Трансцендентное число

В математике неалгебраическое число

В математике трансцендентное число — это действительное или комплексное число , не являющееся алгебраическим , то есть не являющееся корнем ненулевого многочлена конечной степени с рациональными коэффициентами . Самые известные трансцендентные числа — это π и e . ^{[1] [2]}

Хотя известно лишь несколько классов трансцендентных чисел (отчасти потому, что может быть чрезвычайно трудно доказать, что данное число является трансцендентным), трансцендентные числа не являются редкостью: действительно, почти все действительные и комплексные числа трансцендентны, поскольку алгебраические числа образуют счетное множество , в то время как множество действительных чисел и множество комплексных чисел являются неисчисляемыми множествами и, следовательно, больше, чем любое счетное множество. Все трансцендентные действительные числа (также известные как действительные трансцендентные числа или трансцендентные иррациональные числа ) являются иррациональными числами , поскольку все рациональные числа алгебраические. ^{[3] [4] [5]} [ ^6] Обратное неверно: не все иррациональные числа трансцендентны. Следовательно, множество действительных чисел состоит из непересекающихся наборов рациональных, алгебраических нерациональных и трансцендентных действительных чисел. ^[3] Например, квадратный корень из 2 является иррациональным числом, но не является трансцендентным числом, поскольку является корнем полиномиального уравнения x ² − 2 = 0 . Золотое сечение (обозначается или ) — еще одно иррациональное число, которое не является трансцендентным, поскольку оно является корнем полиномиального уравнения x ² − x − 1 = 0 . Трансцендентность числа называется трансцендентностью . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \phi }$

История

Название «трансцендентальный» происходит от латинского trānscendere  «перелезать через или за пределы, преодолевать» ^[7] и впервые было использовано для математической концепции в статье Лейбница 1682 года, в которой он доказал, что грех x не является алгебраической функцией от x  . ^[8] Эйлер в 18 веке, вероятно, был первым человеком, давшим определение трансцендентным числам в современном смысле. ^[9]

Иоганн Генрих Ламберт в своей статье 1768 года , доказывающей, что число π иррационально , предположил, что e и π были трансцендентными числами , и предложил предварительное эскизное доказательство того, что π трансцендентно. ^[10]

Джозеф Лиувилль впервые доказал существование трансцендентных чисел в 1844 году ^[11] , а в 1851 году дал первые десятичные примеры, такие как константа Лиувилля.

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{b}&=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}\\[2pt]&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+\ldots \\[4pt]&=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}000{\textbf {1}}00000000000000000{\textbf {1}}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ \ldots \end{aligned}}}$$

в котором n -я цифра после запятой равна 1, если n равно k ! ( k факториал ) для некоторого k и 0 в противном случае. ^[12] Другими словами, n -я цифра этого числа равна 1, только если n — одно из чисел 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 и т. д. Лиувилль показал, что это число принадлежит к классу трансцендентных чисел, которые могут быть более точно аппроксимированы рациональными числами , чем любое иррациональное алгебраическое число, и этот класс чисел называется числами Лиувилля , названными в его честь. Лиувилль показал, что все числа Лиувилля трансцендентны. ^[13]

Первым числом, трансцендентность которого была доказана без того, чтобы оно было специально построено с целью доказательства существования трансцендентных чисел, было е , предложенное Чарльзом Эрмитом в 1873 году.

В 1874 году Георг Кантор доказал, что алгебраические числа счетны, а действительные числа неисчислимы. Он также дал новый метод построения трансцендентных чисел. ^[14] Хотя это уже подразумевалось в его доказательстве счетности алгебраических чисел, Кантор также опубликовал конструкцию, которая доказывает, что существует столько же трансцендентных чисел, сколько и действительных чисел. ^[а] Работа Кантора установила повсеместное распространение трансцендентных чисел.

В 1882 году Фердинанд фон Линдеманн опубликовал первое полное доказательство трансцендентности числа π . Он первым доказал, что еа ^{трансцендентно} , если а — ненулевое алгебраическое число. Тогда, поскольку e ^iπ = −1 алгебраично (см. тождество Эйлера ), iπ должно быть трансцендентным. Но поскольку i алгебраична, следовательно, π должно быть трансцендентным. Этот подход был обобщен Карлом Вейерштрассом до того, что сейчас известно как теорема Линдемана-Вейерштрасса . Трансцендентность числа π подразумевает, что геометрические конструкции, включающие циркуль и линейку, не могут привести к определенным результатам, например, к квадратуре круга .

