Индекс подгруппы

Концепция теории математических групп

В математике , в частности в теории групп , индекс подгруппы H в группе G — это число левых смежных классов H в G или , что эквивалентно , число правых смежных классов H в G. Индекс обозначается или или . Поскольку G — это несвязное объединение левых смежных классов и поскольку каждый левый смежный класс имеет тот же размер , что и H , индекс связан с порядками двух групп формулой ${\displaystyle |G:H|}$ ${\displaystyle [G:H]}$ ${\displaystyle (G:H)}$

${\displaystyle |G|=|G:H||H|}$

(интерпретируйте величины как кардинальные числа, если некоторые из них бесконечны). Таким образом, индекс измеряет «относительные размеры» G и H. ${\displaystyle |G:H|}$

Например, пусть будет группой целых чисел при сложении , и пусть будет подгруппой, состоящей из четных целых чисел . Тогда имеет два смежных класса в , а именно множество четных целых чисел и множество нечетных целых чисел, поэтому индекс равен 2. В более общем случае, для любого положительного целого числа n . ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H=2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |}$ ${\displaystyle |\mathbb {Z} :n\mathbb {Z} |=n}$

Когда G конечен , формулу можно записать как , и она влечет теорему Лагранжа о том, что делит . ${\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}$ ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle |G|}$

Когда G бесконечно, — это ненулевое кардинальное число , которое может быть как конечным, так и бесконечным. Например, , но бесконечно. ${\displaystyle |G:H|}$ ${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |=2}$ ${\displaystyle |\mathbb {R} :\mathbb {Z} |}$

Если N — нормальная подгруппа группы G , то она равна порядку фактор-группы , поскольку базовый набор является набором смежных классов N в G. ${\displaystyle |G:N|}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G/N}$

Характеристики

• Если H является подгруппой G , а K является подгруппой H , то

${\displaystyle |G:K|=|G:H|\,|H:K|.}$

• Если H и K являются подгруппами G , то

${\displaystyle |G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,}$

с равенством, если . (Если конечно, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда .) ${\displaystyle HK=G}$ ${\displaystyle |G:H\cap K|}$ ${\displaystyle HK=G}$

• Эквивалентно, если H и K являются подгруппами G , то

${\displaystyle |H:H\cap K|\leq |G:K|,}$

с равенством, если . (Если конечно, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда .) ${\displaystyle HK=G}$ ${\displaystyle |H:H\cap K|}$ ${\displaystyle HK=G}$

• Если G и H — группы и — гомоморфизм , то индекс ядра в G равен порядку образа: ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle |G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.}$

• Пусть G — группа, действующая на множестве X , и пусть x ∈  X.  Тогда мощность орбиты x относительно G равна индексу стабилизатора x :

${\displaystyle |Gx|=|G:G_{x}|.\!}$

Это известно как теорема о стабилизаторе орбиты .

• Как частный случай теоремы о стабилизаторе орбиты , число сопряженных элементов элемента равно индексу централизатора x в G. ${\displaystyle gxg^{-1}}$ ${\displaystyle x\in G}$
• Аналогично , число сопряженных элементов подгруппы H в G равно индексу нормализатора H в G. ${\displaystyle gHg^{-1}}$
• Если H является подгруппой G , то индекс нормального ядра H удовлетворяет следующему неравенству:

${\displaystyle |G:\operatorname {Core} (H)|\leq |G:H|!}$

где ! обозначает факториальную функцию; это обсуждается ниже.

• Как следствие, если индекс H в G равен 2 или для конечной группы — наименьшему простому числу p , делящему порядок G, то H является нормальным, поскольку индекс его ядра также должен быть p, и, таким образом, H равен своему ядру, т. е. он является нормальным.
• Обратите внимание, что подгруппа с наименьшим простым индексом может не существовать, например, в любой простой группе не простого порядка или, в более общем случае, в любой совершенной группе .

Примеры

• Знакопеременная группа имеет индекс 2 в симметрической группе и, таким образом, является нормальной. ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle S_{n},}$
• Специальная ортогональная группа имеет индекс 2 в ортогональной группе и, таким образом, является нормальной. ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$
• Свободная абелева группа имеет три подгруппы индекса 2, а именно ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \{(x,y)\mid x{\text{ is even}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ is even}}\},\quad {\text{and}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ is even}}\}}$.

• В более общем случае, если p — простое число , то существуют подгруппы индекса p , соответствующие нетривиальным гомоморфизмам . ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$ ${\displaystyle (p^{n}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$
• Аналогично, свободная группа имеет подгруппы индекса p . ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$
• Бесконечная диэдральная группа имеет циклическую подгруппу индекса 2, которая обязательно нормальна.

