В математике квазидиэдральные группы , также называемые полудиэдральными группами , являются некоторыми неабелевыми группами порядка степени 2. Для каждого положительного целого числа n, большего или равного 4, существует ровно четыре класса изоморфизма неабелевых групп порядка 2 n , которые имеют циклическую подгруппу индекса 2. Две из них хорошо известны: обобщенная группа кватернионов и диэдральная группа . Одна из оставшихся двух групп часто считается особенно важной, поскольку она является примером 2-группы максимального класса нильпотентности . В тексте Бертрама Хупперта Endliche Gruppen эта группа называется «Quasidiedergruppe». В тексте Даниэля Горенштейна Finite Groups эта группа называется «полудиэдральной группой». Даммит и Фут называют ее «квазидиэдральной группой»; мы принимаем это название в этой статье. Все дают одну и ту же презентацию для этой группы:
Другая неабелева 2-группа с циклической подгруппой индекса 2 не имеет специального названия ни в одном из текстов, а обозначается просто как G или M m (2). Когда эта группа имеет порядок 16, Даммит и Фут называют эту группу «модулярной группой порядка 16», поскольку ее решетка подгрупп является модулярной . В этой статье эта группа будет называться модулярной максимальной циклической группой порядка . Ее представление таково:
Обе эти группы и группа диэдра являются полупрямыми произведениями циклической группы < r > порядка 2 n −1 с циклической группой < s > порядка 2. Такое неабелево полупрямое произведение однозначно определяется элементом порядка 2 в группе единиц кольца , и существует ровно три таких элемента, , и , соответствующие группе диэдра, квазидиэдральной и модулярной максимально-циклической группе.
Обобщенная группа кватернионов, диэдральная группа и квазидиэдральная группа порядка 2 n имеют класс нильпотентности n − 1 и являются единственными классами изоморфизма групп порядка 2 n с классом нильпотентности n − 1. Группы порядка p n и класса нильпотентности n − 1 были началом классификации всех p -групп через кокласс . Модулярная максимально-циклическая группа порядка 2 n всегда имеет класс нильпотентности 2. Это делает модулярную максимально-циклическую группу менее интересной, поскольку большинство групп порядка p n для больших n имеют класс нильпотентности 2 и оказались сложными для непосредственного понимания.
Обобщенный кватернион, диэдральная и квазидиэдральная группы являются единственными 2-группами, производная подгруппа которых имеет индекс 4. Теорема Альперина–Брауэра–Горенштейна классифицирует простые группы и, в некоторой степени , конечные группы с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами.
Силовские 2-подгруппы следующих групп являются квазидиэдральными:
