В позиционной системе счисления основание ( мн.р .: radices ) или основание — это количество уникальных цифр , включая цифру ноль, используемых для представления чисел . Например, для десятичной системы (наиболее распространенной системы, используемой сегодня) основание равно десяти, поскольку в ней используются десять цифр от 0 до 9.
В любой стандартной позиционной системе счисления число обычно записывается как ( x ) y , где x — последовательность цифр, а y — его основание, хотя для основания десять обычно предполагается нижний индекс (и опускается вместе с парой круглых скобок ). , поскольку это наиболее распространенный способ выражения ценности . Например, (100) 10 эквивалентно 100 (в последнем подразумевается десятичная система) и представляет число сто, а (100) 2 (в двоичной системе с основанием 2) представляет число четыре. [1]
Radix — латинское слово, означающее «корень». Корень можно считать синонимом основания в арифметическом смысле.
Обычно в системе с основанием b ( b > 1 ) строка цифр d 1 ... d n обозначает число d 1 b n −1 + d 2 b n −2 + … + d n b 0 , где 0 ≤ d я < б . [1] В отличие от десятичной системы счисления, или системы счисления 10, которая имеет место единиц, десятков, сотен и т. д., система счисления b будет иметь место единицы, затем a b 1 место, a b 2 -е место и т. д. [2]
Например, если b = 12, строка цифр, такая как 59A (где буква «A» представляет значение десяти), будет представлять значение 5 × 12 2 + 9 × 12 1 + 10 × 12 0 = 838 в системе счисления. 10.
Обычно используемые системы счисления включают:
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы часто используются в вычислениях из-за их простоты в качестве сокращения двоичной системы. Каждая шестнадцатеричная цифра соответствует последовательности из четырех двоичных цифр, поскольку шестнадцать — четвертая степень двойки; например, шестнадцатеричное 78 16 является двоичным 111 1000 2 . Точно так же каждая восьмеричная цифра соответствует уникальной последовательности из трех двоичных цифр, поскольку восемь — это куб двух.
Это представление уникально. Пусть b — целое положительное число, большее 1. Тогда каждое целое положительное число a можно однозначно выразить в виде
где m — неотрицательное целое число, а r — целые числа такие, что
Радисы обычно представляют собой натуральные числа . Однако возможны и другие позиционные системы, например, основание золотого сечения (основание которого является нецелым алгебраическим числом ), [5] и отрицательное основание (основание которого отрицательное). [6] Отрицательное основание позволяет представлять отрицательные числа без использования знака минус. Например, пусть b = −10. Тогда строка цифр, например 19, обозначает (десятичное) число 1 × (−10) 1 + 9 × (−10) 0 = −1.
