Теорема Лагранжа (теория групп)

Порядок подгруппы конечной группы G делит порядок G

G — это группа , целые числа mod 8 по сложению. Подгруппа H содержит только 0 и 4 и изоморфна . Существует четыре левых смежных класса H: сам H, 1+H, 2+H и 3+H (записанных с использованием аддитивной нотации, поскольку это аддитивная группа ). Вместе они разбивают всю группу G на равные по размеру непересекающиеся множества. Таким образом, индекс [G : H] равен 4. ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

В математической области теории групп теорема Лагранжа утверждает, что если H является подгруппой любой конечной группы G , то является делителем , т. е. порядок (число элементов) каждой подгруппы H делит порядок группы G. ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle |G|}$

Теорема названа в честь Жозефа-Луи Лагранжа . Следующий вариант утверждает, что для подгруппы конечной группы не только является целым числом, но ее значением является индекс , определяемый как число левых смежных классов в . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |G|/|H|}$ ${\displaystyle [G:H]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Теорема Лагранжа  —  Если H — подгруппа группы G , то ${\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.}$

Этот вариант справедлив даже если бесконечно, при условии, что , , и интерпретируются как кардинальные числа . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |G|}$ ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle [G:H]}$

Доказательство

Левые смежные классы H в G являются классами эквивалентности определенного отношения эквивалентности на G : в частности, назовем x и y в G эквивалентными, если существует h в H такой, что x = yh . Таким образом, левые смежные классы образуют разбиение G . Каждый левый смежный класс aH имеет ту же мощность, что и H , поскольку определяет биекцию (обратное — ). Количество левых смежных классов — это индекс [ G  : H ] . Согласно предыдущим трем предложениям, ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ${\displaystyle H\to aH}$ ${\displaystyle y\mapsto a^{-1}y}$

${\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.}$

Расширение

Теорему Лагранжа можно распространить на уравнение индексов между тремя подгруппами группы G. [ ^1]

Расширение теоремы Лагранжа  —  Если H является подгруппой G , а K является подгруппой H , то

${\displaystyle [G:K]=[G:H]\,[H:K].}$

Доказательство

Пусть S — множество представителей смежных классов для K в H , так что (непересекающееся объединение) и . Для любого левое умножение на a является биекцией , так что . Таким образом, каждый левый смежный класс H раскладывается на левые смежные классы K. Поскольку G раскладывается на левые смежные классы H , каждый из которых раскладывается на левые смежные классы K , общее число левых смежных классов K в G равно . ${\displaystyle H=\bigsqcup _{s\in S}sK}$ ${\displaystyle |S|=[H:K]}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle aH=\bigsqcup _{s\in S}asK}$ ${\displaystyle [H:K]}$ ${\displaystyle [G:H]}$ ${\displaystyle [H:K]}$ ${\displaystyle [G:K]}$ ${\displaystyle [G:H][H:K]}$

Если взять K = { e } ( e — единичный элемент G ), то [ G  : { e }] = | G | и [ H  : { e }] = | H | . Следовательно, мы можем восстановить исходное уравнение | G | = [ G  : H ] | H | .

Приложения

Следствием теоремы является то, что порядок любого элемента a конечной группы (т. е. наименьшее положительное целое число k с a ^k = e , где e — единичный элемент группы) делит порядок этой группы, поскольку порядок a равен порядку циклической подгруппы, порожденной a . Если группа имеет n элементов, то отсюда следует

${\displaystyle \displaystyle a^{n}=e{\mbox{.}}}$

Это можно использовать для доказательства малой теоремы Ферма и ее обобщения — теоремы Эйлера . Эти особые случаи были известны задолго до доказательства общей теоремы.

Теорема также показывает, что любая группа простого порядка является циклической и простой , поскольку подгруппа, порожденная любым нетождественным элементом, должна быть всей группой.

Теорему Лагранжа можно также использовать для доказательства того, что существует бесконечно много простых чисел : предположим, что существует наибольшее простое число . Любой простой делитель числа Мерсенна удовлетворяет (см. модульную арифметику ), что означает, что порядок в мультипликативной группе равен . По теореме Лагранжа порядок должен делить порядок , который равен . Таким образом , делит , давая , что противоречит предположению, что является наибольшим простым числом. ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}\equiv 1{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle p<q}$ ${\displaystyle p}$

Существование подгрупп данного порядка

Теорема Лагранжа поднимает обратный вопрос о том, является ли каждый делитель порядка группы порядком некоторой подгруппы. В общем случае это не выполняется: если задана конечная группа G и делитель d группы | G |, то не обязательно существует подгруппа G с порядком d . Наименьшим примером является A ₄ ( знакопеременная группа степени 4), которая имеет 12 элементов, но не имеет подгруппы порядка 6.