В 1900 году Дэвид Гильберт поставил вопрос о трансцендентных числах, седьмую проблему Гильберта : если a — алгебраическое число, не равное нулю или единице, а b — иррациональное алгебраическое число , обязательно ли ^b трансцендентно ? Положительный ответ был дан в 1934 году теоремой Гельфонда-Шнайдера . Эта работа была расширена Аланом Бейкером в 1960-х годах в его работе по нижним оценкам линейных форм от любого числа логарифмов (алгебраических чисел). ^[16]

Характеристики

Трансцендентное число — это (возможно, комплексное) число, которое не является корнем какого-либо целого многочлена. Каждое действительное трансцендентное число должно быть также иррациональным , поскольку рациональное число является корнем целого многочлена первой степени . ^[17] Множество трансцендентных чисел неисчислимо бесконечно . Поскольку многочлены с рациональными коэффициентами счетны и поскольку каждый такой многочлен имеет конечное число нулей , алгебраические числа также должны быть счетными. Однако диагональный аргумент Кантора доказывает, что действительные числа (а, следовательно, и комплексные числа ) неисчислимы. Поскольку действительные числа представляют собой объединение алгебраических и трансцендентных чисел, оба подмножества не могут быть счетными. Это делает трансцендентные числа неисчислимыми.

Ни одно рациональное число не является трансцендентным, и все реальные трансцендентные числа иррациональны. Иррациональные числа содержат все действительные трансцендентные числа и подмножество алгебраических чисел, включая квадратичные иррациональные числа и другие формы алгебраических иррациональных чисел.

Применение любой непостоянной алгебраической функции с одной переменной к трансцендентному аргументу дает трансцендентное значение. Например, зная, что π трансцендентно, можно сразу сделать вывод, что такие числа, как , , , и также трансцендентны. ${\displaystyle 5\pi }$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi -3}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle ({\sqrt {\pi }}-{\sqrt {3}})^{8}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi ^{5}+7}}}$

Однако алгебраическая функция нескольких переменных может дать алгебраическое число при применении к трансцендентным числам, если эти числа не являются алгебраически независимыми . Например, π и (1 − π ) оба трансцендентны, но π + (1 − π ) = 1, очевидно, нет. Неизвестно, например, является ли e + π трансцендентным, хотя по крайней мере одно из e + π и eπ должно быть трансцендентным. В более общем смысле, для любых двух трансцендентных чисел a и b хотя бы одно из a + b и ab должно быть трансцендентным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим полином ( x - a )( x - b ) = x ² - ( a + b ) x + ab  . Если бы ( a + b ) и ab были алгебраическими, то это был бы многочлен с алгебраическими коэффициентами. Поскольку алгебраические числа образуют алгебраически замкнутое поле , это будет означать, что корни многочлена a и b должны быть алгебраическими. Но это противоречие, и, следовательно, должно быть так, что хотя бы один из коэффициентов является трансцендентным.

Невычислимые числа представляют собой строгое подмножество трансцендентных чисел.

Все числа Лиувилля трансцендентны, но не наоборот. Любое число Лиувилля должно иметь неограниченные частичные частные в разложении в непрерывную дробь . Используя счетный аргумент, можно показать, что существуют трансцендентные числа, которые имеют ограниченные частичные частные и, следовательно, не являются числами Лиувилля.

Используя явное разложение e в цепную дробь , можно показать, что e не является числом Лиувилля (хотя частичные отношения в его разложении в цепную дробь неограничены). Курт Малер показал в 1953 году, что π также не является числом Лиувилля. Предполагается, что все бесконечные цепные дроби с ограниченными членами, имеющие «простую» структуру и не являющиеся в конечном итоге периодическими, трансцендентны ^[18] (другими словами, алгебраические иррациональные корни полиномов по крайней мере третьей степени не имеют видимой закономерности). в их разложениях в непрерывные дроби, поскольку в конечном итоге периодические непрерывные дроби соответствуют квадратичным иррациональным числам, см. проблему Эрмита ).

Числа оказались трансцендентными

Числа оказались трансцендентными:

• e ^a ,еслиaалгебраическоеи ненулевое (потеореме Линдеманна–Вейерштрасса).
• π (по теореме Линдеманна–Вейерштрасса ).
• e ^π , постоянная Гельфонда , а также e ^{− π /2} = i ⁱ (по теореме Гельфонда–Шнайдера ).
• a ^b где a алгебраическое, но не 0 или 1, а b иррациональное алгебраическое (по теореме Гельфонда – Шнайдера), в частности:

${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$, константа Гельфонда–Шнайдера (или число Гильберта)

• sin a , cos a , tan a , csc a , sec a и cot a и их гиперболические аналоги для любого ненулевого алгебраического числа a , выраженного в радианах (по теореме Линдеманна-Вейерштрасса).
• Неподвижная точка косинуса (также называемая числом Дотти d ) – единственное вещественное решение уравнения cos x = x , где x выражается в радианах (по теореме Линдеманна–Вейерштрасса). ^[19]
• ln a , если a алгебраична и не равна 0 или 1, для любой ветви функции логарифма (по теореме Линдемана-Вейерштрасса), в частности: универсальная параболическая константа .
• log _b a, если a и b - целые положительные числа, не обе степени одного и того же целого числа, и a не равно 1 (по теореме Гельфонда – Шнайдера).
• Ненулевые результаты arcsin a , arccos a , arctan a , arccsc a , arcsec a , arccot ​​a и их гиперболических аналогов для любого алгебраического числа a (по теореме Линдеманна-Вейерштрасса).
• Функция Бесселя первого рода J _ν ( x ) , ее первая производная и частное трансцендентны, когда ν рационально, а x алгебраичен и ненулевой, ^[20] и все ненулевые корни J _ν (x) и J ' _ν (x) трансцендентны, когда ν рационально. ^[21] ${\displaystyle {\tfrac {J'_{\nu }(x)}{J_{\nu }(x)}}}$
• W ( a ), еслиaалгебраическое и ненулевое значение, для любой ветви W-функции Ламберта (по теореме Линдеманна – Вейерштрасса), в частности:Ωомега-константа
• W ( r , a ) , если и a , и порядок r алгебраические такие, что для любой ветви обобщенной функции Ламберта W. ^[22] ${\displaystyle a\neq 0}$
• √ x _s квадратный суперкорень любого натурального числа является либо целым, либо трансцендентным (по теореме Гельфонда – Шнайдера)
• ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{3}}\right)\ }$, ^[23] , ^[24] и . ^[24] Числа и также известны как трансцендентные. Числа и тоже трансцендентны. ^[25] ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{4}}\right)\ }$ ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{6}}\right)\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {2}{3}}\right)\ ,}$ ${\displaystyle \ \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {3}{4}}\right)\ ,}$ ${\displaystyle \ \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {5}{6}}\right)\ }$ ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\pi }}\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}\ }$ ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\pi }}\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{2}\ }$
• Значения бета-функции Эйлера (в которой a , b и являются нецелыми рациональными числами). ^[26] ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$ ${\displaystyle a+b}$
• 0,64341054629 ... , константа Каэна . ^[27]
• ${\displaystyle \pi +\ln(2)+{\sqrt {2}}\ln(3)}$. ^[28] В общем, все числа вида трансцендентны, где являются алгебраическими для всех и ненулевыми алгебраическими для всех (по теореме Бейкера ). ${\displaystyle \pi +\beta _{1}\ln(a_{1})+\cdots +\beta _{n}\ln(a_{n})}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$

• Константы Чамперноуна — иррациональные числа, образованные путем объединения представлений всех положительных целых чисел. ^[29]
• Ω , константа Чайтина (поскольку это невычислимое число). ^[30]
• Верхний предел последовательностей Спеккера (поскольку они являются невычислимыми числами). ^[31]
• Так называемые константы Фредгольма, такие как ^{[11] [32] [б]}

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }10^{-2^{n}}=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}0{\textbf {1}}000{\textbf {1}}0000000{\textbf {1}}\ldots }$

что также справедливо при замене 10 на любое алгебраическое число b > 1 . ^[34]

• ${\displaystyle {\frac {\arctan(x)}{\pi }}}$, для рационального числа x такого, что . ^[28] ${\displaystyle x\notin \{0,\pm {1}\}}$

• Значения цепной дроби Роджерса-Рамануджана где – алгебраическая и . ^[35] Лемнискатические значения тета-функции (при тех же условиях для ) также трансцендентны. ^[36] ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0<|q|<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$ ${\displaystyle {q}}$
• j ( q )гдеявляется алгебраическим, но не мнимым квадратичным (т. е.исключительным множествомэтой функции является числовое поле, степеньрасширенияравна2). ${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Значения бесконечного ряда с быстрой скоростью сходимости , определенные Ю. Гао и Дж. Гао, такие как . ^[37] ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}}{2^{3^{n}}}}}$
• Действительная константа в определении постоянной Ван дер Корпута, включающей интегралы Френеля . ^[38]
• Действительная константа в определении константы Золотарева-Шура, включающая полные эллиптические целые функции . ^[39]
• Константа Гаусса и связанная с ней константа лемнискаты . ^[40]
• Любое число вида (где , — многочлены от переменных , , — алгебраическое, а , — любое целое число, большее 1). ^[41] ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}(\beta ^{r^{n}})}{F_{n}(\beta ^{r^{n}})}}}$ ${\displaystyle E_{n}(z)}$ ${\displaystyle F_{n}(z)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle r}$

• Искусственно построенные непериодические числа . ^[42]
• Константа Роббинса в трехмерной задаче выбора линии . ^[43]
• Вышеупомянутая константа Лиувилля для любого алгебраического b ∈ (0, 1) .
• Сумма обратных экспоненциальных факториалов . ^[28]
• Константа Пруэ-Туэ-Морса ^[44] и связанная с ней константа кролика. ^[45]
• Константа Коморника– Лорети . ^[46]
• Любое число, цифры которого относительно некоторого фиксированного основания образуют слово Штурма . ^[47]
• Константа складывания бумаги (также называемая «гауссовским числом Лиувилля»). ^[48]
• Построены иррациональные числа, которые не являются нормальными ни в одной системе счисления. ^[49]
• Для β > 1

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor \beta ^{k}\right\rfloor };}$

где функция пола . ^[50] ${\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor }$

• 3.300330000000000330033... и обратное ему 0,30300000303..., два числа только с двумя разными десятичными цифрами, чьи ненулевые позиции цифр задаются последовательностью Мозера-де Брейна и ее двойником. ^[51]
• Число , где Y _α ( x ) и J _α ( x ) — функции Бесселя, а γ — константа Эйлера–Машерони . ^{[52] [53]} ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$

• Нестеренко доказал в 1996 году, что и алгебраически независимы. ^[25] Это приводит к трансцендентности константы Вейерштрасса ^[54] и числа . ^[55] ${\displaystyle \pi ,e^{\pi }}$ ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}-1}}}$

Возможные трансцендентные числа

Числа, трансцендентность или алгебраичность которых еще предстоит доказать:

• Большинство сумм, произведений, степеней и т. д. числа π и числа e , например eπ , e + π , π − e , π / e , π ^π , e ^e , π ^e , π ^{√ 2} , e ^{π 2} , являются неизвестно, является ли оно рациональным, алгебраически иррациональным или трансцендентным. Заметным исключением является e ^{π √ n} (для любого натурального числа n ), трансцендентность которого была доказана. ^[56] Было показано, что как e + π, так и π / e не удовлетворяют никакому полиномиальному уравнению степени и целым коэффициентам средней величины 10 ⁹ . ^[57] ${\displaystyle \leq 8}$
• Константа Эйлера -Машерони γ : в 2010 году М. Рам Мурти и Н. Сарада нашли бесконечный список чисел, содержащийγ/4так что все, кроме не более чем одного, трансцендентальны. ^{[58] [59]} В 2012 году было показано, что по крайней мере один из γ и константы Эйлера–Гомпертца δ является трансцендентным. ^[60]
• Константа Апери ζ (3) (иррациональность которой доказал Апери ).
• Обратная константа Фибоначчи и обратная константа Люка ^[61] (оба оказались иррациональными).
• Константа Каталана и значения бета-функции Дирихле в других четных целых числах: β (4) , β (6) , ... (даже не доказано, что они иррациональны). ^[62]
• Постоянная Хинчина также не доказала свою иррациональность.
• Дзета -функция Римана для других нечетных положительных целых чисел, ζ (5) , ζ (7) , ... (иррациональность не доказана).
• Константы Фейгенбаума δ и α также не оказались иррациональными.
• Константа Миллса и постоянная простых чисел-близнецов (также не доказано, что они иррациональны).
• Кубический суперкорень любого натурального числа является либо целым, либо иррациональным (по теореме Гельфонда – Шнайдера). ^[63] Однако до сих пор неясно, являются ли все иррациональные числа в последнем случае трансцендентными. ^{[ нужна цитата ]}
• Второе и последующие собственные значения оператора Гаусса-Кузьмина-Вирсинга также не доказали свою иррациональность.
• Константа Коупленда -Эрдёша , образованная путем объединения десятичных представлений простых чисел.
• Относительная плотность обычных простых чисел : в 1964 году Сигел предположил, что ее значение равно . ${\displaystyle e^{-1/2}}$
• ${\displaystyle \Gamma (1/5)}$не было доказано, что оно иррационально. ^[25]
• Различные константы, значение которых не известно с высокой точностью, такие как константа Ландау и константа Гротендика .

Связанные предположения:

• Гипотеза Шануэля .
• Гипотеза о четырех экспонентах .

Доказательства для конкретных чисел

Эскиз доказательства трансцендентности e

Первое доказательство того, что основание натуральных логарифмов e является трансцендентным, датируется 1873 годом. Теперь мы будем следовать стратегии Дэвида Гильберта (1862–1943), который дал упрощение оригинального доказательства Чарльза Эрмита . Идея заключается в следующем:

Предположим, с целью найти противоречие , что e алгебраично. Тогда существует конечный набор целых коэффициентов c ₀ , c ₁ , ..., c _n , удовлетворяющий уравнению:

$${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0~.}$$

ek

$${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}(x)\,e^{-x}\,\mathrm {d} x\ ,}$$

$${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)=0~.}$$

Разделив соответствующие области интегрирования, это уравнение можно записать в виде

$${\displaystyle P+Q=0}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\\Q&=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\end{aligned}}}$$

Pk

Лемма 1

При соответствующем выборе k является ненулевым целым числом. ${\displaystyle \ {\tfrac {P}{k!}}\ }$

Доказательство. Напомним стандартный интеграл (случай Гамма-функции )

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{j}e^{-t}\,\mathrm {d} t=j!}$$

натурального числа ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x=c_{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-(x-a)}\,\mathrm {d} x=\left\{{\begin{aligned}t&=x-a\\x&=t+a\\\mathrm {d} x&=\mathrm {d} t\end{aligned}}\right\}=c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$$

замены переменных

$${\displaystyle P=\sum _{a=0}^{n}c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}\sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a){\biggr )}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$$

${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{j}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle j!}$ ${\displaystyle P}$

Факториалы меньшего размера делят факториалы большего размера, поэтому наименьшее из них, встречающееся в этой линейной комбинации, также будет делить все число . Мы получаем это из члена наименьшей степени, появляющегося с ненулевым коэффициентом в , но этот наименьший показатель степени также является кратностью корня этого многочлена. выбирается так, чтобы иметь кратность корня и кратность корней для , так что наименьший показатель степени равен для и для с . Поэтому делит . ${\displaystyle j!}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle j!}$ ${\displaystyle t^{j}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle f_{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle a=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle t^{k}}$ ${\displaystyle f_{k}(t)}$ ${\displaystyle t^{k+1}}$ ${\displaystyle f_{k}(t+a)}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle P}$

Чтобы установить последнее утверждение леммы, то есть ненулевое, достаточно доказать, что не делит . Для этого пусть будет любое простое число, большее, чем и . Из вышесказанного мы знаем, что каждое из for делится на , поэтому, в частности, все они делятся на . Это сводится к первому сроку . У нас есть (см. падающие и растущие факториалы ) ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |c_{0}|}$ ${\displaystyle (k+1)!}$ ${\displaystyle \textstyle c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle 1\leqslant a\leqslant n}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \textstyle c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$

$${\displaystyle f_{k}(t)=t^{k}{\bigl [}(t-1)\cdots (t-n){\bigr ]}^{k+1}={\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}t^{k}+{\text{higher degree terms}}}$$

${\displaystyle (k+1)!}$

$${\displaystyle P\equiv c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t\equiv c_{0}{\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}k!{\pmod {(k+1)}}}$$

${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Лемма 2

При достаточно больших k , . ${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$

Доказательство. Обратите внимание, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}\left[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)\right]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}}$$

где u ( x ), v ( x ) являются непрерывными функциями x для всех x , поэтому ограничены на интервале [0, n ] . То есть существуют константы G , H > 0 такие, что

$${\displaystyle \ \left|f_{k}e^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n~.}$$

Таким образом, каждый из этих интегралов, составляющих Q, ограничен, причем худшим случаем является

$${\displaystyle \left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\ \mathrm {d} \ x\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\ \mathrm {d} \ x=nG^{k}H~.}$$

Теперь можно также оценить сумму Q :

$${\displaystyle |Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|e+|c_{2}|e^{2}+\cdots +|c_{n}|e^{n}\right)=G^{k}\cdot M\ ,}$$

где M — константа, не зависящая от k . Следует, что

$${\displaystyle \ \left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0\quad {\text{ as }}k\to \infty \ ,}$$

завершая доказательство этой леммы.

Заключение

Выбор значения k , удовлетворяющего обеим леммам, приводит к тому , что к исчезающе малой величине, равной нулю, добавляется ненулевое целое число , невозможно. Отсюда следует, что исходное предположение о том, что e может удовлетворять полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами, также невозможно; то есть е трансцендентно. ${\displaystyle \left({\tfrac {P}{k!}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {Q}{k!}}\right)}$

Трансцендентность π

Похожая стратегия, отличная от оригинального подхода Линдеманна, может быть использована, чтобы показать, что число π трансцендентно . Помимо гамма-функции и некоторых оценок, как в доказательстве для e , важную роль в доказательстве играют факты о симметричных полиномах .

Подробную информацию о доказательствах трансцендентности π и e см. в ссылках и внешних ссылках.

Смотрите также

• Математический портал

• Трансцендентная теория чисел , изучение вопросов, связанных с трансцендентными числами.
• Трансцендентный элемент , обобщение трансцендентных чисел в абстрактной алгебре
• Теорема Гельфонда – Шнайдера.
• Диофантово приближение
• Периоды — набор чисел (включая трансцендентные и алгебраические числа), которые могут быть определены интегральными уравнениями.

Примечания

1. Конструкция Кантора устанавливает взаимно однозначное соответствие между набором трансцендентных чисел и набором действительных чисел. В этой статье Кантор применяет свою конструкцию только к множеству иррациональных чисел. ^[15]
2. Название «число Фредгольма» неуместно: Кемпнер первым доказал, что это число трансцендентно, а в примечании на странице 403 говорится, что Фредгольм никогда не изучал это число. ^[33]

Рекомендации

1. Пиковер, Клифф. «15 самых известных трансцендентных чисел». sprott.Physics.wisc.edu . Проверено 23 января 2020 г.
2. Шидловский, Андрей Б. (июнь 2011 г.). Трансцендентные числа . Вальтер де Грюйтер. п. 1. ISBN 9783110889055.
3. Бандей, BD; Малхолланд, Х. (20 мая 2014 г.). Чистая математика для продвинутого уровня. Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-1-4831-0613-7. Проверено 21 марта 2021 г.
4. Бейкер, А. (1964). «О классификации трансцендентных чисел Малера». Акта Математика . 111 : 97–120. дои : 10.1007/bf02391010 . S2CID  122023355.
5. Хойер, Николаус; Ло, Клара (1 ноября 2019 г.). «Трансцендентные симплициальные объемы». arXiv : 1911.06386 [math.GT].
6. «Реальное число». Британская энциклопедия . математика . Проверено 11 августа 2020 г.
7. «трансцендентный». Оксфордский словарь английского языка . св
8. Лейбниц, Герхардт и Перц 1858, стр. 97–98; Бурбаки 1994, с. 74
9. Эрдеш и Дадли 1983
10. Ламберт 1768 г.
11. Кемпнер 1916 г.
12. «Вайсштейн, Эрик В. «Константа Лиувилля», MathWorld».
13. Лиувилль 1851 г.
14. Кантор 1874; Серый 1994 г.
15. Кантор 1878, с. 254
16. Бейкер, Алан (1998). Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон. www-history.mcs.st-andrews.ac.uk (биографии). Архив истории математики MacTutor. Сент-Эндрюс, Шотландия : Университет Сент-Эндрюс .
17. Харди 1979
18. Адамчевски и Бюжо, 2005 г.
19. Вайсштейн, Эрик В. «Число Дотти». Вольфрам Математический мир . Вольфрам Рисерч, Инк . Проверено 23 июля 2016 г.
20. Сигел, Карл Л. (2014). «Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen: Abhandlungen der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Физико-математический класс 1929, № 1». О некоторых приложениях диофантовых приближений (на немецком языке). Высшая нормальная школа. стр. 81–138. дои : 10.1007/978-88-7642-520-2_2. ISBN 978-88-7642-520-2.
21. Лорх, Ли; Малдун, Мартин Э. (1995). «Трансцендентность нулей высших производных функций, включающих функции Бесселя». Международный журнал математики и математических наук . 18 (3): 551–560. дои : 10.1155/S0161171295000706 .
22. Мезё, Иштван; Барич, Арпад (22 июня 2015 г.). «Об обобщении функции Ламберта W». arXiv : 1408.3999 [math.CA].
23. le Lionnais 1979, с. 46 через Wolfram Mathworld, Трансцендентное число
24. Чудновский 1984 через Wolfram Mathworld, Трансцендентное число
25. «Математические константы». Математика (общая). Издательство Кембриджского университета . Проверено 22 сентября 2022 г.
26. Вальдшмидт, Мишель (7 сентября 2005 г.). «Трансцендентность периодов: современное состояние» (PDF) . webusers.imj-prg.fr .
27. Дэвисон и Шалит 1991
28. Вайсштейн, Эрик В. «Трансцендентное число». mathworld.wolfram.com . Проверено 9 августа 2023 г.
29. Малер 1937; Малер 1976, с. 12
30. Калуде 2002, с. 239
31. Грю Симонсен, Якоб. «Возвращение к последовательностям Спеккера» (PDF) . hjemmesider.diku.dk .
32. Шалит 1996
33. Аллуш и Шалит 2003, стр. 385, 403.
34. Локстон 1988
35. Дюверни, Дэниел; Нисиока, Кейджи; Нисиока, Кумико; Сиокава, Иеката (1997). «Трансцендентность непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана и обратных сумм чисел Фибоначчи». Труды Японской академии, серия A, Математические науки . 73 (7): 140–142. дои : 10.3792/pjaa.73.140 . ISSN  0386-2194.
36. Бертран, Дэниел (1997). «Тэта-функции и трансцендентность». Журнал Рамануджана . 1 (4): 339–350. дои : 10.1023/А: 1009749608672. S2CID  118628723.
37. "A140654 - OEIS" . oeis.org . Проверено 12 августа 2023 г.
