Греческое mathēmatikē («математика») происходит от древнегреческого : μάθημα , романизированного : máthēma , аттического греческого : [má.tʰɛː.ma] греческого койне : [ˈma.θi.ma] , от глагола manthanein , «учиться». Строго говоря, máthēma может быть любой отраслью обучения или чем-либо изученным; однако, начиная с античности, некоторые mathēmata (в основном арифметика, геометрия, астрономия и гармоника) получили особый статус. [6] [7]
Происхождение греческой математики не очень хорошо документировано. [8] [9] Самые ранние развитые цивилизации в Греции и Европе были минойской и позднее микенской цивилизациями, обе из которых процветали во 2-м тысячелетии до н. э. Хотя эти цивилизации обладали письменностью и были способны к передовой инженерии, включая четырехэтажные дворцы с дренажем и ульевыми гробницами , они не оставили после себя никаких математических документов.
Хотя прямых доказательств нет, принято считать, что соседние вавилонская и египетская цивилизации оказали влияние на более молодую греческую традицию. [10] [11] [8] В отличие от расцвета греческой литературы в период с 800 по 600 гг. до н. э., о греческой математике в этот ранний период известно немного — почти вся информация была передана более поздними авторами, начиная с середины 4 в. до н. э. [12] [13]
Архаический и классический периоды
Греческая математика предположительно началась с Фалеса Милетского (ок. 624–548 до н. э.). О его жизни известно очень мало, хотя принято считать, что он был одним из семи мудрецов Греции . Согласно Проклу , он отправился в Вавилон, где изучал математику и другие предметы, придумав доказательство того, что сейчас называется теоремой Фалеса . [14] [15]
Не менее загадочной фигурой является Пифагор Самосский (ок. 580–500 гг. до н. э.), который предположительно посетил Египет и Вавилон, [13] [16] и в конечном итоге поселился в Кротоне , Великая Греция , где он основал своего рода братство. Пифагорейцы предположительно верили, что «все есть число», и были увлечены поисками математических отношений между числами и вещами. [17] Самому Пифагору приписывали многие более поздние открытия, включая построение пяти правильных тел . Однако Аристотель отказывался приписывать что-либо конкретно Пифагору и обсуждал работу пифагорейцев только как группы. [18] [19]
Почти половина материала в « Началах » Евклида обычно приписывается пифагорейцам, включая открытие иррациональных чисел, приписываемое Гиппасу (ок. 530–450 до н. э.) и Феодору (ок. 450 до н. э.). [20] Однако величайшим математиком, связанным с этой группой, возможно, был Архит (ок. 435–360 до н. э.), который решил задачу удвоения куба , определил гармоническое среднее и, возможно, внес вклад в оптику и механику . [20] [21] Другие математики, работавшие в этот период, не полностью связанные ни с одной школой, включают Гиппократа Хиосского (ок. 470–410 до н. э.), Теэтета (ок. 417–369 до н. э.) и Евдокса (ок. 408–355 до н. э.).
Греческая математика также привлекала внимание философов в классический период . Платон (ок. 428–348 до н. э.), основатель Платоновской академии , упоминает математику в нескольких своих диалогах. [22] Хотя Платон и не считался математиком, он, по-видимому, находился под влиянием пифагорейских идей о числе и считал, что элементы материи можно разбить на геометрические тела. [23] Он также считал, что геометрические пропорции связывают космос воедино, а не физические или механические силы. [24] Аристотель (ок. 384–322 до н. э.), основатель перипатетической школы , часто использовал математику для иллюстрации многих своих теорий, как, например, когда он использовал геометрию в своей теории радуги и теорию пропорций в своем анализе движения. [24] Большая часть знаний о древнегреческой математике в этот период получена благодаря записям, на которые ссылался Аристотель в своих собственных работах. [13] [25]
Греческая математика и астрономия достигли своего расцвета в эллинистический и ранний римский периоды , и большая часть работ, представленных такими авторами, как Евклид (ок. 300 г. до н. э.), Архимед (ок. 287–212 г. до н . э.), Аполлоний (ок. 240–190 г. до н. э.), Гиппарх (ок. 190–120 г. до н. э.) и Птолемей (ок. 100–170 г. н. э.), были на очень продвинутом уровне и редко осваивались за пределами узкого круга. [29] Примерами прикладной математики этого времени являются создание аналоговых компьютеров, таких как Антикитерский механизм , [30] [31] точное измерение окружности Земли Эратосфеном ( 276–194 г. до н. э.) и математические и механические работы Герона (ок. 10–70 г. н. э.). [32]
