Функциональный анализ

Область математики

Один из возможных режимов вибрации идеализированной круглой барабанной головки . Эти режимы являются собственными функциями линейного оператора в функциональном пространстве, обычной конструкции в функциональном анализе.

Функциональный анализ — раздел математического анализа , ядро ​​которого составляет исследование векторных пространств , наделенных некоторой предельной структурой (например, скалярным произведением , нормой или топологией ) и линейными функциями , определенными на этих пространствах. и надлежащим образом уважая эти структуры. Исторические корни функционального анализа лежат в изучении пространств функций и формулировке свойств преобразований функций, таких как преобразование Фурье, как преобразований, определяющих, например, непрерывные или унитарные операторы между функциональными пространствами. Эта точка зрения оказалась особенно полезной при изучении дифференциальных и интегральных уравнений .

Использование слова функциональный в качестве существительного восходит к вариационному исчислению , подразумевая функцию , аргументом которой является функция . Этот термин был впервые использован в книге Адамара 1910 года по этому вопросу. Однако общее понятие функционала ранее было введено в 1887 году итальянским математиком и физиком Вито Вольтеррой . ^{[1] [2]} Теория нелинейных функционалов была продолжена учениками Адамара, в частности Фреше и Леви . Адамар также основал современную школу линейного функционального анализа, развитую в дальнейшем Риссом и группой польских математиков вокруг Стефана Банаха .

В современных вводных текстах по функциональному анализу этот предмет рассматривается как исследование векторных пространств, наделенных топологией, в частности бесконечномерных пространств . ^{[3] [4]} Напротив, линейная алгебра имеет дело в основном с конечномерными пространствами и не использует топологию. Важной частью функционального анализа является распространение теорий меры , интегрирования и вероятности на бесконечномерные пространства, также известное как бесконечномерный анализ .

Нормированные векторные пространства

Основной и исторически первый класс пространств, изучаемых в функциональном анализе, — полные нормированные векторные пространства над действительными или комплексными числами . Такие пространства называются банаховыми . Важным примером является гильбертово пространство , где норма возникает из скалярного произведения. Эти пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовой механики , машинное обучение , уравнения в частных производных и анализ Фурье .

В более общем смысле функциональный анализ включает изучение пространств Фреше и других топологических векторных пространств, не наделенных нормой.

Важным объектом изучения функционального анализа являются непрерывные линейные операторы , определенные в банаховом и гильбертовом пространствах. Это естественным образом приводит к определению С*-алгебр и других операторных алгебр .

гильбертовы пространства

Гильбертово пространство можно полностью классифицировать: существует единственное с точностью до изоморфизма гильбертово пространство для каждой мощности ортонормированного базиса . ^[5] Конечномерные гильбертовы пространства полностью понятны в линейной алгебре , а бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны . Поскольку разделимость важна для приложений, функциональный анализ гильбертовых пространств, следовательно, в основном касается этого пространства. Одной из открытых проблем функционального анализа является доказательство того, что каждый ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве имеет собственное инвариантное подпространство . Многие частные случаи этой проблемы инвариантного подпространства уже доказаны. ${\displaystyle \ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,}$

Банаховы пространства

Общие банаховые пространства сложнее гильбертовых пространств и не могут быть классифицированы так просто, как они. В частности, во многих банаховых пространствах отсутствует понятие, аналогичное ортонормированному базису .

Примерами банаховых пространств являются -пространства для любого действительного числа . Учитывая также меру на множестве , то , иногда также обозначаемый или , имеет в качестве векторов классы эквивалентности измеримых функций , абсолютное значение которых в -й степени имеет конечный целое; то есть функции, для которых есть ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{p}(X)}$ ${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle [\,f\,]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty .}$$

Если – считающая мера , то интеграл можно заменить суммой. То есть, мы требуем ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<\infty .}$$

Тогда не приходится иметь дело с классами эквивалентности, и пространство обозначается , пишется проще в случае, когда – множество целых неотрицательных чисел . ${\displaystyle \ell ^{p}(X)}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle X}$

В банаховых пространствах большая часть исследования включает двойственное пространство : пространство всех непрерывных линейных отображений пространства в лежащее в его основе поле, так называемых функционалов. Банахово пространство можно канонически отождествить с подпространством его бидуального пространства, которое является двойственным его дуальному пространству. Соответствующее отображение является изометрией , но, вообще говоря, не является изометрией. Общее банахово пространство и его бидуальное пространство даже не обязательно должны быть изометрически изоморфными, в отличие от конечномерной ситуации. Это объясняется в статье о двойном пространстве.

Кроме того, понятие производной можно распространить на произвольные функции между банаховыми пространствами. См., например, производную статью Фреше.

Линейный функциональный анализ

^[6]

Основные и основополагающие результаты

Есть четыре основные теоремы, которые иногда называют четырьмя столпами функционального анализа:

• теорема Хана – Банаха
• теорема об открытом отображении
• теорема о замкнутом графике
• принцип равномерной ограниченности , также известный как теорема Банаха–Штайнхауза .

К важным результатам функционального анализа относятся:

Принцип равномерной ограниченности

Принцип равномерной ограниченности , или теорема Банаха–Штайнхауза, является одним из фундаментальных результатов функционального анализа. Вместе с теоремой Хана-Банаха и теоремой об открытом отображении она считается одним из краеугольных камней в этой области. В своей базовой форме он утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов (и, следовательно, ограниченных операторов), областью определения которых является банахово пространство , поточечная ограниченность эквивалентна равномерной ограниченности в операторной норме.

Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Хьюго Штейнхаусом , но она также была независимо доказана Гансом Ханом .

Теорема (принцип равномерной ограниченности)  .  Пусть — банахово пространство , а — нормированное векторное пространство . Предположим, что это набор непрерывных линейных операторов от до . Если для всех в одном есть ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$$

затем

$${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}$$

Спектральная теорема

Существует множество теорем, известных как спектральная теорема , но одна, в частности, имеет множество приложений в функциональном анализе.

Спектральная теорема ^[7]  —  Пусть — ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве . Тогда существуют пространство меры , вещественнозначная существенно ограниченная измеримая функция на и унитарный оператор такие, что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U:H\to L_{\mu }^{2}(X)}$

$${\displaystyle U^{*}TU=A}$$

где T — оператор умножения :

$${\displaystyle [T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).}$$

и . ${\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }}$

Это начало обширной области исследований функционального анализа, называемой теорией операторов ; см. также спектральную меру .

Существует также аналогичная спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница в выводе состоит в том, что теперь он может быть комплексным. ${\displaystyle f}$

Теорема Хана – Банаха

Теорема Хана–Банаха — центральный инструмент функционального анализа. Он позволяет расширить ограниченные линейные функционалы , определенные в подпространстве некоторого векторного пространства, на все пространство, а также показывает, что существует «достаточно» непрерывных линейных функционалов, определенных в каждом нормированном векторном пространстве , чтобы сделать изучение двойственного пространства «интересным». ".

Теорема Хана – Банаха: ^[8]  —  If — сублинейная функция и линейный функционал на линейном подпространстве , в котором доминирует on ; то есть, ${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}$$

тогда существует линейное расширение на все пространство , в котором доминирует on ; то есть существует линейный функционал такой, что ${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\varphi (x)&\forall x\in U,\\\psi (x)&\leq p(x)&\forall x\in V.\end{aligned}}}$$

Теорема об открытом отображении

Теорема об открытом отображении , также известная как теорема Банаха–Шаудера (названная в честь Стефана Банаха и Юлиуша Шаудера ), является фундаментальным результатом, который утверждает, что если непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами сюръективен , то он является открытым отображением . Точнее, ^[8]

Теорема об открытом отображении  .  Если и являются банаховыми пространствами и является сюръективным непрерывным линейным оператором, то это открытое отображение (то есть, если является открытым множеством в , то открыто в ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A(U)}$ ${\displaystyle Y}$

В доказательстве используется теорема Бэра о категориях , а полнота обеих является существенной для теоремы. Утверждение теоремы больше не верно, если любое пространство просто предполагается нормированным , но верно, если и считаются пространствами Фреше . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Теорема о замкнутом графике

Теорема о замкнутом графике утверждает следующее: если — топологическое пространство и — компактное хаусдорфово пространство , то график линейного отображения из в замкнут тогда и только тогда, когда непрерывен . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Другие темы

Основы математических соображений

Большинство пространств, рассматриваемых в функциональном анализе, имеют бесконечную размерность. Чтобы показать существование базиса векторного пространства для таких пространств, может потребоваться лемма Цорна . Однако в функциональном анализе обычно более актуальна несколько другая концепция — базис Шаудера . Многие теоремы требуют теоремы Хана-Банаха , обычно доказываемой с использованием выбранной аксиомы , хотя достаточно и строго более слабой булевой теоремы о простых идеалах . Теорема Бэра о категории , необходимая для доказательства многих важных теорем, также требует определенной формы аксиомы выбора.

Точки зрения

Функциональный анализ в его современном виде ^[update]включает в себя следующие тенденции:

• Абстрактный анализ . Подход к анализу, основанный на топологических группах , топологических кольцах и топологических векторных пространствах .
• Геометрия банаховых пространств содержит множество тем. Один из них — комбинаторный подход, связанный с Жаном Бургеном ; другой — это характеристика банаховых пространств, в которых выполняются различные формы закона больших чисел .
• Некоммутативная геометрия . Разработан Аленом Конном , частично основываясь на более ранних понятиях, таких какподход Джорджа Макки к эргодической теории .
• Связь с квантовой механикой . Либо определяется узко, как в математической физике , либо широко интерпретируется, например, Израилем Гельфандом , включая большинство типов теории представлений .

