Шредингера в трех измерениях. [C+08] Их методы, в которых использовалась масштабная инвариантность простого степенного закона, были расширены Тао в сотрудничестве с Моникой Вишан и Сяои Чжан для работы с нелинейностями, в которых масштабная инвариантность нарушается. [TVZ07] Роуэн Киллип, Тао и Вишан позже добились заметного прогресса в решении двумерной проблемы радиальной симметрии. [КТВ09]
Техническим достижением Тао в 2001 году было рассмотрение уравнения волновых карт с двумерной областью и сферическим диапазоном. [T01a] Он опирался на более ранние инновации Даниэля Татару , который считал волновые карты ценными в пространстве Минковского . [48] Тао доказал глобальную корректность решений с достаточно малыми начальными данными. Фундаментальная трудность заключается в том, что Дао рассматривает малость по сравнению с критической нормой Соболева, что обычно требует сложных методов. Позже Тао адаптировал некоторые из своих работ по волновым картам к формуле уравнения Бенджамина-Оно ; Александру Ионеску и Кениг позже получили улучшенные результаты с помощью методов Тао. [T04a] [49]
В 2016 году Тао построил вариант уравнений Навье – Стокса , который имеет решения, демонстрирующие нерегулярное поведение за конечное время. [T16] Из-за структурного сходства между системой Тао и самими уравнениями Навье-Стокса следует, что любое положительное решение проблемы существования и гладкости Навье-Стокса должно учитывать конкретную нелинейную структуру уравнений. В частности, некоторые ранее предложенные решения проблемы не могли быть легитимными. [50] Тао предположил, что уравнения Навье-Стокса могли бы моделировать полную систему Тьюринга и, как следствие, можно было бы (отрицательно) решить проблему существования и гладкости, используя модификацию его результатов. [6] [27] Однако такие результаты остаются (по состоянию на 2022 год) предположительными.
Бент Фуглед выдвинул гипотезу Фугледа в 1970-х годах, постулируя тайловую характеристику тех евклидовых областей, для которых ансамбль Фурье обеспечивает основу L 2 . [51] Тао разрешил гипотезу отрицательно для размерностей больше 5, основываясь на построении элементарного контрпримера к аналогичной проблеме в случае конечных групп . [T04b]
Вместе с Камилом Мускалу и Кристофом Тиле Тао рассмотрел некоторые полилинейные сингулярные интегральные операторы с множителем, допускающим вырождение на гиперплоскости, определив условия, которые обеспечивают непрерывность операторов относительно пространств Lp . [MTT02] Это объединило и расширило ранее известные результаты Рональда Койфмана , Карлоса Кенига , Майкла Лейси , Ива Мейера , Элиаса Стайна и Тиле, среди других. [52] [53] [54] [55] [56] [57] Подобные проблемы анализировались Тао в 2001 году в контексте пространств Бургена, а не обычных пространств L p . [T01b] Такие оценки используются для установления результатов корректности дисперсионных уравнений в частных производных, следуя известным более ранним работам Жана Бургена , Кенига, Густаво Понсе и Луиса Веги , среди других. [58] [59]
