Тригонометрическое тождество Пифагора

Соотношение между синусом и косинусом

Тригонометрическое тождество Пифагора , также называемое просто тождеством Пифагора , — это тождество, выражающее теорему Пифагора через тригонометрические функции . Наряду с формулами суммы углов , это одно из основных соотношений между функциями синуса и косинуса .

Идентичность - это

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.}$

Как обычно, означает . ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ ${\textstyle (\sin \theta )^{2}}$

Доказательства и их связь с теоремой Пифагора

Подобные прямоугольные треугольники, показывающие синус и косинус угла θ

Доказательство, основанное на прямоугольных треугольниках.

Любые подобные треугольники обладают тем свойством, что если мы выберем один и тот же угол во всех них, то отношение двух сторон, определяющих угол, будет одинаковым независимо от того, какой подобный треугольник выбран, независимо от его фактического размера: отношения зависят от трех углов, а не от длин сторон. Таким образом, для любого из подобных прямоугольных треугольников на рисунке отношение его горизонтальной стороны к гипотенузе одинаково, а именно cos  θ .

Элементарные определения функций синуса и косинуса через стороны прямоугольного треугольника следующие:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {b}{c}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {a}{c}}}$

Пифагорейское тождество получается путем возведения в квадрат обоих приведенных выше определений и сложения; левая часть тождества тогда становится

${\displaystyle {\frac {\mathrm {opposite} ^{2}+\mathrm {adjacent} ^{2}}{\mathrm {hypotenuse} ^{2}}}}$

что по теореме Пифагора равно 1. Это определение справедливо для всех углов, ввиду определения определения и для единичной окружности и, таким образом , и для окружности радиусом c и отражения нашего треугольника относительно оси y и установки и . ${\displaystyle x=\cos \theta }$ ${\displaystyle y=\sin \theta }$ ${\displaystyle x=c\cos \theta }$ ${\displaystyle y=c\sin \theta }$ ${\displaystyle a=x}$ ${\displaystyle b=y}$

В качестве альтернативы можно использовать тождества, найденные в тригонометрической симметрии, сдвигах и периодичности . По тождествам периодичности мы можем сказать, что если формула верна для −π < θ ≤ π , то она верна для всех действительных θ . Далее мы докажем тождество в диапазоне π/2 < θ ≤ π, для этого положим t = θ − π/2, теперь t будет в диапазоне 0 < t ≤ π/2. Затем мы можем использовать квадратичные версии некоторых основных тождеств сдвига (возведение в квадрат удобно удаляет знаки минус):

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\left(t+{\tfrac {1}{2}}\pi \right)+\cos ^{2}\left(t+{\tfrac {1}{2}}\pi \right)=\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1.}$

Осталось только доказать это для −π < θ < 0; это можно сделать, возведя в квадрат тождества симметрии и получив

${\displaystyle \sin ^{2}\theta =\sin ^{2}(-\theta ){\text{ and }}\cos ^{2}\theta =\cos ^{2}(-\theta ).}$

Связанные идентичности

Подобные прямоугольные треугольники, иллюстрирующие тригонометрические функции тангенса и секанса

Тригонометрические функции и их обратные величины на единичной окружности. Теорема Пифагора , примененная к синему треугольнику, показывает тождество 1 + cot ²  θ = csc ²  θ , а примененная к красному треугольнику, показывает, что 1 + tan ²  θ = sec ²  θ .

Идентичности

${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$

и

${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }$

также называются тригонометрическими тождествами Пифагора. ^[1] Если один катет прямоугольного треугольника имеет длину 1, то тангенс угла, прилежащего к этому катету, равен длине другого катета, а секанс угла равен длине гипотенузы.

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {b}{a}},}$

и:

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {c}{a}}.}$

Таким образом, это тригонометрическое тождество, включающее тангенс и секанс, следует из теоремы Пифагора. Угол, противолежащий катету длиной 1 (этот угол можно обозначить как φ = π/2 − θ), имеет котангенс, равный длине другого катета, и косеканс, равный длине гипотенузы. Таким образом, это тригонометрическое тождество, включающее котангенс и косеканс, также следует из теоремы Пифагора.

В следующей таблице приведены тождества с множителем или делителем, который связывает их с основным тождеством.

Доказательство с использованием единичной окружности

Точка P (x,y) на окружности единичного радиуса под тупым углом θ > π/2

Функция синуса на единичной окружности (вверху) и ее график (внизу)

Единичная окружность с центром в начале координат на евклидовой плоскости определяется уравнением: ^[2]

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$

При заданном угле θ существует единственная точка P на единичной окружности, расположенная под углом θ против часовой стрелки к оси x , а координаты x и y точки P равны: ^[3]

${\displaystyle x=\cos \theta \ {\text{ and }}\ y=\sin \theta .}$

Следовательно, из уравнения единичной окружности:

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1,}$

пифагорейская идентичность.

На рисунке точка P имеет отрицательную x-координату и соответственно задается как x = cos  θ , что является отрицательным числом: cos  θ = −cos(π− θ ). Точка P имеет положительную y -координату, и sin  θ = sin(π− θ ) > 0. По мере того, как θ увеличивается от нуля до полного круга θ = 2π, синус и косинус меняют знаки в различных квадрантах, чтобы сохранить x и y с правильными знаками. На рисунке показано, как знак функции синуса меняется при изменении квадранта угла.

Поскольку оси x и y перпендикулярны, это тождество Пифагора эквивалентно теореме Пифагора для треугольников с гипотенузой длины 1 (которая, в свою очередь, эквивалентна полной теореме Пифагора, если применить аргумент подобия треугольников). Краткое объяснение см. в разделе Единичная окружность .

Доказательство с использованием степенного ряда

Тригонометрические функции также могут быть определены с помощью степенных рядов , а именно (для x — угла, измеряемого в радианах ): ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\\\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

Используя формулу умножения степенных рядов в разделе Умножение и деление степенных рядов (соответствующим образом модифицированную для учета формы ряда здесь), получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1)}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n},\\\cos ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(n-i))!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

В выражении для sin ² n должно быть не меньше 1, тогда как в выражении для cos ² постоянный член равен 1. Оставшиеся члены их суммы равны (с удаленными общими множителями)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}=\sum _{j=0}^{2n}(-1)^{j}{2n \choose j}=(1-1)^{2n}=0}$

по биномиальной теореме . Следовательно,

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,}$

что является тригонометрическим тождеством Пифагора.

Когда тригонометрические функции определяются таким образом, тождество в сочетании с теоремой Пифагора показывает, что эти степенные ряды параметризуют единичную окружность, которую мы использовали в предыдущем разделе. Это определение строит функции синуса и косинуса строгим образом и доказывает, что они дифференцируемы , так что фактически оно включает в себя предыдущие две.

Доказательство с использованием дифференциального уравнения

Синус и косинус можно определить как два решения дифференциального уравнения : ^[6]

${\displaystyle y''+y=0}$

удовлетворяющие соответственно y (0) = 0, y ′(0) = 1 и y (0) = 1, y ′(0) = 0 . Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений следует , что первое решение, синус, имеет второе, косинус, в качестве своей производной , и из этого следует, что производная косинуса является отрицательным значением синуса. Тождество эквивалентно утверждению, что функция

${\displaystyle z=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}$

постоянна и равна 1. Дифференцирование с использованием цепного правила дает:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}z=2\sin x\cos x+2\cos x(-\sin x)=0,}$

поэтому z является константой. Расчет подтверждает, что z (0) = 1, и z является константой, поэтому z = 1 для всех x , так что тождество Пифагора установлено.

Аналогичное доказательство можно выполнить, используя степенные ряды, как указано выше, чтобы установить, что синус имеет своей производной косинус, а косинус имеет своей производной отрицательный синус. Фактически, определения с помощью обыкновенного дифференциального уравнения и степенных рядов приводят к аналогичным выводам большинства тождеств.

Это доказательство тождества не имеет прямой связи с доказательством Евклидом теоремы Пифагора.

Доказательство с использованием формулы Эйлера

Используя формулу Эйлера и разложение на множители как комплексную разность двух квадратов , ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=e^{i\theta }e^{-i\theta }\\[3mu]&=(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )\\[3mu]&=\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta .\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Теорема Пифагора
• Список тригонометрических тождеств
• Единичная окружность
• Ряд мощности
• Дифференциальное уравнение

Примечания

1. Лоуренс С. Лефф (2005). PreCalculus the Easy Way (7-е изд.). Образовательная серия Barron's. стр. 296. ISBN 0-7641-2892-2.
2. Этот результат можно найти, используя формулу расстояния для расстояния от начала координат до точки . См. Cynthia Y. Young (2009). Algebra and Trigonometry (2nd ed.). Wiley. стр. 210. ISBN ${\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (x,\ y)}$ 978-0-470-22273-7.Этот подход предполагает теорему Пифагора. В качестве альтернативы можно просто подставить значения и определить, что график представляет собой окружность.
3. Томас В. Хангерфорд , Дуглас Дж. Шоу (2008). "§6.2 Функции синуса, косинуса и тангенса". Contemporary Precalculus: A Graphing Approach (5-е изд.). Cengage Learning. стр. 442. ISBN 978-0-495-10833-7.
4. Джеймс Дуглас Гамильтон (1994). "Ряды мощности". Анализ временных рядов . Princeton University Press. стр. 714. ISBN 0-691-04289-6.
5. Стивен Джордж Кранц (2005). «Определение 10.3». Реальный анализ и основы (2-е изд.). CRC Press. С. 269–270. ISBN 1-58488-483-5.
6. Tyn Myint U., Lokenath Debnath (2007). "Пример 8.12.1". Линейные уравнения в частных производных для ученых и инженеров (4-е изд.). Springer. стр. 316. ISBN 978-0-8176-4393-5.