Группа "обратной теоремы Лагранжа" (CLT) — это конечная группа со свойством, что для каждого делителя порядка группы существует подгруппа этого порядка. Известно, что группа CLT должна быть разрешимой и что каждая сверхразрешимая группа является группой CLT. Однако существуют разрешимые группы, которые не являются CLT (например, A ₄ ), и группы CLT, которые не являются сверхразрешимыми (например, S ₄ , симметрическая группа степени 4).

Существуют частичные обращения теоремы Лагранжа. Для общих групп теорема Коши гарантирует существование элемента, а значит, и циклической подгруппы, порядка любого простого числа, делящего порядок группы. Теорема Силова расширяет это до существования подгруппы порядка, равного максимальной степени любого простого числа, делящего порядок группы. Для разрешимых групп теоремы Холла утверждают существование подгруппы порядка, равного любому унитарному делителю порядка группы (то есть делителю, взаимно простому со своим кофактором).

Контрпример к обратной теореме Лагранжа

Обратная теорема Лагранжа утверждает, что если d — делитель порядка группы G , то существует подгруппа H, где | H | = d .

Мы рассмотрим знакопеременную группу A ₄ , множество четных перестановок как подгруппу симметрической группы S ₄ .

А ₄ = { е , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4) , (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)} .

| A ₄ | = 12 , поэтому делители равны 1, 2, 3, 4, 6, 12. Предположим противное, что в A ₄ существует подгруппа H с | H | = 6 .

Пусть V — нециклическая подгруппа группы A4 _, называемая четверной группой Клейна .

V знак равно { е , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} .

Пусть K = H ⋂ V. Поскольку H и V являются подгруппами A ₄ , K также является подгруппой A ₄ .

Из теоремы Лагранжа порядок K должен делить как 6 , так и 4 , порядки H и V соответственно. Единственные два положительных целых числа, которые делят как 6 , так и 4 , это 1 и 2. Поэтому | K | = 1 или 2 .

Предположим, что | K | = 1 , тогда K = { e } . Если H не разделяет никаких элементов с V , то 5 элементов в H, кроме элемента тождественности e, должны иметь вид ( abc ) , где a, b, c — различные элементы в {1, 2, 3, 4} .

Поскольку любой элемент вида ( abc ) в квадрате равен ( acb ) , и ( abc )( acb ) = e , любой элемент H в виде ( abc ) должен быть сопряжен со своим обратным. В частности, оставшиеся 5 элементов H должны происходить из различных пар элементов в A _{4 ,} которые не находятся в V . Это невозможно, поскольку пары элементов должны быть четными и не могут в сумме давать до 5 элементов. Таким образом, предположение, что | K | = 1 неверно, поэтому | K | = 2 .

Тогда K = { e , v } , где v ∈ V , v должен быть в форме ( ab )( cd ), где a, b, c, d — различные элементы {1, 2, 3, 4} . Остальные четыре элемента в H — циклы длины 3.

Обратите внимание, что смежные классы, порожденные подгруппой группы, образуют разбиение группы. Смежные классы, порожденные определенной подгруппой, либо идентичны друг другу, либо не пересекаются . Индекс подгруппы в группе [ A ₄  : H ] = | A ₄ |/| H | — это количество смежных классов, порожденных этой подгруппой. Поскольку | A ₄ | = 12 и | H | = 6 , H будет порождать два левых смежных класса, один из которых равен H , а другой, gH , имеет длину 6 и включает все элементы из A _{4 ,} не входящие в H .

Поскольку существует только 2 различных смежных класса, порожденных H , то H должен быть нормальным. Из-за этого H = gHg ⁻¹ (∀ g ∈ A ₄ ) . В частности, это верно для g = ( abc ) ∈ A ₄ . Поскольку H = gHg ⁻¹ , gvg ⁻¹ ∈ H .