Ряд результатов Тао касается явлений «ограничения» в анализе Фурье, которые широко изучались со времен основополагающих статей Чарльза Феффермана , Роберта Стрихарца и Питера Томаса в 1970-х годах. [60] [61] [62] Здесь изучается операция, которая ограничивает входные функции в евклидовом пространстве подмногообразием и выводит произведение преобразований Фурье соответствующих мер. Представляет большой интерес определение показателей степени, при которых эта операция непрерывна относительно пространств Lp . Такие многолинейные проблемы возникли в 1990-х годах, в том числе в заметных работах Жана Бургена , Серджиу Кляйнермана и Матея Македона . [63] [64] [65] В сотрудничестве с Аной Варгас и Луисом Вега Тао внес фундаментальный вклад в изучение проблемы билинейного ограничения, установив новые показатели степени и установив связи с проблемой линейного ограничения. Они также получили аналогичные результаты для билинейной задачи Какеи, которая основана на рентгеновском преобразовании вместо преобразования Фурье. [TVV98] В 2003 году Тао адаптировал идеи, разработанные Томасом Вольфом для билинейного ограничения на конические множества, в условия ограничения на квадратичные гиперповерхности. [T03] [66] Полилинейная постановка для этих задач была дополнительно разработана Тао в сотрудничестве с Джонатаном Беннеттом и Энтони Карбери; их работа широко использовалась Бургейном и Ларри Гутом при получении оценок для общих осциллирующих интегральных операторов . [ВСТ06] [67]
В сотрудничестве с Эммануэлем Кандесом и Джастином Ромбергом Тао внес заметный вклад в область измерения сжатых данных . С математической точки зрения, большинство их результатов определяют условия, в которых задача выпуклой оптимизации правильно вычисляет решение задачи оптимизации, которой, по-видимому, не хватает вычислительно поддающейся обработке структуры. Эти проблемы носят характер поиска решения недоопределенной линейной системы с минимально возможным количеством ненулевых элементов, называемой «разреженностью». Примерно в то же время Дэвид Донохо рассматривал аналогичные проблемы с альтернативной точки зрения многомерной геометрии. [68]
Вдохновленные яркими численными экспериментами, Кандес, Ромберг и Тао впервые изучили случай, когда матрица задается дискретным преобразованием Фурье. [CRT06a] Кандес и Тао абстрагировали проблему и ввели понятие «ограниченной линейной изометрии», которая представляет собой матрицу, количественно близкую к изометрии, когда она ограничена определенными подпространствами. [CT05] Они показали, что этого достаточно для точного или оптимально приближенного восстановления достаточно разреженных решений. Их доказательства, включавшие теорию выпуклой двойственности, были заметно упрощены в сотрудничестве с Ромбергом и стали использовать только линейную алгебру и элементарные идеи гармонического анализа. [CRT06b] Эти идеи и результаты позже были усовершенствованы Кандесом. [69] Кандес и Тао также рассмотрели ослабление условия разреженности, такое как степенное затухание коэффициентов. [CT06] Они дополнили эти результаты, опираясь на большой массив прошлых результатов в теории случайных матриц, чтобы показать, что, согласно гауссовскому ансамблю, большое количество матриц удовлетворяют свойству ограниченной изометрии. [CT06]
В 2007 году Кандес и Тао представили новый статистический оценщик линейной регрессии, который они назвали «селектором Данцига». Они доказали ряд результатов об его успехе в качестве средства оценки и выбора моделей, примерно параллельно с их более ранней работой над сжатыми измерениями. [CT07] С тех пор ряд других авторов изучали селектор Данцига, сравнивая его с аналогичными объектами, такими как статистическое лассо , представленное в 1990-х годах. [70] Тревор Хасти , Роберт Тибширани и Джером Х. Фридман приходят к выводу, что в ряде случаев это «несколько неудовлетворительно». [71] Тем не менее, он по-прежнему представляет значительный интерес в статистической литературе.
