Правильный тетраэдр имеет 12 вращательных (или сохраняющих ориентацию ) симметрий и порядок симметрии 24, включая преобразования, которые сочетают отражение и вращение.
Группа всех (не обязательно сохраняющих ориентацию) симметрий изоморфна группе S 4 , симметрической группе перестановок четырех объектов, поскольку для каждой перестановки вершин тетраэдра существует ровно одна такая симметрия. Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, называемую знакопеременной подгруппой A 4 группы S 4 .
Хиральная и полная (или ахиральная тетраэдрическая симметрия и пиритоэдрическая симметрия ) являются дискретными точечными симметриями (или, что эквивалентно, симметриями на сфере ). Они входят в число кристаллографических точечных групп кубической кристаллической системы .
В стереографической проекции ребра тетракисгексаэдра образуют 6 окружностей (или центрально-радиальных линий) на плоскости. Каждая из этих 6 окружностей представляет собой зеркальную линию в тетраэдрической симметрии. Пересечение этих окружностей встречается в точках инерции 2-го и 3-го порядка.
T , 332 , [3,3] + , или 23 , порядка 12 – хиральная или вращательная тетраэдрическая симметрия . Существуют три ортогональные 2-кратные оси вращения, как хиральнаядиэдральная симметрия D 2 или 222, с дополнительными четырьмя 3-кратными осями, центрированными между тремя ортогональными направлениями. Эта группа изоморфна A 4 , знакопеременной группе на 4 элементах; на самом деле это группа четных перестановок четырех 3-кратных осей: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).
Классы сопряженности T:
Повороты на 180° вместе с тождеством образуют нормальную подгруппу типа Dih 2 с факторгруппой типа Z 3 . Три элемента последней — тождество, «поворот по часовой стрелке» и «поворот против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных 2-кратных осей, сохраняющих ориентацию.
A 4 — наименьшая группа, демонстрирующая, что обратная теорема Лагранжа в общем случае неверна: если задана конечная группа G и делитель d числа | G |, то не обязательно существует подгруппа G с порядком d : группа G = A 4 не имеет подгруппы порядка 6. Хотя это свойство абстрактной группы в целом, это ясно из группы изометрий хиральной тетраэдрической симметрии: из-за хиральности подгруппа должна была бы быть C 6 или D 3 , но ни одно из них не применимо.
T d , *332 , [3,3] или 4 3m, порядка 24 – ахиральная или полная тетраэдрическая симметрия , также известная как группа треугольника (2,3,3) . Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, но с шестью зеркальными плоскостями, каждая через две оси 3-го порядка. Оси 2-го порядка теперь являются осями S 4 ( 4 ). T d и O изоморфны как абстрактные группы: они обе соответствуют S 4 , симметрической группе на 4 объектах. T d является объединением T и множества, полученного путем объединения каждого элемента O \ T с инверсией. См. также изометрии правильного тетраэдра .
Классы сопряженности T d следующие:
T h , 3*2 , [4,3 + ] или m 3 , порядка 24 – пиритоэдрическая симметрия . [1] Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, с зеркальными плоскостями через два из ортогональных направлений. Оси 3-го порядка теперь являются осями S 6 ( 3 ), и имеется центральная инверсионная симметрия. T h изоморфна T × Z 2 : каждый элемент T h является либо элементом T, либо элементом, объединенным с инверсией. Помимо этих двух нормальных подгрупп, существует также нормальная подгруппа D 2h (подгруппа кубоида ) типа Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2 . Она является прямым произведением нормальной подгруппы T (см. выше) с C i . Фактор-группа та же, что и выше: типа Z 3 . Три элемента последнего — это тождество, «вращение по часовой стрелке» и «вращение против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных 2-кратных осей, сохраняющих ориентацию.
Это симметрия куба с отрезком прямой на каждой грани, делящим грань на два равных прямоугольника, так что отрезки прямых соседних граней не встречаются на краю. Симметрии соответствуют четным перестановкам диагоналей тела и тому же в сочетании с инверсией. Это также симметрия пиритоэдра , который чрезвычайно похож на описанный куб, в котором каждый прямоугольник заменен пятиугольником с одной осью симметрии и 4 равными сторонами и 1 другой стороной (той, которая соответствует отрезку прямой, делящей грань куба); т. е. грани куба выпирают на разделительной линии и становятся там уже. Это подгруппа полной группы симметрии икосаэдра (как группы изометрий, а не просто как абстрактной группы) с 4 из 10 3-кратных осей.
Классы сопряженности T h включают классы T, причем оба класса 4 объединены, и каждый из них имеет инверсию:
Икосаэдр, окрашенный как плосконосый тетраэдр, имеет хиральную симметрию.
Учебные материалы по теме Симметричная группа S4 в Викиверситете