Теорема Фалеса

В геометрии теорема Фалеса утверждает, что если $A$ , $B$ и $C$ — различные точки на окружности , где линия $AC$ является диаметром , то угол $∠ ABC$ — прямой . Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о вписанном угле и упоминается и доказывается как часть 31-го предложения в третьей книге « Начал » Евклида . [ ^1] Обычно ее приписывают Фалесу Милетскому , но иногда ее приписывают Пифагору .

История

*Non si est Dare primum motum esse*
или se del mezzo cerchio, если бы
треугольник был неправильным. – «Рай»
Данте, Песнь 13, строки 100–102.

*Non si est dare primum motum esse,*
Или если в полукруге можно сделать
Треугольник так, чтобы он не имел прямого угла.
– Английский перевод Лонгфелло

Вавилонские математики знали это в частных случаях еще до того, как это доказали греческие математики. ^[2]

Фалесу Милетскому (начало VI в. до н. э.) традиционно приписывают доказательство теоремы; однако даже к V в. до н. э. не сохранилось никаких записей Фалеса, а изобретения и идеи приписывались таким мудрецам, как Фалес и Пифагор, более поздними доксографами на основе слухов и домыслов. ^[3]^[4] Ссылки на Фалеса были сделаны Проклом (V в. н. э.) и Диогеном Лаэртским (III в. н. э.), документирующим утверждение Памфилы (I в. н. э.) о том, что Фалес «был первым, кто вписал в окружность прямоугольный треугольник». ^[5]

Фалес, как утверждалось, путешествовал в Египет и Вавилонию , где он, как предполагается, узнал о геометрии и астрономии и оттуда принес свои знания грекам, по пути изобретя концепцию геометрического доказательства и доказав различные геометрические теоремы. Однако нет прямых доказательств ни для одного из этих утверждений, и они, скорее всего, были придуманными спекулятивными рационализациями. Современные ученые полагают, что греческая дедуктивная геометрия, найденная в « Началах » Евклида, не была развита до 4 века до н. э., и любые геометрические знания, которые мог иметь Фалес, были бы наблюдательными. ^[3]^[6]

Теорема появляется в третьей книге «Начал» Евклида ( ок. 300 г. до н. э. ) как предложение 31: «В круге угол в полукруге прямой, угол в большей его части меньше прямого угла, а угол в меньшей его части больше прямого угла; кроме того, угол в большей его части больше прямого угла, а угол в меньшей его части меньше прямого угла».

В своей речи в «Рае» (песнь 13, строки 101–102) Данте Алигьери ссылается на теорему Фалеса.

Доказательство

Первое доказательство

Используются следующие факты: сумма углов треугольника равна 180°, а углы при основании равнобедренного треугольника равны.

При условии, что $AC$ является диаметром , угол $B$ постоянный прямой (90°).
Рисунок для доказательства.

Так как $OA = OB = OC$ , то $△ OBA$ и $△ OBC$ — равнобедренные треугольники, а в силу равенства углов при основании равнобедренного треугольника, $∠ OBC = ∠ OCB$ и $∠ OBA = ∠ OAB$ .

Пусть $α = ∠ BAO$ и $β = ∠ OBC$ . Три внутренних угла треугольника $∆ ABC$ равны $α$ , $(α + β)$ и $β$ . Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то имеем

{\begin{align}\alpha +(\alpha +\beta )+\beta &=180^{\circ }\\2\alpha +2\beta &=180^{\circ }\\2(\alpha +\beta )&=180^{\circ }\\\следовательно, \alpha +\beta &=90^{\circ }.\end{align}}

ЧТЭК

Второе доказательство

Теорему также можно доказать с помощью тригонометрии : Пусть $O = (0, 0)$ , $A = (-1, 0)$ и $C = (1, 0)$ . Тогда $B$ — точка на единичной окружности $(cos θ, sin θ)$ . Мы покажем, что $△ ABC$ образует прямой угол, доказав, что $AB$ и $BC$ перпендикулярны , то есть произведение их наклонов равно −1. Вычислим наклоны для $AB$ и $BC$ :

{\begin{aligned}m_{AB}&={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\\[2pt]m_{BC}&={\frac {y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}}={\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\end{aligned}}

Затем мы показываем, что их произведение равно −1:

{\begin{align}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\[4pt]={}&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\\[4pt]={}&{\frac {-\sin ^{2}\theta }{-\cos ^{2}\theta +1}}\\[4pt]={}&{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}\\[4pt]={}&{-1}\end{align}}

Обратите внимание на использование тригонометрического тождества Пифагора. $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.$

Третье доказательство

Пусть $△ ABC$ — треугольник в окружности, где $AB$ — диаметр этой окружности. Затем постройте новый треугольник $△ ABD$ , отразив $△ ABC$ относительно прямой $AB$ , а затем отразив его снова относительно прямой, перпендикулярной $AB$ , которая проходит через центр окружности. Поскольку прямые $AC$ и $BD$ параллельны , то же самое касается AD $и$ CB $,$ четырехугольник ACBD $является$ параллелограммом . Поскольку прямые $AB$ и $CD$ , диагонали параллелограмма, являются диаметрами окружности и, следовательно, имеют одинаковую длину, параллелограмм должен быть прямоугольником. Все углы в прямоугольнике прямые.

Конверс

Для любого треугольника, и, в частности, для любого прямоугольного треугольника, существует ровно одна окружность, содержащая все три вершины треугольника. ( Эскиз доказательства . Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, представляет собой прямую линию, которая называется серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Серединные перпендикуляры любых двух сторон треугольника пересекаются ровно в одной точке. Эта точка должна быть равноудалена от вершин треугольника.) Эта окружность называется описанной окружностью треугольника.

Одна из формулировок теоремы Фалеса такова: если центр описанной окружности треугольника лежит на треугольнике, то треугольник прямоугольный, а центр описанной окружности лежит на его гипотенузе.

Обратная теорема Фалеса тогда такова: центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на его гипотенузе. (Эквивалентно, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром его описанной окружности.)

Доказательство обратного утверждения с использованием геометрии

Это доказательство состоит из «дополнения» прямоугольного треугольника до прямоугольника и замечания о том, что центр этого прямоугольника равноудалён от вершин и, следовательно, является центром описанной окружности исходного треугольника. Оно использует два факта:

Смежные углы в параллелограмме являются дополнительными (в сумме дают 180°) и,
диагонали прямоугольника равны и пересекаются в средней точке.

Пусть есть прямой угол $∠ ABC$ , $r —$ прямая, параллельная $BC$ и проходящая через $A$ , и $s$ — прямая, параллельная $AB$ и проходящая через $C.$ Пусть $D$ — точка пересечения прямых $r$ и $s$ . (Не доказано, что $D$ лежит на окружности.)

Четырехугольник $ABCD$ образует параллелограмм по построению (поскольку противолежащие стороны параллельны). Поскольку в параллелограмме смежные углы являются дополнительными (в сумме дают 180°) и $∠ ABC$ — прямой угол (90°), то углы $∠ BAD, ∠ BCD, ∠ ADC$ также прямые (90°); следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и BD . Тогда точка $O$ , по второму факту выше, равноудалена от $A$ , $B$ и $C.$ Итак, $O$ — центр описанной окружности, а гипотенуза треугольника ( $AC$ ) — диаметр окружности.

Альтернативное доказательство обратного утверждения с использованием геометрии

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$ , постройте окружность $Ω$ , диаметр которой равен $AC$ . Пусть $O$ — центр $Ω$ . Пусть $D$ — пересечение $Ω$ и луча $OB$ . По теореме Фалеса, $∠ ADC$ — прямой. Но тогда $D$ должен быть равен $B.$ (Если $D$ лежит внутри $△ ABC$ , $∠ ADC$ будет тупым, а если $D$ лежит снаружи $△ ABC$ , $∠ ADC$ будет острым.)

Доказательство обратного утверждения с использованием линейной алгебры

Это доказательство использует два факта:

две линии образуют прямой угол тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю, и
квадрат длины вектора определяется скалярным произведением вектора на самого себя.

Пусть есть прямой угол $∠ ABC$ и окружность $M$ с AC в качестве диаметра. Пусть центр M лежит в начале координат, для более простого вычисления. Тогда мы знаем

$A = - C$ , поскольку окружность с центром в начале координат имеетдиаметр $AC , и$
$(A - B) \cdot (B - C) = 0$ , так как $∠ ABC$ — прямой угол.

Из этого следует

{\begin{aligned}0&=(AB)\cdot (BC)\\&=(AB)\cdot (B+A)\\&=|A|^{2}-|B|^{2}.\\[4pt]\therefore \ |A|&=|B|.\end{aligned}}

Это означает, что $A$ и $B$ равноудалены от начала координат, т. е. от центра $M.$ Поскольку $A$ лежит на $M$ , то и $B$ тоже , и поэтому окружность $M$ является описанной окружностью треугольника.

Приведенные выше вычисления фактически устанавливают, что оба направления теоремы Фалеса справедливы в любом пространстве внутренних произведений .

Обобщения и связанные с ними результаты

Как указано выше, теорема Фалеса является частным случаем теоремы о вписанном угле (доказательство которой весьма похоже на первое доказательство теоремы Фалеса, приведенное выше):

Даны три точки

A

B

C

на окружности с центром

O.

Угол

∠ AOC

в два раза больше угла

∠ ABC

Следующий результат связан с теоремой Фалеса:

Если $AC$ — диаметр окружности, то:

Если $B$ находится внутри круга, то $∠ ABC > 90°$
Если $B$ находится на окружности, то $∠ ABC = 90°$
Если $B$ находится вне круга, то $∠ ABC < 90°$ .

Приложения

Построение касательной к окружности, проходящей через точку

Теорему Фалеса можно использовать для построения касательной к данной окружности, проходящей через данную точку. На рисунке справа дана окружность $k$ с центром $O$ и точкой $P$ вне $k$ , делим пополам $OP$ в точке $H$ и проводим окружность радиуса $OH$ с центром $H.$ $OP$ является диаметром этой окружности, поэтому треугольники, соединяющие OP с точками $T$ и $T',$ где окружности пересекаются , являются прямоугольными треугольниками.

Нахождение центра круга

Теорему Фалеса можно также использовать для нахождения центра круга с помощью объекта с прямым углом, например, квадрата или прямоугольного листа бумаги большего размера, чем круг. ^[7] Угол располагается в любом месте его окружности (рисунок 1). Пересечения двух сторон с окружностью определяют диаметр (рисунок 2). Повторение этого с другим набором пересечений дает другой диаметр (рисунок 3). Центр находится на пересечении диаметров.

Смотрите также

Примечания

^ Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Начал» Евклида. Т. 2 (книги 3–9) (2-е изд.). Дувр. стр. 61. ISBN 0486600890.Первоначально опубликовано Cambridge University Press. 1-е издание 1908 г., 2-е издание 1926 г.
^ de Laet, Siegfried J. (1996). История человечества: научное и культурное развитие . ЮНЕСКО , том 3, стр. 14. ISBN 92-3-102812-X
^ ab Dicks, DR (1959). «Thales». The Classical Quarterly . 9 (2): 294–309. doi :10.1017/S0009838800041586.
^ Аллен, Г. Дональд (2000). "Фалес Милетский" (PDF) . Получено 12.02.2012 .
^ Патронис, Тасос; Патсопулос, Димитрис (январь 2006 г.). «Теорема Фалеса: исследование наименования теорем в школьных учебниках геометрии». Международный журнал истории математического образования : 57–68. ISSN 1932-8826. Архивировано из оригинала 25.04.2018.
^ Сидоли, Натан (2018). «Греческая математика» (PDF) . В Джонс, А.; Тауб, Л. (ред.). Кембриджская история науки: т. 1, Древняя наука . Издательство Кембриджского университета. стр. 345–373.
^ Ресурсы для преподавания математики: 14–16 Колин Фостер

Ссылки

Агрикола, Илка ; Фридрих, Томас (2008). Элементарная геометрия . AMS. стр. 50. ISBN 978-0-8218-4347-5.
Хит, Т. Л. (1921). История греческой математики: от Фалеса до Евклида. Т. I. Оксфорд. С. 131 и далее.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Фалеса». MathWorld .
Поедание вписанных углов
Объяснение теоремы Фалеса с помощью интерактивной анимации
Демонстрации теоремы Фалеса Михаэля Шрайбера, Проект демонстраций Вольфрама .