В математике упорядоченная полугруппа — это полугруппа ( S ,•) вместе с частичным порядком ≤, который совместим с операцией полугруппы, что означает, что x ≤ y влечет z•x ≤ z•y и x•z ≤ y• z для всех x , y , z из S.
Упорядоченный моноид и упорядоченная группа — это, соответственно, моноид или группа , наделенные частичным порядком, который делает их упорядоченными полугруппами. Иногда используются термины посемигрупа , погруппа и помоноид , где «по» — это сокращение от «частично упорядоченный».
Положительные целые числа , неотрицательные целые числа и целые числа образуют соответственно поземигруппу, помоноид и погруппу относительно сложения и естественного упорядочения.
Каждую полугруппу можно рассматривать как поземигруппу, наделенную тривиальным (дискретным) частичным порядком «=».
Морфизм или гомоморфизм полугрупп — это гомоморфизм полугрупп , сохраняющий порядок (что эквивалентно монотонному возрастанию ).
Помоноид ( M , •, 1, ≤) можно рассматривать как моноидальную категорию , которая является одновременно скелетной и тонкой , с объектом для каждого элемента M , уникальным морфизмом из m в n тогда и только тогда, когда m ≤ n , тензорное произведение задается как • , а единица — как 1 .