В 2009 году Кандес и Бенджамин Рехт рассмотрели аналогичную задачу восстановления матрицы, зная лишь несколько ее записей и информацию о том, что матрица имеет низкий ранг. [72] Они сформулировали проблему в терминах выпуклой оптимизации, изучая минимизацию ядерной нормы. Кандес и Тао в 2010 году разработали дополнительные результаты и методы решения той же проблемы. [CT10] Улучшенные результаты были позже получены Рехтом. [73] Подобные проблемы и результаты рассматривались и рядом других авторов. [74] [75] [76] [77] [78]
В 1950-х годах Юджин Вигнер инициировал изучение случайных матриц и их собственных значений. [79] [80] Вигнер изучил случай эрмитовых и симметричных матриц , доказав «закон полукруга» для их собственных значений. В 2010 году Тао и Ван Ву внесли большой вклад в изучение несимметричных случайных матриц. Они показали, что если n велико и элементы матрицы A размером n × n выбираются случайным образом в соответствии с любым фиксированным распределением вероятностей со средним значением 0 и стандартным отклонением 1, то собственные значения матрицы A будут иметь тенденцию быть равномерно разбросаны по диску радиуса n 1/2 вокруг начала координат; это можно уточнить, используя язык теории меры . [TV10] Это дало доказательство давно предполагаемого кругового закона , который ранее был доказан в более слабых формулировках многими другими авторами. В формулировке Тао и Ву круговой закон становится непосредственным следствием «принципа универсальности», утверждающего, что распределение собственных значений может зависеть только от среднего и стандартного отклонения данного покомпонентного распределения вероятностей, тем самым обеспечивая сокращение общего кругового закона к расчету для специально подобранных вероятностных распределений.
В 2011 году Тао и Ву установили «теорему четырех моментов », которая применяется к случайным эрмитовым матрицам , компоненты которых распределены независимо, каждая со средним значением 0 и стандартным отклонением 1, и которые экспоненциально вряд ли будут большими (как для распределения Гаусса ). . Если рассмотреть две такие случайные матрицы, которые согласуются по среднему значению любого квадратичного многочлена в диагональных элементах и по среднему значению любого многочлена четвертой степени во внедиагональных элементах, то Тао и Ву показывают, что ожидаемое значение большого числа функций собственных значений также будут совпадать с точностью до ошибки, равномерно контролируемой размером матрицы и стающей сколь угодно малой с увеличением размера матрицы. [TV11] Примерно в то же время аналогичные результаты были получены Ласло Эрдешем, Хорнг-Цер Яу и Цзюнь Инь. [81] [82]
В 2004 году Тао вместе с Жаном Бургеном и Нетсом Кацем изучал аддитивную и мультипликативную структуру подмножеств конечных полей простого порядка. [BKT04] Хорошо известно, что в таком поле не существует нетривиальных подколец . Бургейн, Кац и Тао дали количественную формулировку этого факта, показав, что для любого подмножества такого поля число сумм и произведений элементов подмножества должно быть количественно большим по сравнению с размером поля и размер самого подмножества. Улучшения своего результата позже дали Бургейн, Алексей Глибичук и Сергей Конягин . [83] [84]
Тао и Бен Грин доказали существование сколь угодно длинных арифметических прогрессий простых чисел ; этот результат обычно называют теоремой Грина-Тао и является одним из самых известных результатов Тао. [GT08] Источником арифметических прогрессий Грина и Тао является основополагающая теорема Эндре Семереди 1975 года о существовании арифметических прогрессий в определенных наборах целых чисел. Грин и Тао показали, что можно использовать «принцип переноса», чтобы распространить применимость теоремы Семереди на дополнительные наборы целых чисел. Теорема Грина-Тао тогда возникает как частный случай, хотя нетривиально показать, что простые числа удовлетворяют условиям расширения Грина и Тао теоремы Семереди.
В 2010 году Грин и Тао дали полилинейное расширение знаменитой теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях . Учитывая матрицу A k × n и матрицу v размера k × 1 , все компоненты которой являются целыми числами, Грин и Тао дают условия, когда существует бесконечно много матриц x размера n × 1 таких, что все компоненты Ax + v являются простыми числами. [GT10] Доказательство Грина и Тао было неполным, поскольку основывалось на недоказанных гипотезах. Эти гипотезы были доказаны в более поздних работах Грина, Тао и Тамар Зиглер . [ГТЦ12]
Учебники
Исследовательские статьи. Тао является автором более 300 статей. Следующие, среди наиболее цитируемых, рассматриваются ниже.
{{cite journal}}
: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )