Анри Леон Лебег ForMemRS [1] ( французский: [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ] ; 28 июня 1875 — 26 июля 1941) был французским математиком, известным своей теорией интеграции , которая была обобщением концепции интеграции 17-го века — суммирование площади между осью и кривой функции, определенной для этой оси. Его теория была первоначально опубликована в его диссертации Intégrale, longueur, aire («Интеграл, длина, площадь») в Университете Нанси в 1902 году. [3] [4]
Анри Лебег родился 28 июня 1875 года в Бове , Уаза . Отец Лебега был наборщиком , а мать — школьной учительницей . Его родители собрали дома библиотеку, которой смог пользоваться юный Анри. Его отец умер от туберкулеза , когда Лебег был еще очень молод, и его матери пришлось содержать его одна. Поскольку он продемонстрировал замечательный талант к математике в начальной школе, один из его преподавателей организовал общественную поддержку для продолжения его образования в Коллеж де Бове , а затем в лицее Сен-Луи и лицее Луи-ле-Гран в Париже . [5]
В 1894 году Лебег был принят в Высшую нормальную школу , где он продолжал сосредоточивать свою энергию на изучении математики, которую окончил в 1897 году. После окончания школы он оставался в Высшей нормальной школе в течение двух лет, работая в библиотеке, где стал известно об исследовании разрывов , проведенном в то время Рене-Луи Бэром , недавним выпускником школы. В то же время он начал учебу в аспирантуре Сорбонны , где узнал о работе Эмиля Бореля над зарождающейся теорией меры и о работе Камиллы Жордана над мерой Жордана . В 1899 году он перешёл на преподавательскую должность в Центральном лицее в Нанси , продолжая работу над докторской диссертацией. В 1902 году он получил докторскую степень в Сорбонне, защитив основополагающую диссертацию на тему «Интеграл, длина, площадь», представленную Борелем, на четыре года старше, в качестве консультанта. [6]
Лебег женился на сестре одного из своих сокурсников, и у них с женой было двое детей, Сюзанна и Жак.
После публикации диссертации Лебегу в 1902 году предложили должность в Реннском университете , где он читал лекции до 1906 года, когда он перешёл на факультет естественных наук Университета Пуатье . В 1910 году Лебег переехал в Сорбонну в качестве метрдотеля конференций , а с 1919 года получил звание профессора. В 1921 году он покинул Сорбонну, чтобы стать профессором математики в Коллеж де Франс , где он читал лекции и проводил исследования до конца своей жизни. . [7] В 1922 году он был избран членом Академии наук . Анри Лебег умер 26 июля 1941 года в Париже . [6]
Первая статья Лебега была опубликована в 1898 году и называлась «О приближении функций». Речь шла о теореме Вейерштрасса о приближении непрерывных функций многочленами. В период с марта 1899 года по апрель 1901 года Лебег опубликовал шесть заметок в «Comtes Rendus» . Первый из них, не связанный с развитием интегрирования Лебега, касался распространения теоремы Бэра на функции двух переменных. Следующие пять были посвящены поверхностям, применимым к плоскости, площади косых многоугольников , поверхностным интегралам минимальной площади с заданной границей, а последнее примечание давало определение интегрирования Лебега для некоторой функции f(x). Великая диссертация Лебега « Intégrale, longueur, aire » с полным описанием этой работы появилась в «Annali di Matematica» в 1902 году. В первой главе развивается теория меры (см. Борелевская мера ). Во второй главе он определяет интеграл как геометрически, так и аналитически. Следующие главы расширяют примечания Comptes Rendus , касающиеся длины, площади и применимых поверхностей. Последняя глава посвящена главным образом проблеме Плато . Эта диссертация считается одной из лучших, когда-либо написанных математиком. [1]
Его лекции с 1902 по 1903 годы были собраны в « Борелевский трактат» Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions originals . Проблема интегрирования, рассматриваемая как поиск примитивной функции, является лейтмотивом книги. Лебег представляет проблему интеграции в ее историческом контексте, обращаясь к Огюстену-Луи Коши , Питеру Густаву Лежену Дирихле и Бернару Риману . Лебег представляет шесть условий, которым желательно, чтобы интеграл удовлетворял, последнее из которых гласит: «Если последовательность f n (x) возрастает до предела f (x), интеграл от f n (x) стремится к интегралу от е(х)". Лебег показывает, что его условия ведут к теории меры и измеримых функций , а также к аналитическому и геометрическому определениям интеграла.
Затем он обратился к тригонометрическим функциям в своей статье 1903 года «Sur les séries trigonométriques». В этой работе он представил три основные теоремы: что тригонометрический ряд, представляющий ограниченную функцию, является рядом Фурье, что n-й коэффициент Фурье стремится к нулю (лемма Римана – Лебега ) и что ряд Фурье интегрируем почленно. В 1904–1905 годах Лебег снова читал лекции в Коллеж де Франс , на этот раз по тригонометрическим рядам, и опубликовал свои лекции в другом из «Борелевских трактатов». В этом трактате он еще раз рассматривает эту тему в ее историческом контексте. Он излагает ряды Фурье, теорию Кантора-Римана, интеграл Пуассона и задачу Дирихле .