38. Вайсштейн, Эрик В. «Константа ван дер Корпута». mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2023 г.
39. Вайсштейн, Эрик В. «Константа Золотарева-Шура». mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2023 г.
40. Тодд, Джон (1975). «Лемнискатные константы». Коммуникации АКМ . 18 : 14–19. дои : 10.1145/360569.360580 . S2CID  85873.
41. Куросава, Такеши (01 марта 2007 г.). «Трансцендентность некоторых серий, включающих бинарные линейные повторения». Журнал теории чисел . 123 (1): 35–58. дои : 10.1016/j.jnt.2006.05.019 . ISSN  0022-314X.
42. Ёсинага, Масахико (3 мая 2008 г.). «Периоды и элементарные действительные числа». arXiv : 0805.0349 [math.AG].
43. Стивен Р. Финч (2003). Математические константы . Издательство Кембриджского университета. п. 479. ИСБН 978-3-540-67695-9. Шмуц.
44. Малер 1929; Аллуш и Шалит 2003, с. 387
45. Вайсштейн, Эрик В. «Кролик Константа». mathworld.wolfram.com . Проверено 9 августа 2023 г.
46. Аллуш, Жан-Поль; Коснар, Мишель (2000), «Константа Коморника-Лорети трансцендентна», American Mathematical Monthly , 107 (5): 448–449, doi : 10.2307/2695302, JSTOR  2695302, MR  1763399
47. Пифей Фогг 2002
48. "A143347 - OEIS" . oeis.org . Проверено 9 августа 2023 г.
49. Бюжо 2012, с. 113.
50. Адамчевский, Борис (март 2013 г.). «Многоликое число Кемпнера». arXiv : 1303.1685 [math.NT].
51. Бланшар и Мендес, Франция, 1982 г.
52. Малер, Курт; Морделл, Луи Джоэл (4 июня 1968 г.). «Применения теоремы А.Б. Шидловского». Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 305 (1481): 149–173. Бибкод : 1968RSPSA.305..149M. дои : 10.1098/rspa.1968.0111. S2CID  123486171.
53. Лагариас, Джеффри К. (19 июля 2013 г.). «Константа Эйлера: работа Эйлера и современные разработки». Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 527–628. arXiv : 1303.1856 . дои : 10.1090/S0273-0979-2013-01423-X . ISSN  0273-0979.
54. Вайсштейн, Эрик В. «Константа Вейерштрасса». mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2023 г.
55. Элснер, Карстен; Шимомура, Сюн; Сиокава, Иеката (1 сентября 2012 г.). «Алгебраическая независимость некоторых чисел, связанных с модулярными функциями». Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici . 47 (1). дои : 10.7169/facm/2012.47.1.10 . ISSN  0208-6573.
56. Вайсштейн, Эрик В. «Иррациональное число». Математический мир .
57. Вайсштейн, Эрик В. «е». mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2023 г.
58. Мурти, М. Рам; Сарадха, Н. (1 декабря 2010 г.). «Константы Эйлера – Лемера и гипотеза Эрдеша». Журнал теории чисел . 130 (12): 2671–2682. дои : 10.1016/j.jnt.2010.07.004 . ISSN  0022-314X.
59. Мурти, М. Рам; Зайцева, Анастасия (01.01.2013). «Трансцендентность обобщенных констант Эйлера». Американский математический ежемесячник . 120 (1): 48–54. doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.01.048. ISSN  0002-9890. S2CID  20495981.
60. Ривоал, Танги (2012). «Об арифметической природе значений гамма-функции, константы Эйлера и константы Гомпертца». Мичиганский математический журнал . 61 (2): 239–254. дои : 10.1307/mmj/1339011525 . ISSN  0026-2285.
61. "A093540 - OEIS" . oeis.org . Проверено 12 августа 2023 г.
62. Ривоал, Т.; Зудилин, В. (1 августа 2003 г.). «Диофантовые свойства чисел, связанные с константой Каталана». Математические Аннален . 326 (4): 705–721. дои : 10.1007/s00208-003-0420-2. hdl : 1959.13/803688 . ISSN  1432-1807. S2CID  59328860.
63. Маршалл, Дж. Эш; Тан, Йирен (март 2012 г.). «Рациональное число формы аа с иррациональным» (PDF) .

