Приближение — это все, что намеренно похоже, но не совсем равно чему -то другому.
Слово аппроксимация происходит от латинского Approxitus , от proximus , означающего очень близко , и префикса ad- ( ad- до того, как p становится ap- в результате ассимиляции ), означающего до . [1] Такие слова, как приблизительный , приблизительно и приближение , используются особенно в техническом или научном контексте. В повседневном английском языке такие слова, как «грубо » или «вокруг» , имеют схожее значение. [2] Его часто называют сокращенно: ок.
Этот термин может применяться к различным свойствам (например, стоимости, количеству, изображению, описанию), которые почти, но не совсем верны; похоже, но не совсем то же самое (например, приблизительное время было 10 часов).
Хотя приближение чаще всего применяется к числам , оно также часто применяется к таким вещам, как математические функции , формы и физические законы .
В науке аппроксимация может относиться к использованию более простого процесса или модели, когда правильную модель трудно использовать. Для упрощения расчетов используется приближенная модель. Приближения также могут использоваться, если неполная информация не позволяет использовать точные представления.
Тип используемой аппроксимации зависит от доступной информации , требуемой степени точности , чувствительности проблемы к этим данным и экономии (обычно времени и усилий), которую можно достичь путем аппроксимации.
Теория приближений — раздел математики, количественная часть функционального анализа . Диофантова аппроксимация имеет дело с приближением действительных чисел рациональными числами .
Аппроксимация обычно происходит, когда точная форма или точное числовое число неизвестно или трудно получить. Однако может существовать некоторая известная форма, которая может представлять реальную форму, так что не может быть обнаружено никаких существенных отклонений. Например, 1,5 × 10 6 означает, что истинная стоимость измеряемого объекта равна 1 500 000 с точностью до ста тысяч (то есть фактическое значение находится где-то между 1 450 000 и 1 550 000); это контрастирует с обозначением 1,500 × 10 6 , которое означает, что истинное значение составляет 1 500 000 с точностью до тысячи (подразумевается, что истинное значение находится где-то между 1 499 500 и 1 500 500).
Численные аппроксимации иногда являются результатом использования небольшого количества значащих цифр . В расчетах могут возникнуть ошибки округления и другие ошибки аппроксимации . Таблицы журналов , логарифмические линейки и калькуляторы дают приблизительные ответы на все расчеты, кроме самых простых. Результаты компьютерных вычислений обычно представляют собой приближение, выраженное ограниченным числом значащих цифр, хотя их можно запрограммировать для получения более точных результатов. [3] Аппроксимация может иметь место, когда десятичное число не может быть выражено конечным числом двоичных цифр.
С аппроксимацией функций связано асимптотическое значение функции, то есть значение одного или нескольких параметров функции становится сколь угодно большим. Например, сумма ( k /2)+( k /4)+( k /8)+...( k /2^ n ) асимптотически равна k . В математике не используются последовательные обозначения, и в некоторых текстах символы ≈ используются для обозначения приблизительно равного, а ~ для обозначения асимптотически равного, тогда как в других текстах символы используются наоборот.
Знак приблизительного равенства ≈ был введен британским математиком Альфредом Гринхиллом . [4]
Символы, используемые в разметке LaTeX .
\approx), обычно для обозначения приближения между числами, например .
\not\approx), обычно для обозначения того, что числа приблизительно не равны (1 2).
\simeq), обычно для обозначения асимптотической эквивалентности между функциями, например . Таким образом, письменность в соответствии с этим определением была бы неправильной, несмотря на широкое использование.
\sim), обычно для обозначения пропорциональности между функциями, то же самое, что и в строке выше, будет .
\cong), обычно для обозначения соответствия между цифрами, например .
\eqsim), обычно для обозначения того, что две величины равны с точностью до констант.
\lessapprox) и ( ), обычно обозначающие, что либо неравенство выполнено, либо два значения примерно равны.
\gtrapproxСимволы, используемые для обозначения примерно равных элементов, представляют собой волнистые или пунктирные знаки равенства. [5]
Аппроксимация естественным образом возникает в научных экспериментах . Предсказания научной теории могут отличаться от реальных измерений. Это может быть связано с тем, что в реальной ситуации существуют факторы, которые не включены в теорию. Например, простые расчеты могут не учитывать влияние сопротивления воздуха. В этих обстоятельствах теория является приближением к реальности. Различия могут также возникнуть из-за ограничений в методике измерения. В этом случае измерение является приближением к фактическому значению.
История науки показывает, что более ранние теории и законы могут быть приближениями к более глубокому набору законов. Согласно принципу соответствия , новая научная теория должна воспроизводить результаты старых, устоявшихся теорий в тех областях, где старые теории работают. [7] Старая теория становится приближением к новой теории.
Некоторые проблемы физики слишком сложны, чтобы их можно было решить с помощью прямого анализа, или прогресс может быть ограничен доступными аналитическими инструментами. Таким образом, даже если точное представление известно, аппроксимация может дать достаточно точное решение, значительно снижая при этом сложность проблемы. Физики часто аппроксимируют форму Земли как сферу , хотя возможны более точные представления, поскольку многие физические характеристики (например, гравитацию ) гораздо легче вычислить для сферы, чем для других форм.
Аппроксимация также используется для анализа движения нескольких планет, вращающихся вокруг звезды. Это чрезвычайно сложно из-за сложного взаимодействия гравитационного воздействия планет друг на друга. [8] Приближенное решение достигается путем выполнения итераций . В первой итерации гравитационное взаимодействие планет игнорируется и звезда считается неподвижной. Если требуется более точное решение, затем выполняется еще одна итерация, используя положения и движения планет, определенные в первой итерации, но добавляя гравитационное взаимодействие первого порядка каждой планеты с другими. Этот процесс можно повторять до тех пор, пока не будет получено удовлетворительно точное решение.
Использование возмущений для исправления ошибок может дать более точные решения. Моделирование движения планет и звезды также дает более точные решения.
Наиболее распространенные версии философии науки признают, что эмпирические измерения всегда являются приближениями — они не отражают в полной мере то, что измеряется.
В Европейском Союзе (ЕС) «сближение» означает процесс, посредством которого законодательство ЕС реализуется и включается в национальные законы государств-членов , несмотря на различия в существующей правовой базе в каждой стране. Аппроксимация требуется как часть процесса подготовки к вступлению новых государств-членов [9] и как непрерывный процесс, когда этого требует Директива ЕС . Приближение — ключевое слово, обычно используемое в названии директивы, например, Директива о товарных знаках от 16 декабря 2015 г. служит «приближению законов государств-членов, касающихся товарных знаков». [10] Европейская комиссия описывает сближение законодательства как «уникальное обязательство членства в Европейском Союзе». [9]
≐ приближается к пределу
СМИ, связанные с аппроксимацией, на Викискладе?