Бесконечный индекс

Если H имеет бесконечное число смежных классов в G , то индекс H в G называется бесконечным. В этом случае индекс на самом деле является кардинальным числом . Например, индекс H в G может быть счетным или несчетным , в зависимости от того, имеет ли H счетное число смежных классов в G . Обратите внимание, что индекс H не превышает порядка G , что реализуется для тривиальной подгруппы или фактически любой подгруппы H бесконечной мощности, меньшей, чем у G. ${\displaystyle |G:H|}$

Конечный индекс

Подгруппа H конечного индекса в группе G (конечной или бесконечной) всегда содержит нормальную подгруппу N (из G ), также конечного индекса. Фактически, если H имеет индекс n , то индекс N будет некоторым делителем n ! и кратным n ; действительно, N можно взять в качестве ядра естественного гомоморфизма из G в группу перестановок левых (или правых) смежных классов H . Давайте объясним это более подробно, используя правые смежные классы:

Элементы G , которые оставляют все смежные классы неизменными, образуют группу.

Назовем эту группу A. Пусть B — множество элементов группы G , которые выполняют заданную перестановку на смежных классах H. Тогда B — правый смежный класс A.

То, что мы сказали до сих пор, применимо независимо от того, является ли индекс H конечным или бесконечным. Теперь предположим, что это конечное число n . Поскольку число возможных перестановок смежных классов конечно, а именно n !, то может быть только конечное число множеств, подобных B . (Если G бесконечно, то все такие множества, следовательно, бесконечны.) Множество этих множеств образует группу, изоморфную подмножеству группы перестановок, поэтому число этих множеств должно делить n !. Более того, оно должно быть кратно n , поскольку каждый смежный класс H содержит одинаковое число смежных классов A . Наконец, если для некоторых c ∈ G и a ∈ A мы имеем ca = xc , то для любого d ∈ G dca = dxc , но также dca = hdc для некоторого h ∈ H (по определению A ), поэтому hd = dx . Поскольку это верно для любого d , x должен быть членом A, поэтому ca = xc означает, что cac ⁻¹ ∈ A и, следовательно, A является нормальной подгруппой.

Индекс нормальной подгруппы не только должен быть делителем n !, но и должен удовлетворять другим критериям. Поскольку нормальная подгруппа является подгруппой H , ее индекс в G должен быть в n раз больше ее индекса внутри H . Ее индекс в G также должен соответствовать подгруппе симметрической группы S _n , группы перестановок n объектов. Так, например, если n равно 5, индекс не может быть равен 15, даже если это делит 5!, потому что в S ₅ нет подгруппы порядка 15 .

В случае n = 2 это дает довольно очевидный результат, что подгруппа H индекса 2 является нормальной подгруппой, поскольку нормальная подгруппа H должна иметь индекс 2 в G и, следовательно, быть идентичной H . (Мы можем прийти к этому факту также, заметив, что все элементы G , которые не входят в H, составляют правый смежный класс H , а также левый смежный класс, поэтому они оба идентичны.) В более общем случае подгруппа индекса p , где p является наименьшим простым множителем порядка G (если G конечна), обязательно является нормальной, поскольку индекс N делит p ! и, таким образом, должен быть равен p, не имея других простых множителей. Например, подгруппа Z ₇ неабелевой группы порядка 21 является нормальной (см. Список малых неабелевых групп и Группа Фробениуса#Примеры ).

Альтернативное доказательство результата о том, что подгруппа индекса наименьшего простого числа p является нормальной, а также другие свойства подгрупп простого индекса приведены в (Lam 2004).

Примеры

Группа O хиральной октаэдрической симметрии имеет 24 элемента. Она имеет диэдральную подгруппу D ₄ (на самом деле у нее их три) порядка 8 и, таким образом, индекса 3 в O , которую мы будем называть H . Эта диэдральная группа имеет 4-членную подгруппу D ₂ , которую мы можем назвать A . Умножение справа любого элемента правого смежного класса H на элемент A дает член того же смежного класса H ( Hca = Hc ). A является нормальным в O . Существует шесть смежных классов A , соответствующих шести элементам симметрической группы S ₃ . Все элементы из любого конкретного смежного класса A выполняют одну и ту же перестановку смежных классов H .