Без потери общности предположим, что a = 1 , b = 2 , c = 3 , d = 4. Тогда g = (1 2 3) , v = (1 2)(3 4) , g ⁻¹ = (1 3 2) , gv = (1 3 4) , gvg ⁻¹ = (1 4)(2 3) . Преобразуя обратно, получаем gvg ⁻¹ = ( a d )( b c ) . Поскольку V содержит все непересекающиеся транспозиции в A ₄ , gvg ⁻¹ ∈ V . Следовательно, gvg ⁻¹ ∈ H ⋂ V = K .

Поскольку gvg ⁻¹ ≠ v , мы показали, что в K есть третий элемент . Но ранее мы предполагали, что | K | = 2 , поэтому у нас есть противоречие.

Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании подгруппы порядка 6 неверно, и, следовательно, в A4 нет подгруппы порядка 6 _, а обратная теорема Лагранжа не обязательно верна. ЧТЭ

История

Сам Лагранж не доказал теорему в общем виде. В своей статье Réflexions sur la résolution algébrique des équations [ ^3] он заявил, что если многочлен от n переменных переставляет свои переменные всеми n ! способами, то количество различных многочленов, которые при этом получаются, всегда кратно n ! . (Например, если переменные x , y , и z переставляются всеми 6 возможными способами в многочлене x + y − z , то мы получаем в общей сложности 3 различных многочлена: x + y − z , x + z − y , и y + z − x . Обратите внимание, что 3 кратно 6.) Количество таких многочленов является индексом в симметрической группе S _n подгруппы H перестановок, которые сохраняют многочлен. (В примере x + y − z подгруппа H в S ₃ содержит единицу и транспонирование ( xy ) .) Таким образом, размер H делит n ! . С последующим развитием абстрактных групп этот результат Лагранжа о многочленах был признан распространяющимся на общую теорему о конечных группах, которая теперь носит его имя.

В своих Disquisitiones Arithmeticae в 1801 году Карл Фридрих Гаусс доказал теорему Лагранжа для частного случая , мультипликативной группы ненулевых целых чисел по модулю p , где p — простое число. ^[4] В 1844 году Огюстен-Луи Коши доказал теорему Лагранжа для симметрической группы S _n . ^[5] ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}}$

Камиль Жордан окончательно доказал теорему Лагранжа для случая любой группы перестановок в 1861 году. ^[6]

Примечания

1. Брей, Николас, «Групповая теорема Лагранжа», MathWorld
2. Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2018), «Глава 1», Корректуры из КНИГИ (пересмотренное и дополненное шестое издание), Берлин: Springer, стр. 3–8, ISBN 978-3-662-57264-1
3. Лагранж, Жозеф-Луи (1771), «Сюита размышлений о алгебраическом разрешении уравнений. [Ряд размышлений об алгебраическом решении уравнений. Третий раздел. О решении уравнений пятой и более высоких степеней], Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin : 138–254. ; см. особенно страницы 202-203.
4. Гаусс, Карл Фридрих (1801), Disquisitiones Arithmeticae (на латыни), Лейпциг (Липсия): Г. Флейшер, стр. 41-45, ст. 45-49.
5. Огюстен-Луи Коши , §VI. - Sur les dérivées d'une ou de plusieurs substitutions, et sur les systèmes de substitutions conjuguées [О произведениях одной или нескольких перестановок и о системах сопряженных перестановок] из: "Mémoire sur les Arrangements que l'on peut ex avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un Arrangement à un autre» от одного расположения к другому] в: Упражнения по анализу и математической физике [Упражнения по анализу и математической физике], том. 3 (Париж, Франция: Башелье, 1844), стр. 183–185.
6. Джордан, Камилла (1861), «Mémoire sur le numbre des valeurs des fonctions» [Мемуары о количестве значений функций], Journal de l'École Polytechnique , 22 : 113–194 Обобщение Жордана теоремы Лагранжа приведено на странице 166.

Ссылки

• Брей, Генри Г. (1968), «Заметка о группах CLT», Pacific J. Math. , 27 (2): 229–231, doi : 10.2140/pjm.1968.27.229
• Галлиан, Джозеф (2006), Современная абстрактная алгебра (6-е изд.), Бостон: Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-51471-7
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-43334-7, г-н  2286236
• Рот, Ричард Р. (2001), «История теоремы Лагранжа о группах», Mathematics Magazine , 74 (2): 99–108, doi :10.2307/2690624, JSTOR  2690624