Смотрите также

• Список тем функционального анализа
• Спектральная теория

Рекомендации

1. Ловер, Ф. Уильям. «Функционалы Вольтерра и ковариантная связность пространства» (PDF) . acsu.buffalo.edu . Материалы майской встречи 1997 г. в Перудже. Архивировано (PDF) из оригинала 7 апреля 2003 г.
2. Сарайва, Луис (октябрь 2004 г.). История математических наук. МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. п. 195. дои : 10.1142/5685. ISBN 978-93-86279-16-3.
3. Бауэрс, Адам; Калтон, Найджел Дж. (2014). Вводный курс функционального анализа . Springer Science & Business Media . п. 1.
4. Кадец, Владимир (2018). Курс функционального анализа и теории меры [ КУРС ФУНКОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ]. Спрингер . стр. xvi.
5. Рисс, Фридьес (1990). Функциональный анализ. Бела Секефальви-Надь, Лео Ф. Борон (изд. Дувра). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 195–199. ISBN 0-486-66289-6. ОСЛК  21228994.
6. Ринн, Брайан; Янгсон, Мартин А. Линейный функциональный анализ . Проверено 30 декабря 2023 г.
7. Холл, Брайан С. (19 июня 2013 г.). Квантовая теория для математиков. Springer Science & Business Media . п. 147. ИСБН 978-1-4614-7116-5.
8. Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054236-5.
9. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология. Прентис Холл, Инкорпорейтед. п. 171. ИСБН 978-0-13-181629-9.

дальнейшее чтение

• Алипрантис, CD, Border, KC: Бесконечный размерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом , 3-е изд., Springer 2007, ISBN 978-3-540-32696-0 . Онлайн дои : 10.1007/3-540-29587-9 (по подписке) 
• Бахман Г., Наричи Л.: Функциональный анализ , Academic Press, 1966. (перепечатка Dover Publications)
• Банах С. Теория линейных операций. Том 38, Математическая библиотека Северной Голландии, 1987, ISBN 0-444-70184-2 
• Брезис, Х .: Анализ Fonctionnelle , Dunod ISBN 978-2-10-004314-9 или ISBN 978-2-10-049336-4  
• Конвей, Дж. Б .: Курс функционального анализа , 2-е издание, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5 
• Данфорд Н. и Шварц Дж. Т .: Линейные операторы, Общая теория, John Wiley & Sons и другие 3 тома, включая диаграммы визуализации.
• Эдвардс, Р.Э.: Функциональный анализ, теория и приложения , Холд, Райнхарт и Уинстон, 1965.
• Эйдельман, Юлий, Виталий Мильман и Антонис Цсоломитис: Функциональный анализ: Введение , Американское математическое общество, 2004.
• Фридман А .: Основы современного анализа , Dover Publications, издание в мягкой обложке, 21 июля 2010 г.
• Джайлз, младший: Введение в анализ нормированных линейных пространств , издательство Кембриджского университета, 2000 г.
• Хирш Ф., Лакомб Г. - «Элементы функционального анализа», Springer 1999.
• Хатсон В., Пим Дж. С., Клауд М. Дж.: Приложения функционального анализа и теории операторов , 2-е издание, Elsevier Science, 2005 г., ISBN 0-444-51790-1 
• Канторовиц, С., Введение в современный анализ , Oxford University Press, 2003, 2-е изд. 2006 г.
• Колмогоров А.Н. и Фомин С.В .: Элементы теории функций и функционального анализа , Dover Publications, 1999.
• Крейциг, Э .: Вводный функциональный анализ с приложениями , Wiley, 1989.
• Лакс, П .: Функциональный анализ , Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1. 
• Лебедев Л.П., Ворович И.И. Функциональный анализ в механике , Springer-Verlag, 2002.
• Мишель, Энтони Н. и Чарльз Дж. Херге: Прикладная алгебра и функциональный анализ , Дувр, 1993.
• Питч, Альбрехт: История банаховых пространств и линейных операторов , Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6 
• Рид М. , Саймон Б .: «Функциональный анализ», Academic Press, 1980.
• Рисс Ф. и Сз-Надь Б.: Функциональный анализ , Dover Publications, 1990 г.
• Рудин, В .: Функциональный анализ , McGraw-Hill Science, 1991.
• Сакс, Карен: Начало функционального анализа , Springer, 2001 г.
• Шехтер, М.: Принципы функционального анализа , AMS, 2-е издание, 2001 г.
• Шилов, Георгий Э.: Элементарный функциональный анализ , Дувр, 1996.
• Соболев С.Л .: Приложения функционального анализа в математической физике , АМН, 1963.
• Фогт Д., Мейзе Р.: Введение в функциональный анализ , Oxford University Press, 1997.
• Йосида, К .: Функциональный анализ , Springer-Verlag, 6-е издание, 1980 г.

Внешние ссылки

• «Функциональный анализ», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Темы реального и функционального анализа, Джеральд Тешль , Венский университет.
• Конспект лекций по функциональному анализу Евгения Виленского, Нью-Йоркский университет.
• Видеолекции Грега Морроу по функциональному анализу. Архивировано 1 апреля 2017 г. в Wayback Machine из Университета Колорадо, Колорадо-Спрингс.