В эллинистический период появилось несколько центров обучения, из которых самым важным был Мусейон в Александрии , Египет , который привлекал ученых со всего эллинистического мира (в основном греков, но также египтян , евреев , персов и других). [33] [34] Хотя их было немного, эллинистические математики активно общались друг с другом; публикация состояла в передаче и копировании чьей-либо работы среди коллег. [35]
Более поздние математики римской эпохи включают Диофанта (ок. 214–298 н. э.), который писал о многоугольных числах и труд по досовременной алгебре ( Арифметика ), [36] [37] Паппа Александрийского (ок. 290–350 н. э.), который собрал много важных результатов в Собрании , [38] Теона Александрийского (ок. 335–405 н. э.) и его дочь Гипатию (ок. 370–415 н. э.), которые редактировали Альмагест Птолемея и другие труды, [39] [40] и Евтокия Аскалона ( ок. 480–540 н. э.), который написал комментарии к трактатам Архимеда и Аполлония. [41] Хотя ни один из этих математиков, за исключением, возможно, Диофанта, не имел заметных оригинальных работ, они известны своими комментариями и изложениями. В этих комментариях сохранились ценные отрывки из произведений, которые уже не сохранились, или исторические намеки, которые, ввиду отсутствия оригинальных документов, представляют ценность ввиду своей редкости. [42] [43]
Большинство математических текстов, написанных на греческом языке, сохранились благодаря копированию рукописей на протяжении столетий. Хотя некоторые фрагменты, датируемые древностью, были найдены прежде всего в Египте , как правило, они не добавляют ничего существенного к нашим знаниям о греческой математике, сохраненным в рукописной традиции. [29]
Евклид , который, предположительно, писал об оптике, астрономии и гармонике, собрал множество предыдущих математических результатов и теорем в « Началах» , каноне геометрии и элементарной теории чисел на протяжении многих столетий. [51] [52] [53] Менелай , более поздний геометр и астроном, написал стандартный труд по сферической геометрии в стиле «Начал» , « Сферику» , которую, возможно, считают первым трактатом по неевклидовой геометрии . [54] [55]
Архимед использовал технику, зависящую от формы доказательства от противного, чтобы получить ответы на проблемы с произвольной степенью точности, при этом указав пределы, в которых лежат ответы. Известный как метод исчерпания , Архимед использовал его в нескольких своих работах, включая приближение к π ( Измерение окружности ), [56] и доказательство того, что площадь, ограниченная параболой и прямой, составляет 4/3 площади треугольника с равным основанием и высотой ( Квадратура параболы ). [57] Архимед также показал, что число песчинок, заполняющих вселенную, не является неисчислимым, разработав свою собственную схему подсчета, основанную на мириаде , которая обозначала 10 000 ( Счетчик песков ). [58]
Наиболее характерным продуктом греческой математики, возможно, является теория конических сечений , которая была в значительной степени разработана в эллинистический период , начиная с работы Менехма и усовершенствована в первую очередь под руководством Аполлония в его работе «Коники» . [59] [60] [61] Методы, используемые в этих работах, не использовали явно алгебру или тригонометрию , последняя появилась примерно во времена Гиппарха . [62] [63]
Древнегреческая математика не ограничивалась теоретическими работами, но также использовалась в других видах деятельности, таких как деловые операции и измерение земель, о чем свидетельствуют сохранившиеся тексты, в которых вычислительные процедуры и практические соображения играли более важную роль. [11] [64]
Несмотря на отсутствие оригинальных рукописей, даты жизни некоторых греческих математиков более точны, чем даты сохранившихся вавилонских или египетских источников, поскольку существует ряд перекрывающихся хронологий, хотя многие даты остаются неопределенными.
^ Сидоли, Натан (2020). Тауб, Либа (ред.). «Древнегреческая математика» (PDF) . Кембриджский компаньон по древнегреческой и римской науке : 190–191. doi :10.1017/9781316136096.010.
^ Netz, Reviel (2002). «Греческая математика: групповая картина». Наука и математика в древнегреческой культуре . С. 196–216 . Получено 04.03.2024 .
^ Boyer, CB (1991). История математики (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. стр. 48. ISBN0-471-09763-2.
^ Кнорр, В. (2000). Математика . Греческая мысль: Путеводитель по классическим знаниям: Издательство Гарвардского университета. С. 386–413.
^ Schiefsky, Mark (2012-07-20), «Создание знаний второго порядка в древнегреческой науке как процесс глобализации знаний», Глобализация знаний в истории , MPRL – Исследования, Берлин: Общество Макса Планка по развитию наук, ISBN978-3-945561-23-2, получено 2021-03-27
^ Хит (1931). «Руководство по греческой математике». Nature . 128 (3235): 5. Bibcode : 1931Natur.128..739T. doi : 10.1038/128739a0. S2CID 3994109.
^ Фурнер, Дж. (2020). «Классификация наук в греко-римской античности». www.isko.org . Получено 09.01.2023 .
^ ab Hodgkin, Luke (2005). "Греки и происхождение". История математики: от Месопотамии до современности . Oxford University Press. ISBN978-0-19-852937-8.
^ Кнорр, В. (1981). О ранней истории аксиоматики: взаимодействие математики и философии в греческой античности . D. Reidel Publishing Co., стр. 145–186.Изменение теории, античная аксиоматика и методология Галилея, т. 1
^ Kahn, CH (1991). Некоторые замечания о происхождении греческой науки и философии . Наука и философия в классической Греции: Garland Publishing Inc., стр. 1–10.
^ Аб Хойруп, Дж. (1990). «Донаучная математика: подводные течения и недостающие звенья в математической технологии эллинистического и римского мира» (PDF) (неопубликованная рукопись, написанная для Aufstieg und Niedergang der römischen Welt ).
^ Жмудь, Леонид (2008-08-22). Происхождение истории науки в классической античности. Peripatoi. De Gruyter. стр. 23–44. doi :10.1515/9783110194326. ISBN978-3-11-019432-6.
^ abc Бойер и Мерцбах (2011) стр. 40–89.
^ Панченко, ДВ (Дмитрий Вадимович) (1993). «Фалес и происхождение теоретического рассуждения». Конфигурации . 1 (3): 387–414. doi :10.1353/con.1993.0024. ISSN 1080-6520. S2CID 59435003.
^ Бойер, Карл (1968). История математики . Wiley. стр. 42–43. ISBN0471543977.
↑ Хит (2003) стр. 36–111
^ Бойер, Карл (1968). История науки . Wiley. стр. 45. ISBN0471543977.
^ Корнелли, Габриэле (2016-05-20). «Обзор утверждения Аристотеля относительно фундаментальных убеждений пифагорейцев: все есть число?». Filosofia Unisinos / Unisinos Journal of Philosophy . 17 (1): 50–57. doi : 10.4013/fsu.2016.171.06 . ISSN 1984-8234.
↑ Ганс-Иоахим Вашкис, «Введение» в «Часть 1: Начало греческой математики» в «Классике в истории греческой математики» , стр. 11–12
^ ab Netz, Reviel (2014), Huffman, Carl A. (ред.), «Проблема пифагорейской математики», История пифагорейства , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 167–184, ISBN978-1-107-01439-8, получено 2021-05-26
^ Берниет, МФ (2005). «Архит и оптика». Наука в контексте . 18 (1): 35–53. doi :10.1017/S0269889705000347. ISSN 1474-0664. S2CID 146652622.
^ Calian, Florin George (2021-12-09). Числа, онтологически говоря: Платон о числе. Brill. ISBN978-90-04-46722-4.
^ Чернисс, Гарольд (1951). «Платон как математик». The Review of Metaphysics . 4 (3): 395–425. ISSN 0034-6632. JSTOR 20123223.
^ ab Линдберг, Дэвид (2008). Начало западной науки . Издательство Чикагского университета. С. 82–110. ISBN9780226482057.
↑ Менделл, Генри (26 марта 2004 г.). «Аристотель и математика». Стэнфордская энциклопедия . Получено 22 апреля 2021 г.
^ (Бойер 1991, «Евклид Александрийский» стр. 119)
^ Грин, П. (1990). От Александра до Акция: историческая эволюция эллинистической эпохи (1-е изд.). Издательство Калифорнийского университета. ISBN978-0-520-08349-3. JSTOR 10.1525/j.ctt130jt89.
^ Руссо, Л. (2004), «Эллинистическая математика», Забытая революция: как зародилась наука в 300 г. до н. э. и почему она должна была возродиться , Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 31–55, doi :10.1007/978-3-642-18904-3_3, ISBN978-3-642-18904-3
^ ab Jones, A. (1994). «Греческая математика до 300 г. н. э.». Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences: Volume One . pp. 46–57 . Получено 26.05.2021 .
^ Карин Тибьерг (2004-12-01). «Механическая геометрия Героя Александрийского». Apeiron . 37 (4): 29–56. doi :10.1515/APEIRON.2004.37.4.29. ISSN 2156-7093. S2CID 170916259.
^ Эдмундс, МГ (2014-10-02). «Антикитерский механизм и механическая вселенная». Contemporary Physics . 55 (4): 263–285. Bibcode : 2014ConPh..55..263E. doi : 10.1080/00107514.2014.927280. S2CID 122403901.
^ Luce, JV (1988). «Греческая наука в ее эллинистическом периоде». Hermathena (145): 23–38. ISSN 0018-0750. JSTOR 23040930.
^ Беррей, М. (2017). Эллинистическая наука при дворе. De Gruyter. doi :10.1515/9783110541939. ISBN978-3-11-054193-9.
^ Ачерби, Ф. (2018). Кейзер, Пол Т; Скарборо, Джон (ред.). «Эллинистическая математика». Оксфордский справочник по науке и медицине в классическом мире . стр. 268–292. doi :10.1093/oxfordhb/9780199734146.013.69. ISBN978-0-19-973414-6. Получено 2021-05-26 .
^ Ачерби, Ф. (2011). «Завершение Диофанта, De polygonis numeris, положение 5». История математики . 38 (4): 548–560. дои : 10.1016/j.hm.2011.05.002 . ISSN 0315-0860.
^ Кристианидис, Дж.; Оукс, Дж. (2013). «Практика алгебры в поздней античности: решение задач Диофанта Александрийского». Historia Mathematica . 40 (2): 127–163. doi : 10.1016/j.hm.2012.09.001 . ISSN 0315-0860.
^ Райдаут, Бронвин (2008). Паппус возрождается: Паппус Александрийский и меняющийся облик анализа и синтеза в поздней античности (диссертация). doi : 10.26021/3834.
^ Ламбру, М. (2003). «Теон Александрийский и Гипатия». История Древнего мира . Получено 26.05.2021 .
^ Кэмерон, А. (1990). «Исидор Милетский и Гипатия: о редактировании математических текстов». Греческие, римские и византийские исследования . 31 (1): 103–127. ISSN 2159-3159.
^ Мансфельд, Дж. (2016). Prolegomena Mathematica: от Аполлония Пергского до позднего неоплатонизма. Brill. ISBN978-90-04-32105-2.
^ Мансфельд, Дж. (2016). Prolegomena Mathematica: от Аполлония Пергского до позднего неоплатонизма. С приложением о Паппе и истории платонизма. Brill. ISBN978-90-04-32105-2.
^ Хит, Томас (1921). История греческой математики . Хамфри Милфорд.
^ Грант, Х.; Кляйнер, И. (2015), «Аксиоматика — Евклида и Гильберта: от материального к формальному», Поворотные моменты в истории математики , Компактные учебники по математике, Springer, стр. 1–8, doi :10.1007/978-1-4939-3264-1_1, ISBN978-1-4939-3264-1
^ Кнорр, В. (1996). Метод неделимых в античной геометрии . Vita Mathematica: MAA Press. С. 67–86.
^ Powers, J. (2020). Архимед занимался исчислением? История математики, специальная группа интересов MAA [1]
^ Штейн, Говард (1990-08-01). «Евдокс и Дедекинд: О древнегреческой теории отношений и ее связи с современной математикой». Synthese . 84 (2): 163–211. doi :10.1007/BF00485377. ISSN 1573-0964. S2CID 46974744.
^ Wigderson, Y. (апрель 2019 г.). Евдокс, самый важный математик, о котором вы никогда не слышали. https://web.stanford.edu/~yuvalwig/math/teaching/Eudoxus.pdf Архивировано 28 июля 2021 г. на Wayback Machine
^ Филеп, Л. (2003). «Теория пропорций в греческой математике». Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyí regyháziensis . 19 : 167–174.
^ JJ O'Connor и EF Robertson (апрель 1999). "Евдокс Книдский". Архив истории математики MacTutor . Университет Сент-Эндрюс . Получено 18 апреля 2011 г.
^ МЮЛЛЕР, ЯН (1969-12-01). «Элементы Евклида и аксиоматический метод». Британский журнал философии науки . 20 (4): 289–309. doi :10.1093/bjps/20.4.289. ISSN 0007-0882.
^ Пирс, Д. (2015). Основы арифметики у Евклида.
^ Амини, Хасан (21.03.2013). «Сферическая интерпретация плоской геометрии в «Сферике» Менелая Александрийского». Журнал истории науки . 11 (1): 31–46. ISSN 1735-0573.
^ Пападопулос, Атанас (09.08.2019). «Три теоремы Менелая». The American Mathematical Monthly . 126 (7): 610–619. doi :10.1080/00029890.2019.1604052. ISSN 0002-9890.
^ Кнорр, Уилбур Р. (1976). «Архимед и измерение окружности: новая интерпретация». Архив истории точных наук . 15 (2): 115–140. doi :10.1007/BF00348496. ISSN 0003-9519. JSTOR 41133444. S2CID 120954547.
^ Свейн, Гордон; Денс, Томас (1998). «Повторный взгляд на квадратуру параболы Архимеда». Mathematics Magazine . 71 (2): 123–130. doi :10.2307/2691014. ISSN 0025-570X. JSTOR 2691014.
^ Court, NA (1961). «Проблема Аполлония». Учитель математики . 54 (6): 444–452. doi :10.5951/MT.54.6.0444. ISSN 0025-5769. JSTOR 27956431.
^ Кнорр, Уилбур Ричард (1981). «Построение гиперболы в конических сечениях, книга II: античные вариации теоремы Аполлония». Centaurus . 25 (3): 253–291. Bibcode : 1981Cent...25..253K. doi : 10.1111/j.1600-0498.1981.tb00647.x. ISSN 1600-0498.
^ Балтус, Кристофер (2020), Балтус, Кристофер (ред.), «Конические сечения в греческой геометрии: Аполлоний, гармоническое деление и более поздняя греческая геометрия», Коллинеации и конические сечения: введение в проективную геометрию в ее истории , Cham: Springer International Publishing, стр. 45–57, doi : 10.1007/978-3-030-46287-1_4, ISBN978-3-030-46287-1, S2CID 226745369 , получено 2021-03-27
^ Toomer, GJ (1974). «Таблица хорд Гиппарха и ранняя история греческой тригонометрии». Centaurus . 18 (1): 6–28. Bibcode : 1974Cent...18....6T. doi : 10.1111/j.1600-0498.1974.tb00205.x. ISSN 1600-0498.
^ Дьюк, Д. (2011). «Очень ранняя история тригонометрии» (PDF) . DIO: Международный журнал научной истории . 17 : 34–42.
^ Роббинс, FE (1934). «Греко-египетские арифметические задачи: P. Mich. 4966». Isis . 22 (1): 95–103. doi :10.1086/346874. S2CID 144052363.
^ JJ O'Connor и EF Robertson (октябрь 1999 г.). «Откуда мы знаем о греческой математике?». Архив истории математики MacTutor . Университет Сент-Эндрюс. Архивировано из оригинала 30 января 2000 г. Получено 18 апреля 2011 г.
↑ Нетц, Ревиль (27 сентября 2011 г.). «Библиосфера древней науки (за пределами Александрии)». NTM Zeitschrift für Geschichte der Wissenschaften, Technik und Medizin (на немецком языке). 19 (3): 239–269. дои : 10.1007/s00048-011-0057-2 . ISSN 1420-9144. PMID 21946891. S2CID 21519829.
^ Лорх, Ричард (июнь 2001 г.). «Греко-арабско-латинский: передача математических текстов в средние века». Наука в контексте . 14 (1–2): 313–331. doi :10.1017/S0269889701000114. S2CID 146539132.
^ Тумер, Г. Дж. (январь 1984 г.). «Утерянные греческие математические работы в арабском переводе». The Mathematical Intelligencer . 6 (2): 32–38. doi :10.1007/BF03024153.