В статье 1910 года «Приближенное тригонометрическое представление функций, удовлетворяющих одному условию Липшица» рассматривается ряд Фурье функций, удовлетворяющих условию Липшица , с оценкой порядка величины остаточного члена. Он также доказывает, что лемма Римана-Лебега является наилучшим результатом для непрерывных функций, и дает некоторую трактовку констант Лебега .
Лебег однажды написал: «Réduites à des theories générales, les mathématiques seraient une belle formme sans contenu». («Математика, сведенная к общим теориям, была бы красивой формой без содержания».)
В теоретико-мерном анализе и смежных разделах математики интеграл Лебега-Стилтьеса обобщает интегрирование Римана-Стилтьеса и Лебега, сохраняя многие преимущества последнего в более общей структуре теории меры.
В течение своей карьеры Лебег также совершал набеги на области комплексного анализа и топологии . У него также были разногласия с Эмилем Борелем по поводу того, чей интеграл является более общим. [8] [9] [10] [11] Однако эти незначительные набеги бледнеют по сравнению с его вкладом в реальный анализ ; его вклад в эту область оказал огромное влияние на ее сегодняшнюю форму, а его методы стали важной частью современного анализа. Они имеют важные практические последствия для фундаментальной физики, о которых Лебег совершенно не подозревал, как отмечено ниже.
Интегрирование — это математическая операция , соответствующая неформальной идее нахождения площади под графиком функции . Первая теория интегрирования была разработана Архимедом в III веке до нашей эры с помощью его метода квадратур , но ее можно было применять только в ограниченных обстоятельствах с высокой степенью геометрической симметрии. В 17 веке Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц открыли идею о том, что интегрирование неразрывно связано с дифференцированием , причем последнее является способом измерения того, насколько быстро функция изменяется в любой заданной точке графика. Эта удивительная связь между двумя основными геометрическими операциями в исчислении, дифференцированием и интегрированием, теперь известна как Фундаментальная теорема исчисления . Это позволило математикам впервые вычислить широкий класс интегралов. Однако, в отличие от метода Архимеда, основанного на евклидовой геометрии , математики считали, что интегральное исчисление Ньютона и Лейбница не имеет строгой основы.
В 19 веке Огюстен Коши разработал эпсилон-дельта- пределы , а Бернхард Риман продолжил это, формализовав то, что сейчас называется интегралом Римана . Для определения этого интеграла заполняют область под графиком все меньшими и меньшими прямоугольниками и берут предел сумм площадей прямоугольников на каждом этапе. Однако для некоторых функций общая площадь этих прямоугольников не приближается к единому числу. Таким образом, у них нет интеграла Римана.
Лебег изобрел новый метод интегрирования, чтобы решить эту проблему. Вместо использования площадей прямоугольников, которые фокусируют внимание на области определения функции, Лебег рассматривал кодомене функции в качестве своей фундаментальной единицы площади. Идея Лебега заключалась в том, чтобы сначала определить меру как для множеств, так и для функций на этих множествах. Затем он приступил к построению интеграла для того, что он называл простыми функциями ; измеримые функции, принимающие лишь конечное число значений. Затем он определил ее для более сложных функций как наименьшую верхнюю границу всех интегралов от простых функций, меньших, чем рассматриваемая функция.
Интегрирование Лебега обладает тем свойством, что каждая функция, определенная на ограниченном интервале с интегралом Римана, также имеет интеграл Лебега, и для этих функций два интеграла согласуются. Более того, каждая ограниченная функция на замкнутом ограниченном интервале имеет интеграл Лебега, и существует множество функций с интегралом Лебега, которые не имеют интеграла Римана.
В рамках развития лебега интегрирования Лебег изобрел понятие меры , которое распространяет идею длины от интервалов на очень большой класс множеств, называемых измеримыми множествами (так, точнее, простые функции — это функции, принимающие конечное число значений, и каждое значение берется на измеримом множестве). Техника Лебега по превращению меры в интеграл легко обобщается на многие другие ситуации, что приводит к современной области теории меры .
Интеграл Лебега несовершенен в одном отношении. Интеграл Римана обобщается на несобственный интеграл Римана для измерения функций, область определения которых не является замкнутым интервалом . Интеграл Лебега объединяет многие из этих функций (всегда воспроизводя один и тот же ответ), но не все из них. Для функций на действительной прямой интеграл Хенстока представляет собой еще более общее понятие интеграла (основанное на теории Римана, а не на теории Лебега), которое включает в себя как интегрирование Лебега, так и несобственное интегрирование Римана. Однако интеграл Хенстока зависит от конкретных особенностей упорядочения вещественной прямой и поэтому не обобщается, позволяя интегрировать в более общие пространства (скажем, многообразия ), в то время как интеграл Лебега вполне естественно распространяется на такие пространства.
Утверждение Бореля о том, что его интеграл более общий по сравнению с интегралом Лебега, стало причиной спора между Борелем и Лебегом на страницах Annales de l'École Supérieure 35 (1918), 36 (1919), 37 (1920).
СМИ, связанные с Анри-Леоном Лебегом, на Викискладе?