С другой стороны, группа T _h пиритоэдрической симметрии также имеет 24 члена и подгруппу индекса 3 (на этот раз это группа призматической симметрии D _2h , см. точечные группы в трех измерениях ), но в этом случае вся подгруппа является нормальной подгруппой. Все члены конкретного смежного класса выполняют одну и ту же перестановку этих смежных классов, но в этом случае они представляют только 3-элементную знакопеременную группу в 6-членной симметрической группе S ₃ .

Нормальные подгруппы индекса первичной мощности

Нормальные подгруппы простого индекса являются ядрами сюръективных отображений в p -группы и имеют интересную структуру, как описано в теореме о фокальной подгруппе: Подгруппы и уточнено в теореме о фокальной подгруппе .

Существует три важных нормальных подгруппы индекса простой мощности, каждая из которых является наименьшей нормальной подгруппой в определенном классе:

• E ^p ( G ) — пересечение всех нормальных подгрупп индекса p ; G / E ^p ( G ) — элементарная абелева группа и наибольшая элементарная абелева p -группа, на которую G сюръецирует.
• A ^p ( G ) — пересечение всех нормальных подгрупп K таких, что G / K — абелева p -группа (т.е. K — индексная нормальная подгруппа, содержащая производную группу ): G / A ^p ( G ) — наибольшая абелева p -группа (не обязательно элементарная), на которую G сюръецирует. ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle [G,G]}$
• Op ( G ) — пересечение всех нормальных подгрупп K группы G, таких что G / K ^— (возможно, неабелева) p -группа (т. е. K — индексная нормальная подгруппа): G / Op ( G ) — наибольшая ^p - группа (не обязательно абелева), на которую сюръецируется G. Op ( G ) также известна ^как ${\displaystyle p^{k}}$p -остаточная подгруппа .

Поскольку это более слабые условия для групп K, то получаем включения

${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).}$

Эти группы имеют важные связи с силовскими подгруппами и гомоморфизмом переноса, как там обсуждается.

Геометрическая структура

Элементарное наблюдение состоит в том, что не может быть ровно 2 подгрупп индекса 2, так как дополнение их симметрической разности дает третью. Это простое следствие из вышеприведенного обсуждения (а именно проективизации структуры векторного пространства элементарной абелевой группы

${\displaystyle G/\mathbf {E} ^{p}(G)\cong (\mathbf {Z} /p)^{k}}$,

и, кроме того, G не действует на эту геометрию и не отражает никакую неабелеву структуру (в обоих случаях, потому что фактор абелев).

Однако это элементарный результат, который можно увидеть конкретно следующим образом: множество нормальных подгрупп заданного индекса p образует проективное пространство , а именно проективное пространство

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)).}$

В деталях, пространство гомоморфизмов из G в (циклическую) группу порядка p является векторным пространством над конечным полем A. Нетривиальное такое отображение имеет в качестве ядра нормальную подгруппу индекса p, и умножение отображения на элемент (ненулевое число mod p ) не меняет ядро; таким образом, мы получаем отображение из ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p),}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=\mathbf {Z} /p.}$ ${\displaystyle (\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)):=(\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))\setminus \{0\})/(\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

в нормальные подгруппы индекса p . Наоборот, нормальная подгруппа индекса p определяет нетривиальное отображение в с точностью до выбора «какой смежный класс отображается в какой показывает, что это отображение является биекцией. ${\displaystyle \mathbf {Z} /p}$ ${\displaystyle 1\in \mathbf {Z} /p,}$

Как следствие, число нормальных подгрупп индекса p равно

${\displaystyle (p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots +p^{k}}$

для некоторого k; не соответствует нормальным подгруппам индекса p . Далее, если заданы две различные нормальные подгруппы индекса p, то получается проективная прямая, состоящая из таких подгрупп. ${\displaystyle k=-1}$ ${\displaystyle p+1}$

Так как симметрическая разность двух различных подгрупп индекса 2 (которые обязательно нормальны) дает третью точку на проективной прямой, содержащую эти подгруппы, а группа должна содержать подгруппы индекса 2 — она не может содержать ровно 2 или 4 подгруппы индекса 2, например. ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle 0,1,3,7,15,\ldots }$

Смотрите также

• Практически
• Коразмерность

Ссылки

• Лэм, TY (март 2004 г.), «О подгруппах простого индекса», The American Mathematical Monthly , 111 (3): 256–258, JSTOR  4145135

Внешние ссылки

• Нормальность подгрупп простого индекса в PlanetMath .
• «Подгруппа с наименьшим простым индексом является нормальной» в Groupprops, The Group Properties Wiki