Источники

• Адамчевский, Борис; Бюжо, Янн (2005). «О сложности алгебраических чисел II. Цепные дроби». Акта Математика . 195 (1): 1–20. arXiv : math/0511677 . Бибкод : 2005math.....11677A. дои : 10.1007/BF02588048. S2CID  15521751.
• Аллуш, Ж.-П. [На французском] ; Шалит, Дж. (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-82332-6. Збл  1086.11015.
• Бейкер, А. (1990). Трансцендентная теория чисел (изд. в мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-20461-3. Збл  0297.10013.
• Бланшар, Андре; Мендес Франс, Мишель (1982). «Симетрия и трансцендентность». Бюллетень математических наук . 106 (3): 325–335. МР  0680277.
• Бурбаки, Н. (1994). Элементы истории математики . Спрингер. ISBN 9783540647676– через Интернет-архив.
• Бюжо, Янн (2012). Распределение по модулю единицы и диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике. Том. 193. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-11169-0. Збл  1260.11001.
• Бургер, Эдвард Б.; Таббс, Роберт (2004). Сделать трансцендентность прозрачной. Интуитивный подход к классической теории трансцендентных чисел . Спрингер . ISBN 978-0-387-21444-3. Збл  1092.11031.
• Калуде, Кристиан С. (2002). Информация и случайность: алгоритмический взгляд . Тексты по теоретической информатике (2-е изд. и доп. изд.). Спрингер . ISBN 978-3-540-43466-5. Збл  1055.68058.
• Кантор, Г. (1874). «Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen алгебраишен Zahlen». Дж. Рейн Анжью. Математика. 77 : 258–262.
• Кантор, Г. (1878). «Эйн Бейтраг зур Маннигфальтигкеитслехре». Дж. Рейн Анжью. Математика. 84 : 242–258.
• Чудновский, Г.В. (1984). Вклад в теорию трансцендентных чисел . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-1500-7.
• Дэвисон, Дж. Лес; Шалит, ДЖО (1991). «Цепные дроби некоторых чередующихся рядов». Монашефте по математике . 111 (2): 119–126. дои : 10.1007/BF01332350. S2CID  120003890.
• Эрдеш, П .; Дадли, У. (1983). «Некоторые замечания и проблемы теории чисел, связанные с работами Эйлера» (PDF) . Журнал «Математика» . 56 (5): 292–298. CiteSeerX  10.1.1.210.6272 . дои : 10.2307/2690369. JSTOR  2690369.
• Гельфонд, А. (1960) [1956]. Трансцендентные и алгебраические числа (переиздание). Дувр.
• Грей, Роберт (1994). «Георг Кантор и трансцендентные числа». амер. Математика. Ежемесячно . 101 (9): 819–832. дои : 10.2307/2975129. JSTOR  2975129. Zbl  0827.01004 – через maa.org.
• Харди, GH (1979). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 159. ИСБН 0-19-853171-0.
• Хиггинс, Питер М. (2008). Числовая история . Книги Коперника. ISBN 978-1-84800-001-8.
• Гильберт, Д. (1893). «Über die Transcendenz der Zahlen e und π {\displaystyle \pi }». Математические Аннален . 43 (2–3): 216–219. дои : 10.1007/BF01443645. S2CID  179177945.
• Кемпнер, Обри Дж. (1916). «О трансцендентных числах». Труды Американского математического общества . 17 (4): 476–482. дои : 10.2307/1988833 . JSTOR  1988833.
• Ламберт, Дж. Х. (1768). «Мемуар о примечательных свойствах трансцендентных, круговых и логарифмических величин». Мемуары Королевской академии наук Берлина : 265–322.
• Лейбниц, ГВ ; Герхардт, Карл Иммануэль; Перц, Георг Генрих (1858). Лейбниценс Математические Шрифты. Том. 5. А. Ашер и Ко, стр. 97–98 – из Интернет-архива.
• ле Лионне, Ф. (1979). Les nombres remarquables . Германн. ISBN 2-7056-1407-9.
• ле Век, WJ (2002) [1956]. Темы теории чисел . Том. Я и II. Дувр. ISBN 978-0-486-42539-9– через Интернет-архив.
• Лиувилл, Дж. (1851 г.). «Сюр-де-классы très étendues de quantités не имеют значения, не алгебраического, не сводимого к иррациональным алгебраическим понятиям» (PDF) . Дж. Математика. Приложение Pures . 16 : 133–142.
• Локстон, Дж. Х. (1988). «13. Автоматы и трансцендентность». В Бейкер, А. (ред.). Новые достижения в теории трансцендентности . Издательство Кембриджского университета . стр. 215–228. ISBN 978-0-521-33545-4. Збл  0656.10032.
• Малер, К. (1929). «Арифметические собственные методы Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen». Математика. Аннален . 101 : 342–366. дои : 10.1007/bf01454845. ЖФМ  55.0115.01. S2CID  120549929.
• Малер, К. (1937). «Арифметические собственные вычисления» Учеб. Конин. Недер. Акад. Влажный. Сер. А (40): 421–428.
• Малер, К. (1976). Лекции по трансцендентным числам . Конспект лекций по математике. Том. 546. Спрингер . ISBN 978-3-540-07986-6. Збл  0332.10019.
• Натараджан, Сарадха [на французском языке] ; Тангадурай, Равиндранатан (2020). Столпы трансцендентной теории чисел . Спрингер Верлаг . ISBN 978-981-15-4154-4.
• Пифей Фогг, Н. (2002). Берте, В .; Ференци, Себастьен; Модуит, Кристиан; Сигел, А. (ред.). Замены в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. Том. 1794. Спрингер . ISBN 978-3-540-44141-0. Збл  1014.11015.
• Шалит, Дж. (15–26 июля 1996 г.). «Теория чисел и формальные языки». Хейхал , DA ; Фридман, Джоэл; Гуцвиллер, MC ; Одлыжко А.М. (ред.). Новые приложения теории чисел . Летняя программа IMA. Тома IMA по математике и ее приложениям. Том. 109. Миннеаполис, Миннесота: Springer (опубликовано в 1999 г.). стр. 547–570. ISBN 978-0-387-98824-5.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Трансцендентное число». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Лиувилля». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Лиувилля». Математический мир .
• «Доказательство того, что e трансцендентно». Planetmath.org .
• «Доказательство трансцендентности постоянной Лиувилля». deanlmoore.com . Проверено 12 ноября 2018 г.
• Фрич, Р. (29 марта 1988 г.). Transzendenz von e im Leistungskurs? [ Трансцендентность e на курсах повышения квалификации? ] (PDF) . Rahmen der 79. Hauptversammlung des Deutschen Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts [79-е ежегодное общее собрание Немецкой ассоциации содействия развитию математики и естественнонаучного образования]. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht (на немецком языке). Том. 42. Киль, DE (опубликовано в 1989 г.). стр. 75–80 (презентация), 375–376 (ответы). Архивировано из оригинала (PDF) 16 июля 2011 г. - через Мюнхенский университет (mathematik.uni-muenchen.de).— Доказательство того, что е трансцендентно, на немецком языке.
• Фрич, Р. (2003). «Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahl π» (PDF) . Дифференциальная геометрия многообразных фигур (на немецком языке). 34 : 144–148. Архивировано из оригинала (PDF) 16 июля 2011 г. - через Мюнхенский университет (mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch).